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1、
等價無窮小量在求函數(shù)極限中的應用
摘要 主要討論了等價無窮小量在求積商、和差及冪指結構函數(shù)極限中的應用, 并通過一些具體的例題體現(xiàn)了無窮小量替換在求極限中的靈活性、多樣性和重要性.
關鍵詞 等價無窮小量; 積商結構; 和差結構; 冪指結構; 極限; 應用
1 等價無窮小量在求積商結構函數(shù)的極限中的應用
1.1等價無窮小定義及重要結論
定義1.1.1 若 則稱為時的無窮小量.
定義1.1.2 若 則稱與是當時的等價無窮小. 記作
.
應用等價無窮小代換, 必須記住一些基本的等價無窮小量, 如時,
,等.
定理1.1.1 設函數(shù)在內有定義, 且有
若存在,
2、則.
證明 .
定理1.1.2 設函數(shù)在內有定義, 且有
若存在, 則.
證明 .
由定理1.1.1和定理1.1.2,可以得到以下一個重要的結論, 它在求積和商的極限中有很重要的作用, 需加強對它的理解.
結論1.1.1 設為時的無窮小量, 若
存在, 則.
證明
.
從結論1.1.1容易看出, 當時, 結論就是上面定理1.1.1的情形; 當去掉分子并略去相關條件, 結論1.1.1就是定理1.1.2的情形, 即兩定理是結論的特殊情況, 需要要很好的理解上面的結論.
1.2 定理和結論的應用舉例
例1.2.1 求.
解 由于. 故由定理1.1.2得
3、
.
例1.2.2 利用等價無窮小量求極限.
解 由于這個極限的分子不滿足上面定理和結論的要求, 需要我們對它進行轉化,
使之成為定理和結論需要的形式, 容易看出, 而 故有
.
說明 這道題是結論1.1.1的應用, 應注意的是, 在利用等價無窮小量代換求極限時,要注意所求極限的形式與上面所給定理和結論是否相對應, 不滿足時不能隨意替換, 需要適當?shù)淖冃? 變成我們需要的形式, 如剛才這個極限的分子就不與上面的結論要求相對應, 需要上面的適當?shù)淖冃?
例1.2.3 求極限.
解 由于 由結論1.1.1得
.
說明 這道例題與例1.1.2類似, 雖然
4、形式比較復雜, 但只要嚴格按照上面的結論就可以迎刃而解了.
2 等價無窮小量在求和差結構函數(shù)的極限中的應用
2.1 重要定理及其結論
課本中一般強調等價無窮小代換法則只在乘除的情況下可以使用, 在加減的情況下不能隨意使用, 那么究竟在什么樣的情況下加減的形式可以使用呢? 現(xiàn)在來著重介紹一下, 下面先來看和的情形.
定理2.1.1 設為時的無窮小量, 且
, 則.
證明 當時, 因為,知
, 且
所以
.
當時, 有已知條件知
,
所以
故.
定理2.1.1表明, 在計算與兩個無窮小量的代數(shù)和有關的極限運算時, 若其為同階無窮小
5、且兩者商的極限不為時, 則可用與其等價的無窮小量分別替換, 將是運算過程更為簡潔.
對于差結構函數(shù)的極限類似得如下定理
定理2.1.2 設 為時的無窮小量,且
則.
定理2.1.2表明, 在計算與兩個無窮小量的差有關的極限運算時, 若其為同階無窮小且兩者商的極限不為時, 則可用與其等價的無窮小量分別替換, 將是運算過程更為簡潔.
定理2.1.1和定理2.1.2解決了等價無窮小量在求和差結構函數(shù)的極限中的應用, 下面對定理2.1.1和定理2.1.2推廣可得到如下一些結論.
結論2.1.1 設為時的無窮小量, 且
若或存在, 則
或
證明
6、 由所給條件知,
再由結論1.1.1可直接得
.
結論2.1.2 設,,為時的無
窮小量, 且為常數(shù), 若
存在, 則.
證明 由知
從而 即. 同理.
所以
.
結論2.1.2的得到增強了定理的應用范圍, 使其應用更加廣泛, 進一步體現(xiàn)了等價無窮小代換的廣泛性與靈活性, 暗示我們對于一些復雜的極限可以通過等價無窮小代換使之簡潔而有效.
2.2 定理和結論的應用舉例
例2.2.1 求極限.
解 由于當時,,, 并且
.
故當時, .
又由于當時, , 并且.
故當時,
由結論2.1.2得
.
說明 這道題是對定理和結論
7、的直接應用, 對于既有積商, 又有和差的極限, 首先判斷其是否符合和差形式的條件, 然后在應用上面推廣的結論, 這樣做顯然比直接利用洛必達簡單些, 在求極限中, 往往我們先利用等價無窮小代換, 再利用洛比達會起到事半功倍的效果.
例2.2.2 求極限為常數(shù).
解 因為當時,
所以由結論2.1.1有
.
例2.2.3 求極限.
解 當時, , 并且
.
故當時, .
又當時, 并且
.
故當時, .
所以由結論2.1.2有=.
說明 例2.2.3跟例2.2.1一樣, 只要嚴格遵守上面推廣的結論就可以很快得到結果, 其解法既快捷又簡便, 很好的體現(xiàn)
8、了利用等價無窮小代換求極限的優(yōu)越性.
總之, 有上述的幾個例子可以發(fā)現(xiàn), 對于某些函數(shù)極限的計算利用等價無窮小替換比洛比達法則簡單易行, 可起到事半功倍的效果, 必要的時候兩種方法可以同時進行.
3 等價無窮小量在求冪指結構(未定式、、)函數(shù)的極限中的應用
3.1重要定理及其結論
本節(jié)主要介紹等價無窮小量了冪指結構函數(shù)極限中的應用, 在冪指結構函數(shù)極限中利用等價無窮小代換可以適當?shù)陌逊爆嵉氖阶舆M行化簡, 從而有利于我們更快更好的解決這一類極限, 下面我們先從引理入手.
引理3.1.1 設和在有定義, 為時的無窮小量, 且 則有.
證明 由條件知
, 且
所以.
9、
引理3.1.2 設和在有定義, 為時的無窮小
量, 且 則.
證明 因為,, 又因為,
所以
下面介紹未定式、、的基本定理及其結論
定理 3.1.1 設,為時的無窮小量, 且
則型.
證明 由的連續(xù)性及引理3.1.1得
.
結論3.1.1 設為時的無窮小量, 且 則
.
結論3.1.2 設為時的無窮小量, 且
則.
結論3.1.3 設,,為時的無
窮小量, 若它們滿足如下條件
1）
2）;
則.
證明 由得
再由定理3.1.1可得
.
定理3.1.2 設,為時的無窮小量
10、, 且
則型.
證明 由的連續(xù)性及引理3.1.2得
.
根據定理3.1.2, 下面得到更一般的情況
結論3.1.4 設,為時的無窮小量, 且,
, 則.
定理3.1.3 設,為時的無窮小量, 且,
則型.
證明 由的連續(xù)性及引理3.1.1得
.
結論3.1.5 設,,為時的無窮小量,
且 則
注釋3.1.1 很容易看出, 上面的部分定理是結論的特殊情況, 三種未定式的情況互有關聯(lián), 因此要想很好的應用定理和結論, 需要對三種未定式靈活應用, 提倡相互聯(lián)系解題, 反對將它們割裂.
注釋3.1.2 這些結論將定理進
11、行了適當?shù)耐茝V, 不但有指數(shù)的形式, 而且融合和差的形式, 一方面使其應用更加廣泛, 另一方面突出體現(xiàn)了等價無窮小代換在求極限的靈活性和多樣性的特點.
3.2定理和結論的應用舉例
例3.2.1 求極限.
解 因為, 所以
.
又因為, 故由定理3.1.1及結論3.1.3可得
.
說明 這是一個型的極限,是對定理及結論的應用, 首先判斷它是否符合定理或結論的條件, 然后再利用定理或結論.
例3.2.2 求極限
解 由于當時, , 且
,, 所以滿足結論3.1.3的條件,
故由結論3.1.3得
說明 這也是一個型的極限, 與例2.2.1類似, 加深對結論3
12、.1.3的理解.
例3.2.3 求極限（是常數(shù)）.
解 在的內, 無論如何可以有, 又當時, 有
, 則由定理3.1.2得
.
說明 這是一個型的極限, 是對定理3.1.2的簡單應用, 同樣需要判斷是否符合條件即可.
例3.2.4求極限
解 由于和是時的無窮小量, 且時, 滿足定理3.1.3的條件, 所以有
.
說明 這是一個型的極限, 是對定理3.1.3及結論的簡單應用.
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等價無窮小量在求函數(shù)極限中的應用數(shù)學畢業(yè)論文
