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1、
專題對點練27 不等式選講(選修4—5)
1.(2017山西呂梁二模,理23)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|.
(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;
(2)如果?x∈R,使得f(x)<2成立,求實數(shù)a的取值范圍.
解 (1)若a=-1,f(x)≥3,即為|x-1|+|x+1|≥3,
當(dāng)x≤-1時,1-x-x-1≥3,即有x≤-32;
當(dāng)-1<x<1時,1-x+x+1=2≥3不成立;
當(dāng)x≥1時,x-1+x+1=2x≥3,解得x≥32.
綜上可得f(x)≥3的解集為-∞,-32∪32,+∞.
(2)?x∈R,使得f(x)<2成立,即有2
2、>f(x)min,由函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|≥|x-1-x+a|=|a-1|,
當(dāng)(x-1)(x-a)≤0時,取得最小值|a-1|,
則|a-1|<2,即-2<a-1<2,解得-1<a<3.
則實數(shù)a的取值范圍為(-1,3).
2.已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)當(dāng)a=-3時,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.
解 (1)當(dāng)a=-3時,f(x)=-2x+5,x≤2,1,2<x<3,2x-5,x≥3.
當(dāng)x≤2時,由f(x)≥3得-2x+5≥
3、3,解得x≤1;
當(dāng)2<x<3時,f(x)≥3無解;
當(dāng)x≥3時,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;
所以f(x)≥3的解集為{x|x≤1}∪{x|x≥4}.
(2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|.
當(dāng)x∈[1,2]時,|x-4|-|x-2|≥|x+a|
?4-x-(2-x)≥|x+a|?-2-a≤x≤2-a.
由條件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.
故滿足條件的a的取值范圍為[-3,0].
3.設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.
(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)≥3x+2的解集;
(2)若不等
4、式f(x)≤0的解集為{x|x≤-1},求a的值.
解 (1)當(dāng)a=1時,f(x)≥3x+2可化為|x-1|≥2.
由此可得x≥3或x≤-1.
故不等式f(x)≥3x+2的解集為{x|x≥3或x≤-1}.
(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.
此不等式化為不等式組x≥a,x-a+3x≤0,或x≤a,a-x+3x≤0,
即x≥a,x≤a4,或x≤a,x≤-a2.因為a>0,所以不等式組的解集為xx≤-a2.由題設(shè)可得-a2=-1,故a=2.
4.已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.
(1)當(dāng)a=2時,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|
5、.當(dāng)x∈R時,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范圍.
解 (1)當(dāng)a=2時,f(x)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集為{x|-1≤x≤3}.
(2)當(dāng)x∈R時,
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|
≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,
當(dāng)x=12時等號成立,所以當(dāng)x∈R時,f(x)+g(x)≥3等價于|1-a|+a≥3. ①
當(dāng)a≤1時,①等價于1-a+a≥3,無解.
當(dāng)a>1時,①等價于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范圍是[2,+∞).
5.(2017遼寧沈陽一模,理23
6、)設(shè)不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集為M,a,b∈M.
(1)證明:13a+16b<14;
(2)比較|1-4ab|與2|a-b|的大小,并說明理由.
(1)證明 記f(x)=|x-1|-|x+2|=3,x≤-2,-2x-1,-2<x<1,-3,x≥1,
由-2<-2x-1<0解得-12<x<12,則M=-12,12.
∵a,b∈M,∴|a|<12,|b|<12.
∴13a+16b≤13|a|+16|b|<13×12+16×12=14.
(2)解 由(1)得a2<14,b
7、2<14.
因為|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=(4a2-1)(4b2-1)>0,所以|1-4ab|2>4|a-b|2,
故|1-4ab|>2|a-b|.
6.已知函數(shù)f(x)=x-12+x+12,M為不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)證明:當(dāng)a,b∈M時,|a+b|<|1+ab|.
(1)解 f(x)=-2x,x≤-12,1,-12<x<12,2x,x≥12.
當(dāng)x≤-12時,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;
當(dāng)-12<x&
8、lt;12時,f(x)<2;
當(dāng)x≥12時,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.
所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.
(2)證明 由(1)知,當(dāng)a,b∈M時,-1<a<1,-1<b<1,
從而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|. ?導(dǎo)學(xué)號16804230?
7.設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1.
求證:(1)ab+bc+ac≤13;
(2)a2b+b2c+c2a≥1.
證明 (1)由a2+b2≥2ab
9、,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.
(2)因為a2b+b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)≥2(a+b+c),即a2b+b2c+c2a≥a+b+c.
所以a2b+b2c+c2a≥1. ?導(dǎo)學(xué)號16804231?
8.已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的圖象與
10、x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.
解 (1)當(dāng)a=1時,f(x)>1化為|x+1|-2|x-1|-1>0.
當(dāng)x≤-1時,不等式化為x-4>0,無解;
當(dāng)-1<x<1時,不等式化為3x-2>0,解得23<x<1;
當(dāng)x≥1時,不等式化為-x+2>0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集為x23<x<2.
(2)由題設(shè)可得f(x)=x-1-2a,x<-1,3x+1-2a,-1≤x≤a,-x+1+2a,x>a.
所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),
故△ABC的面積為23(a+1)2.由題設(shè)得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范圍為(2,+∞).
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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