（新課改省份專用）2020版高考數(shù)學一輪復習 第八章 解析幾何 第二節(jié) 圓與方程（第3課時）深化提能——與圓有關的綜合問題講義（含解析）.doc

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第3課時　深化提能——與圓有關的綜合問題 圓的方程是高中數(shù)學的一個重要知識點，高考中，除了圓的方程的求法外，圓的方程與其他知識的綜合問題也是高考考查的熱點，常涉及軌跡問題和最值問題．解決此類問題的關鍵是數(shù)形結合思想的運用． 與圓有關的軌跡問題 [典例]　已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點． (1)求線段AP中點的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝90，求線段PQ中點的軌跡方程． [解]　(1)設AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x－2,2y)． 因為P點在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)設PQ的中點為N(x，y)． 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 設O為坐標原點，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0. [方法技巧]　求與圓有關的軌跡問題的4種方法 [針對訓練] 1．(2019廈門雙十中學月考)點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任意一點連接的線段的中點的軌跡方程為(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1　 　B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 解析：選A　設中點為A(x，y)，圓上任意一點為B(x′，y′)， 由題意得，則 故(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化簡得，(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故選A. 2．已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點． (1)求M的軌跡方程； (2)當|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積． 解：(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0，4)，半徑為4. 設M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)． 由題設知＝0， 故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于點P在圓C的內(nèi)部， 所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心，為半徑的圓． 由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上． 又P在圓N上，從而ON⊥PM. 因為ON的斜率為3，所以l的斜率為－， 故l的方程為x＋3y－8＝0. 又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距離為， 所以|PM|＝，S△POM＝＝， 故△POM的面積為. 與圓有關的最值或范圍問題 [例1]　(2019蘭州高三診斷)已知圓C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和點M(5，t)，若圓C上存在兩點A，B使得MA⊥MB，則實數(shù)t的取值范圍是(　　) A．[－2,6] B．[－3,5] C．[2,6] D．[3,5] [解析]　法一：當MA，MB是圓C的切線時，∠AMB取得最大值．若圓C上存在兩點A，B使得MA⊥MB，則MA，MB是圓C的切線時，∠AMB≥90，∠AMC≥45，且∠AMC＜90，如圖，所以|MC|＝≤＝，所以16＋(t－4)2≤20，所以2≤t≤6，故選C. 法二：由于點M(5，t)是直線x＝5上的點，圓心的縱坐標為4，所以實數(shù)t的取值范圍一定關于 t＝4對稱，故排除選項A、B.當t＝2時，|CM|＝2，若MA，MB為圓C的切線，則sin∠CMA＝sin∠CMB＝＝，所以∠CMA＝∠CMB＝45，即MA⊥MB，所以t＝2時符合題意，故排除選項D.選C. [答案]　C [例2]　已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最大值和最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． [解]　原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓． (1)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率， 所以設＝k，即y＝kx. 當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時＝ ，解得k＝. 所以的最大值為，最小值為－. (2)y－x可看成是直線y＝x＋b在y軸上的截距． 當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時＝， 解得b＝－2. 所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－. (3)x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方． 由平面幾何知識知，x2＋y2在原點和圓心的連線與圓的兩個交點處分別取得最小值，最大值． 因為圓心到原點的距離為＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4， 最小值是(2－)2＝7－4. 與圓有關最值問題的求解策略 處理與圓有關的最值問題時，應充分考慮圓的幾何性質，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結合思想求解．與圓有關的最值問題，常見類型及解題思路如下： 常見類型 解題思路 μ＝型 轉化為動直線斜率的最值問題 t＝ax＋by型 轉化為動直線截距的最值問題，或用三角代換求解 m＝(x－a)2＋(y－b)2型 轉化為動點與定點的距離的平方的最值問題 1．(2019新余一中月考)直線x＋y＋t＝0與圓x2＋y2＝2相交于M，N兩點，已知O是坐標原點，若|＋|≤||，則實數(shù)t的取值范圍是________． 解析：由|＋|≤||＝|－|， 兩邊平方，得≤0， 所以圓心到直線的距離d＝≤＝1， 解得－≤t≤， 故實數(shù)t的取值范圍是[－， ]． 答案：[－， ] 2．已知點P(x，y)在圓x2＋(y－1)2＝1上運動，則的最大值與最小值分別為________． 解析：設＝k，則k表示點P(x，y)與點A(2,1)連線的斜率． 當直線PA與圓相切時，k取得最大值與最小值． 設過(2,1)的直線方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0. 由＝1，解得k＝. 答案：，－ 3．(2019大慶診斷考試)過動點P作圓：(x－3)2＋(y－4)2＝1的切線PQ，其中Q為切點，若|PQ|＝|PO|(O為坐標原點)，則|PQ|的最小值是________． 解析：由題可知圓(x－3)2＋(y－4)2＝1的圓心N(3,4)．設點P的坐標為(m，n)，則|PN|2＝|PQ|2＋|NQ|2＝|PQ|2＋1，又|PQ|＝|PO|，所以|PN|2＝|PO|2＋1，即(m－3)2＋(n－4)2＝m2＋n2＋1，化簡得3m＋4n＝12，即點P在直線3x＋4y＝12上，則|PQ|的最小值為點O到直線3x＋4y＝12的距離，點O到直線3x＋4y＝12的距離d＝，故|PQ|的最小值是. 答案：