單因素試驗(yàn)的方差分析

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1、單因素試驗(yàn)的方差分析 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科研活動(dòng)中，我們經(jīng)常遇到這樣的問題：影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多，例如影響農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量有品種、施肥種類、施肥量等許多因素。我們要了解這些因素中哪些因素對產(chǎn)量有顯著影響，就要先做試驗(yàn)，然后對測試結(jié)果進(jìn)行分析，作出判斷。方差分析就是分析測試結(jié)果的一種方法。 引 言 基 本 概 念 試驗(yàn)指標(biāo)——試驗(yàn)結(jié)果。 可控因素——在影響試驗(yàn)結(jié)果的眾多因素中，可人為 控制的因素。 水平——可控因素所處的各種各種不同的狀態(tài)。每個(gè) 水平又稱為試驗(yàn)的一個(gè)

2、處理。 單因素試驗(yàn)——如果在一項(xiàng)試驗(yàn)中只有一個(gè)因素改變， 其它的可控因素不變，則該類試驗(yàn)稱為 單因素試驗(yàn)。 引例 例1 （燈絲的配料方案優(yōu)選）某燈泡廠用四種配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，在每批燈泡中作隨機(jī)抽樣，測量其使用壽命（單位：小時(shí)），數(shù)據(jù)如下： 1600 1680 1570 1530 1520 1510 丁 1820 8 1660 1800 7 1740 1720 6 1640 1750 1700 5 1620 170

3、0 1680 4 1600 1550 1460 丙 1640 1640 1580 乙 1650 1610 1600 甲 3 2 1 燈泡 壽命 燈絲 燈泡的使用壽命——試驗(yàn)指標(biāo) 燈絲的配料方案——試驗(yàn)因素（唯一的一個(gè)） 四種配料方案（甲乙丙?。膫€(gè)水平 因此，本例是一個(gè)四水平的單因素試驗(yàn)。 引 例 用X1，X2，X3，X4分別表示四種燈泡的使用壽命，即為 四個(gè)總體。假設(shè)X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立，且服從方差 相同的正態(tài)分布，即Xi~N（??i，??2）（i=1，2，3，4） 本例問題

4、歸結(jié)為檢驗(yàn)假設(shè) H0：??1= ??2= ??3= ??4 是否成立 我們的目的是通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)來判斷因素 A 的不同水平對試驗(yàn)指標(biāo)是否有影響。 設(shè) A 表示欲考察的因素，它的 個(gè)不同水平，對應(yīng)的指標(biāo)視作 個(gè)總體 每個(gè)水平下,我們作若干次重復(fù)試驗(yàn)： （可等重復(fù)也可不等重復(fù)），同一水平的 個(gè)結(jié)果，就是這個(gè)總體 的一個(gè)樣本： 單因素試驗(yàn)的方差分析 因此， 相互獨(dú)立，且與 同分布。 單因素試驗(yàn)資料表 其中諸

5、 可以不一樣， 水平 重復(fù) 1 ... ni （水平組內(nèi)平均值） （總平均值） 試驗(yàn)結(jié)果 縱向個(gè)體間的差異稱為隨機(jī)誤差（組內(nèi)差異），由試驗(yàn)造成；橫向個(gè)體間的差異稱為系統(tǒng)誤差（組間差異），由因素的不同水平造成。 品種 重復(fù) 1 2 3 例：五個(gè)水稻品種單位產(chǎn)量的觀測值——P165 由于同一水平下重復(fù)試驗(yàn)的個(gè)體差異是隨機(jī)誤差，所以設(shè)： 其中 為試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布 線性統(tǒng)計(jì)模型 單因素試驗(yàn)的方差分析的數(shù)學(xué)模型 具有方差齊性。 相互獨(dú)立，從而各子樣也相互獨(dú)立。 首先，我們作如下假設(shè)：

6、 即 令 （其中 ）稱為一般平均值。 稱為因素A的第 個(gè)水平 的效應(yīng)。 則線性統(tǒng)計(jì)模型變成 于是檢驗(yàn)假設(shè)： 等價(jià)于檢驗(yàn)假設(shè)： 顯然有： 整個(gè)試驗(yàn)的均值 考察統(tǒng)計(jì)量 經(jīng)恒等變形，可分解為： 其中 組間平方和（系統(tǒng)離差平方和） 反映的是各水平平均值偏離總平均值的偏離程度。 如果H0 成立，則SSA 較小。 若H0成立，則 總離差平方和 見書P168 其中 組內(nèi)平方和 誤差平方和 這里 反映的是重

7、復(fù)試驗(yàn)種隨機(jī)誤差的大小。 表示水平Ai的隨機(jī)誤差； 表示整個(gè)試驗(yàn)的隨機(jī)誤差 若假設(shè) 成立，則 由P106定理5.1可推得： 將 的自由度分別記作 則 （記 ，稱作均方和） （各子樣同分布） 則 （記 ，稱作均

8、方和） 對給定的檢驗(yàn)水平 ，由 得H0 的拒絕域?yàn)椋? 8><#004699>F 單側(cè)檢驗(yàn) 結(jié)論：方差分析實(shí)質(zhì)上是假設(shè)檢驗(yàn)，從分析離差平方和入手，找到<#004699>F統(tǒng)計(jì)量，對同方差的多個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。單因素試驗(yàn)中兩個(gè)水平的均值檢驗(yàn)可用第七章的T檢驗(yàn)法。 思考：為什么此處只做單側(cè)檢驗(yàn)？ （1）若 ，則稱因素的差異極顯著（極有統(tǒng)計(jì)意義），或稱因素A的影響高度顯著，這時(shí)作標(biāo)記 ； 約 定 （2）若 ，則稱因素的差異顯著（差異

9、 有統(tǒng)計(jì)意義），或稱因素A的影響顯著，作標(biāo)記 ； （3）若 ，則稱因素A有一定影響，作標(biāo)記（ ）； （4）若 ，則稱因素A無顯著影響（差異無統(tǒng)計(jì)意義）。 注意：在方差分析表中，習(xí)慣于作如下規(guī)定： 單因素試驗(yàn)方差分析表 方差來源 組間 組內(nèi) 總和 平方和 自由度 均方和 <#004699>F 值 <#004699>F 值臨介值 簡便計(jì)算公式： 其中 同一水平下觀測值 之和 所以觀測 值之和 例2 P195 2 以 A、B、C 三種飼

10、料喂豬，得一個(gè)月后每豬 所增體重（單位：500g）于下表，試作方差分析。 飼料 A B C 增重 51 40 43 48 23 25 26 23 28 解： 解： 不同的飼料對豬的體重的影響極有統(tǒng)計(jì)意義。 列方差分析表 方差來源 組間 組內(nèi) 總和 平方和 自由度 均方和 <#004699>F 值 <#004699>F 值臨介值 例2的上機(jī)實(shí)現(xiàn)步驟 1、輸入原始數(shù)據(jù)列，并存到A，B，C列； 各水平數(shù)據(jù)放同一列 各水平數(shù)據(jù)放在不同列 2、選擇Stat>ANOVA>one-way(unstacked) 不同的飼料對豬的體重的影響極有統(tǒng)計(jì)意義。 定理 在單因素方差分析模型中，有 如果H0不成立，則 所以， 即H0不成立時(shí)， 有大于1的趨勢。 所以H0為真時(shí)的小概率事件應(yīng)取在<#004699>F值較大的一側(cè)。