畢業(yè)論文數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文

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1、 畢 業(yè) 論 文 黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系 王建紅 指導(dǎo)教師姓名： 項(xiàng) 明 寅 副教授 黃山學(xué)院 申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別： 學(xué)士 學(xué)科、專業(yè)名稱： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 論文提交日期： 2007年05月 論文答辯日期: 2007年06月 學(xué)位授予單位：黃山學(xué)院 答辯委員會(huì)主席：

2、 評(píng) 閱 人： 2007年06月 Dissertation Submitted to Huangshan University for The Bachelor Degree of Mathematics and Applied Mathematics THE DIFFERENCE AND RALATION BETWEEN RIEMANN CALCULUS AND LEBEGUE CALCULUS By Wang JianHong Sup

3、ervisor: Vice-Prof． Xiang MingYin May 2007 黃山學(xué)院畢業(yè)論文 勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系 摘 要 本文從微積分的發(fā)展過程出發(fā)引出了我們已知的黎曼積分，盡管黎曼積分的理論比較完備，但在考慮某些問題時(shí)，我們看到了黎曼積分的局限性，并通過具體的例子給予了說明．于是就有了改造黎曼積分的必要性，從而提出了勒貝格積分．本文的中心任務(wù)就是從我們已學(xué)過的黎曼積分和勒貝格積分的知識(shí)來探討和歸納出兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系，通過具體比較兩者的定義，存在的條件，黎曼積分和勒貝格積分的性質(zhì)、黎曼可積函數(shù)類和勒貝格可積函數(shù)類

4、、以及與黎曼積分和勒貝格積分相關(guān)的一些定理，并進(jìn)一步用具體的例子來說明勒貝格積分使一些黎曼積分難以解決的問題變得迎刃而解，最后總結(jié)兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系．并順便指出，勒貝格積分是黎曼積分的推廣，但非黎曼反常積分的推廣． 關(guān)鍵詞：黎曼積分，勒貝格積分，區(qū)別，聯(lián)系 THE DIFFERENCE AND RALATION BETWEEN RIEMANN CALCULUS AND LEBEGUE CALCULUS ABSTRACT This article begins from the fluxionary calculus de

5、veloping process which draws out our have known Riemann integral calculus.Although the Riemann integral calculus theory is quite complete， when considered some questions， we saw the Riemann integral calculus very limit． To explain this question through the concrete examples．Therefore it is necessary

6、 to point out the Lebesgue integral calculus ．which have the very superiority compared to the Riemann integral calculus． This article’s central task is to discuss and induce the difference and the relation between the Riemann integral calculus and Lebesgue integral calculus from what we have studied

7、 the knowledge about the two kinds calculus． Specifically comparing their definition， the existence of conditions， the nature of the Riemann calculus and Lebesgue calculus ，the Riemann integral calculus function class and Lebesgue integral calculus function class， as well as about the Riemann integ

8、ral calculus and Lebesgue integral calculus there are some theorems． Furthermore through using the concrete example to explain Lebesgue integral calculus cause the question to be solved easily． Finally summarizing the two kinds integral calculus between the difference and the relation．By the way，Leb

9、esgue integral calculus is Riemann integral calculus promotion，but It is not Riemann improper integral calculus promotion． KEY WORDS: riemann calculus， lebesgue calculus， difference， relation 目 錄 第一章 緒 論 1 1-1 微積分的發(fā)展史 1 1-2 黎曼積分和勒貝格積分的引入 1 第二章 黎曼積分和勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系 5 2-1黎曼積

10、分和勒貝格積分的定義的比較 5 2-2黎曼積分和勒貝格積分的存在條件的比較 8 2-3黎曼積分和勒貝格積分的性質(zhì)的比較 9 2-4黎曼積分函數(shù)類與勒貝格積分函數(shù)類 12 2-5與黎曼積分和勒貝格積分相關(guān)的一些定理的比較 12 第三章 實(shí)例 15 第四章 總結(jié)和展望 16 4-1本文總結(jié) 16 4-2 展望 17 參考文獻(xiàn) 18 致　謝 19 iii 第一章 緒 論 1-1 微積分的發(fā)展史 積分學(xué)的歷史很早，它起源于求積問題，早在古代人們就著手計(jì)算由曲邊圍成的圖形的面積．我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽力求單位圓的面積，他的方法是用許多不

11、重疊的三角形來擬合圖形，由于時(shí)代的限制他不能克服“無窮運(yùn)算”的困難．古希臘時(shí)代的窮竭法、中國(guó)的割圓術(shù)和祖暅定理都是早期的積分學(xué)．關(guān)于積分的理解因?yàn)槭裁词菬o窮小，什么是不可分量而遇到困擾．古代的窮竭法也只能用于最簡(jiǎn)單的曲線所成圖形的面積．如卡瓦列里用數(shù)列求和方法實(shí)際上得到不定積分，但牛頓將微分學(xué)的思想用到積分問題上，看到了積分運(yùn)算是微分運(yùn)算在某種意義下的逆運(yùn)算，也就發(fā)展了不定積分的思想，萊布尼茲主要從定積分思想看出了積分運(yùn)算是微分運(yùn)算的逆．總之．得到了現(xiàn)在的牛頓—萊布尼茲公式，即設(shè)如果是的不定積分，則它一定也是原函數(shù)，且任意兩原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)，所以 ．

12、 此公式重要性在于計(jì)算積分再也不用用古希臘的窮竭法那么冗長(zhǎng)了，而有了系統(tǒng)的處理方法．因此微積分成了真正可以應(yīng)用的理論了，上述公式被成為微積分基本定理，在當(dāng)時(shí)，積分的概念并不清楚，而且他們遇到的函數(shù)無非是些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)，到柯西發(fā)表他的著名的幾本教科書后也就有了現(xiàn)時(shí)我們所了解的積分理論，現(xiàn)在稱這種積分為黎曼積分．其實(shí)應(yīng)該稱為柯西積分． 1-2 黎曼積分和勒貝格積分的引入 柯西積分的對(duì)象是連續(xù)函數(shù)的積分，當(dāng)然許可在某些點(diǎn)上不連續(xù)或無界，即包括了現(xiàn)在所說的反常積分．而黎曼考慮的對(duì)象是使得積分和極限存在的函數(shù)類，或如達(dá)布所說的上下積分相等．也就所謂的黎曼可積類．黎曼可積函數(shù)許可更多的不連

13、續(xù)點(diǎn)，極大的擴(kuò)充了可積函數(shù)類．現(xiàn)在我們知道為黎曼可積的充要條件是幾乎處處連續(xù)，但是還要研究具有不連續(xù)點(diǎn)的函數(shù)，這在數(shù)學(xué)上是十分重要的，一個(gè)直接的來源是傅立葉級(jí)數(shù)的研究，許多物理問題都導(dǎo)致不連續(xù)的傅立葉級(jí)數(shù)問題．處理這類問題需要更有力更細(xì)致的數(shù)學(xué)工具．因此積分理論特別是他的發(fā)展在數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)格性方面要求更高，如：當(dāng)僅為黎曼可積時(shí)，微積分基本定理的證明有了困難而現(xiàn)在通用的證明方法應(yīng)用了微積分中值定理，但其中假設(shè)了是連續(xù)的．達(dá)布提出了以下的證明． 達(dá)布定理：設(shè)在 上可積，在上處處有導(dǎo)數(shù)，即．則有 ． （1） 證明：作的一個(gè)分劃，所以 ， 又由拉格朗日中值定理可得，存在，使得

14、． 所以 ． 由于在上可積，因此當(dāng)上述分劃無限加細(xì)時(shí)，右邊的極限即為，所以上述證明在當(dāng)連續(xù)，但在有限多個(gè)點(diǎn)上不成立時(shí)也是有效的，只是將這有限多個(gè)點(diǎn)列入分點(diǎn)之內(nèi)即可． 上述證明雖然很簡(jiǎn)單，易理解，但并未解決問題．因?yàn)槔杪煞e函數(shù)只是幾乎處處連續(xù)，而將所有不連續(xù)點(diǎn)均歸入分點(diǎn)之內(nèi)是辦不到的． 另一個(gè)例子是關(guān)于二重積分化為累次積分的問題，設(shè)在長(zhǎng)方形區(qū)域： 中連續(xù)，則必連續(xù)．有著名的富比尼定理成立．即 ， （2） 關(guān)鍵在于若對(duì)連續(xù)，則對(duì)于固定的，是的連續(xù)函數(shù)，因此，存在且作為一個(gè)含參變量的積分，它是的連續(xù)函數(shù)，而是有意義的，因此上式是很自然的結(jié)果．但若只是黎曼可積時(shí)，則對(duì)于固定的，是

15、否為的黎曼可積函數(shù)甚至是否對(duì)幾乎所有，是否為的黎曼可積函數(shù)均是個(gè)問題，因此不一定有意義，但上下積分仍有意義，因此關(guān)于黎曼可積的的二重積分，富比尼定理為：若是在中的可積函數(shù)，則有 、 （3） 此式的意思為內(nèi)層的上下積分均是參數(shù)的黎曼可積函數(shù)，而且其積分就等于二重積分，記，在上也是黎曼可積的，且有，則由此是否可得到至少幾乎處處有呢？即對(duì)幾乎所有的均存在，則（3）式就變?yōu)椋?）式了．但是若一個(gè)非負(fù)黎曼可積函數(shù)積分為0，則此函數(shù)幾乎處處為0，這證明很難的，而對(duì)勒貝格可積函數(shù)，（3）式結(jié)果是成立的．在黎曼積分中重積分化為累次積分所要求的條件比勒貝格積分理論中要多，從副比尼定理中可知只要重積分存

16、在，它就和兩個(gè)累次積分相等，這是勒貝格積分的另一成功之處． 從上述兩例子可看出，黎曼積分雖然比較簡(jiǎn)單，但一旦要考慮可能在一個(gè)零測(cè)度集上不連續(xù)的黎曼可積函數(shù)一些本來很自然的結(jié)果變得很難證明了，甚至可能不成立，尤其是不能在積分號(hào)下求極限，故黎曼可積函數(shù)類缺乏完備性，有其內(nèi)在的局限性． 隨著微積分學(xué)的發(fā)展，人們?cè)诶美杪e分時(shí)，感到它有很大的局限性，這要從黎曼積分的起源說起，我們知道黎曼積分的思想方法是“分割，近似求和，取極限”第一個(gè)提出分割區(qū)間做和式極限嚴(yán)格定義積分的是柯西．他考察的積分對(duì)象是 上的連續(xù)函數(shù)，因此黎曼積分在處理諸于逐段連續(xù)的函數(shù)以及一致收斂的級(jí)數(shù)來說是足夠的．然而隨著集合論的

17、一系列工作的創(chuàng)始，出現(xiàn)一些“病態(tài)”函數(shù)，在研究它們的可積性時(shí)．黎曼積分理論面臨了新的挑戰(zhàn)．特別是考慮可積函數(shù)的連續(xù)性和極限與積分次序交換問題以及微積分基本定理和可積函數(shù)空間的完備性方面． 如：（1）狄里克雷函數(shù)，由定義可證不是黎曼可積的，因此必須擴(kuò)大積分的范圍． (2)在處不連續(xù)，但它是非一致收斂的，但此例子說明函數(shù)一致收斂只是極限與積分運(yùn)算交換次序的充分而非必要條件，但一致收斂是非常強(qiáng)的條件，我們要考慮能否將條件減弱呢？ （3）在微積分基本定理中 ，必須可積的，但我們知道存在著可微且導(dǎo)數(shù)有界的函數(shù)，但其導(dǎo)數(shù)不是可積的．因此限制了微積分基本定理的應(yīng)用范圍． 隨著數(shù)學(xué)的向前發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)

18、了許多問題在積分中都無法給出圓滿的解決，科學(xué)不斷的前進(jìn)，積分論在進(jìn)一步革新．二十世紀(jì)初勒貝格提出了積分，它為現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)打開了大門，積分的提出使許多問題變得迎刃而解了． 我們知道積分是用勒貝格積分和代替黎曼積分和，引入測(cè)度來推廣長(zhǎng)度，概率論就是以測(cè)度作為基礎(chǔ)的，與黎曼積分比較，勒貝格積分雖然克服了它的許多缺點(diǎn)，但任何一種理論都不是十全十美的，積分也有它的缺點(diǎn)，如在應(yīng)用時(shí)測(cè)度比長(zhǎng)度就要麻煩． 第二章 黎曼積分和勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系 2-1黎曼積分和勒貝格積分的定義的比較 黎曼積分與勒貝格積分的定義： 的定義是從求

19、曲邊梯形的面積所引入的．其定義為：設(shè)在上有界，對(duì)作分割，即 ， 記，（稱為分割的細(xì)度）在分割所屬的各個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，則構(gòu)成一個(gè)屬于的介點(diǎn)集，作和式，稱此式為在上屬于分割的一個(gè)積分和或稱黎曼和，記為，故有定義為：設(shè)為定義在上的函數(shù)，是一確定的數(shù)，若對(duì)任意的，總存在某一，使得上的任意分割，只要，屬于分割的所有積分和都滿足，則稱在上可積．稱為在上的定積分．記為=． 關(guān)于積分我們知道它的思想是“分割，近似求和，求極限”，這里的分割是指分割定義域．在此定義中的可積性與的存在性是統(tǒng)一的，但在應(yīng)用中要求預(yù)先知道的值是不現(xiàn)實(shí)的．因此我們提出積分的另一定義，如下： 設(shè)在上有界，對(duì)作分割，即其中

20、令 ． ． 分別稱為（）上積分和（）下積分，如果（）上，下積分積分相等則稱 在上可積．將上，下積分的公共值記為 在上的積分，記為． 我們已知，測(cè)度是長(zhǎng)度的推廣，上述即為的測(cè)度，則啟發(fā)我們?yōu)橥茝V（）積分可以考慮將區(qū)間的分割推廣為測(cè)度空間中具有有限測(cè)度的集的分劃，而且對(duì)于上的有限正值函數(shù)，為使在可積，按照積分的思想，必須使得在分割后，在多數(shù)小區(qū)間上的振幅足夠小，這使得具有較多激烈震蕩的函數(shù)被排除在可積函數(shù)類外．因此勒貝格提出了從分割值域入手的積分．即任給，作，其中，分別為在上的下界和上界．令，，如果存在，則定義為． 而對(duì)于一般可測(cè)函數(shù)的積分定義為：設(shè)在可測(cè)集上可測(cè)，若記，則有，若

21、 不同為 ，則稱在上積分確定且有 ， 當(dāng)此式右端右邊兩個(gè)積分值都有限時(shí)，稱在上可積． 積分是建立在勒貝格測(cè)度論的基礎(chǔ)上，可以統(tǒng)一處理有界和無界的情形，而且函數(shù)可定義在更一般的點(diǎn)集上． 為了與積分聯(lián)系起來，我們還給出（）積分的另一定義為：設(shè)為測(cè)度空間，在 上有界，對(duì)做分劃 T，，其中所有的都可測(cè) 且 ，令 令，分別稱為（）上，下積分．如果，則 在上可積，并稱 () 上，下積分的公共值為在上的積分，記為．這種定義直觀，易接受，只是它過分的套用了積分定義的模式，掩蓋了的優(yōu)點(diǎn)． 以上是測(cè)度有限可測(cè)集上有界函數(shù)的積分定義，我們看到它在形式上同積分除了“積分區(qū)域”更一般外，主要不同

22、之處在于采用了測(cè)度和分劃的不同，即區(qū)間一律換成了可測(cè)集． 注：當(dāng)，記為．特別地當(dāng)，記為．比較兩者定義可知，將分劃成小區(qū)間是將分劃成可測(cè)集的特殊情況，故必有 ．由此式可知，當(dāng)在上可積時(shí)即 時(shí)必有． 所以當(dāng)在上可積時(shí)，則在上必可積，但反之不一定成立．如定義在=[0，1]上的狄利刻雷函數(shù)，我們已知不是可積的，但由積分的定義可以證明是可積的，且有． 由上述過程可知，()積分的建立是通過分割定義域，對(duì)和式求極限而得來的，這只是在每個(gè)小區(qū)間上所取值的改變而引起的，的變化極小或者即使變化較大，但改變較小時(shí)，才可積．而積分卻改變了這種現(xiàn)象，它是對(duì)的值域進(jìn)行分割，把函數(shù)值相差不大的點(diǎn)結(jié)合在一起，從而擴(kuò)

23、展了可積函數(shù)類，使得好多問題變得迎刃而解了．因此對(duì)定義域和值域的分割是積分和積分的本質(zhì)區(qū)別．實(shí)際上設(shè)定義在集E上，對(duì)作分劃 ， 令， 則當(dāng)在上可測(cè)時(shí)所有的也可測(cè)且 ，．則得到了的相應(yīng)的分劃． 這時(shí) ， 因此對(duì)的值域作分劃D實(shí)質(zhì)仍然是為了對(duì)的定義域作分劃． 2-2黎曼積分和勒貝格積分的存在條件的比較 可積的條件： （一） 可積的必要條件是在上有界．（這說明，任何可積函數(shù)必須有界，但有界函數(shù)未必可積，如狄里克雷函數(shù)，這與積分不同，積分可以是無界的） （二）可積的充要條件有： 1．定義在上有界函數(shù) 可積的充要條件為在上的上積分等于下積分，即 ． 2．定義

24、在上有界函數(shù) 可積的充要條件為，總存在某一分割，使得 ． 3．定義在上有界函數(shù)可積的充要條件為，，總存在某一分割，使得． 4．定義在上有界函數(shù) 可積的充要條件為對(duì)任給正數(shù)，總存在某一分割，使得屬于的所有振幅的小區(qū)間的總長(zhǎng)不超過． 注：由此條件可以證明黎曼函數(shù) 在上可積 可積的條件： 1．設(shè)是可測(cè)集上的有界函數(shù)，則在上可積的充要條件為，存在的分劃D使得)．（此條件與積分類似） 2．設(shè)是可測(cè)集上的有界函數(shù)，則在上可積的充要條件為在上可測(cè)（即對(duì)于中測(cè)度有限的可測(cè)集上的有界函數(shù)可測(cè)性與可積性等價(jià)）． 3．設(shè)，是上的可測(cè)函數(shù)，， 則在上可積的充要條件為． 4．設(shè)在反常積分存在，則在可

25、積的充要條件為在上反常積分存在，且有． 5．設(shè)為上可積函數(shù)列，在上幾乎處處成立，且（常數(shù)），則在上可積． 2-3黎曼積分和勒貝格積分的性質(zhì)的比較 R積分的性質(zhì)： 1．如果在上可積，k為常數(shù)，則k在上也可積，且有． 2．若在上R可積，則在上也可積．（注：有 但） 3．有界函數(shù)在上都可積，則在上也可積，且有． 4．設(shè)在上可積，且，則． 5．若在上可積，則||在上也可積，且有（注：其逆命題不成立，如在上不可積，但在上可積． 6．設(shè)在上可積，則，其中是中任意兩點(diǎn)． 7．設(shè)在上可積，則在的任一內(nèi)閉子區(qū)間上也可積． 8．設(shè)在上連續(xù)且非負(fù)，若有，則在上． 9．設(shè)在上可積，則

26、在上也可積． 10．設(shè)在上可積，且在上有，則在上也可積． 11．設(shè)在上連續(xù)，且對(duì)上任一連續(xù)函數(shù)，有，則在上． 12．設(shè)在上連續(xù)，且對(duì)于所有那些在上滿足的連續(xù)函數(shù)有，則則在上． 13．（黎曼-勒貝格引理）設(shè)在可積，則． L積分的性質(zhì)： 1．積分區(qū)域的可加性．設(shè)存在，，式中是互不相交的可測(cè)集，則．（注：設(shè)，是互不相交的可測(cè)集，對(duì)于任意的，不能推出．但有能得到，這與積分是有區(qū)別的，在積分中）． 2．零集上的積分．若，則．（約定當(dāng)而或者而都有）． 3．關(guān)于可積函數(shù)的單調(diào)性：（1）．設(shè)都存在，且在上幾乎處處成立，則，特別地若在上幾乎處處成立，則． （2）．設(shè)，在上幾乎處處成立

27、，則．（3），設(shè)在上可測(cè)，若，在上幾乎處處成立，則． 4．關(guān)于積分區(qū)域的單調(diào)性．設(shè)，是的可測(cè)子集，則存在，特別地，若在上非負(fù)可測(cè)，則． 5．線性性質(zhì)． （1）設(shè)，則，（其中為常數(shù)）且．（2），設(shè)，，則 ． 注：若不能推出，如取， ， 則，但在上不可積． 6．絕對(duì)可積性．且在上可測(cè)，且有．由于可積函數(shù)的絕對(duì)可積性故積分是一種絕對(duì)收斂的積分，而反常積分不必為絕對(duì)收斂，因此積分不是反常積分的推廣． 7．（1）唯一性定理：設(shè)在上可測(cè)，則在上幾乎處處成立． （2）設(shè)，若對(duì)于所有有界函數(shù)，均有在上幾乎處處成立．（注：不能推出在上幾乎處處成立． 如取，令，則，但． 8，積分的絕對(duì)連續(xù)性

28、．設(shè)，則對(duì)于使得對(duì)中任何可測(cè)子集，只要． 9，可積函數(shù)的逼近性質(zhì)．設(shè)，在上有界可積，則對(duì)于上可測(cè)的簡(jiǎn)單函數(shù)，使得在上幾乎處處成立，且． 10，積分的平均連續(xù)性．設(shè)為距離空間，為距離的外測(cè)度，，其中所有的為開集，且為由導(dǎo)出的全有限測(cè)度，，則．（簡(jiǎn)單的說：） 11，積分弱連續(xù)性，設(shè)在上非負(fù)遞減可積，且在上幾乎處處成立，則．（注：逆命題不成立） 12．，則在中可積． 13．（積分變量的平移變換），則對(duì)任意的，且有 ． 14．（黎曼-勒貝格引理的推廣） 若是上的可測(cè)函數(shù)列且滿足 15． 2，對(duì)任意的有 則對(duì)任意的，有． 2-4黎曼積分函數(shù)類與勒貝格積分函數(shù)類 積分函數(shù)類

29、： 1．若為上的連續(xù)函數(shù)，則在上可積． 2．若是上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，則在上可積． 3．若是上只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)，則在上可積 4．若是上的單調(diào)函數(shù)，則在上可積． 5．設(shè)在上有界，且，若在上只有為間斷點(diǎn)，則在上可積． 積分函數(shù)類：可積的有界函數(shù)均是可積的． 2-5與黎曼積分和勒貝格積分相關(guān)的一些定理的比較 關(guān)于積分的定理有：積分的第一中值定理：若在上連續(xù)，則在上至少存在一點(diǎn)， 使得． 推廣的積分的第一中值定理：若在閉區(qū)間上連續(xù)，且在上不變號(hào)，則在上至少存在一點(diǎn)，使得． 積分第二中值定理：若在上為非負(fù)的單調(diào)遞減函數(shù)，是可積的，則． 推論1，若在上且單

30、增，是可積的，則． 推論2，若在上為單調(diào)函數(shù)，是可積的，則 ． 關(guān)于積分的相關(guān)定理：關(guān)于積分的最大成功之處在于討論積分與極限交換問題時(shí)將會(huì)看到著問題在積分范圍內(nèi)得到比在積分范圍內(nèi)遠(yuǎn)為圓滿的解決．如，設(shè)為測(cè)度空間，，在上幾乎處處成立，我們可知從的可測(cè)性可以推出它的極限函數(shù)的可測(cè)性，但能否從呢？先看下述例子． 例1 設(shè)，令，且，有 ， 因?yàn)椋诓皇强煞e的． 例2 設(shè)，但． 上述兩例說明，當(dāng)，從 不一定能推出 ，即使 也不一定能保證極限符號(hào)與積分號(hào)能交換次序，我們?cè)谖⒎e分中熟知當(dāng) 時(shí)，也不能保證它的極限函數(shù) ，往往要加上 在上一致收斂于的苛刻條件，對(duì)于積分，并不要求 一致收

31、斂于，所加條件弱得多．當(dāng)討論一般可積函數(shù)的情形時(shí)，有勒貝格控制收斂定理：設(shè)（1）是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)列．（2）在上幾乎處處成立，且在上可積．（3），則在上可積且． 注：（一） 若將條件（3）改為在上幾乎處處成立，定理結(jié)論仍成立． （二） 設(shè)，若將條件（2）改為（常數(shù)），若在上幾乎處處成立或，定理結(jié)論仍成立． 再看非負(fù)可測(cè)函數(shù)類有：列維定理：設(shè)為可測(cè)集上的一列非負(fù)可測(cè)函數(shù)，且在上有（單調(diào)列），令，則． 逐項(xiàng)積分定理：設(shè)，若有，則在上幾乎處處收斂，若記和函數(shù)為，則，且有． 積分號(hào)下求導(dǎo)定理：設(shè)是定義在上的函數(shù)，它作為的函數(shù)在上可積，作為的函數(shù)在上可微，若存在，使得，則 ． 通過以上定

32、理我們可以發(fā)現(xiàn)在極限運(yùn)算與()積分運(yùn)算交換次序時(shí)，只須滿足存在一個(gè)控制函數(shù)g或滿足單調(diào)即可．這些條件與一致收斂條件相比弱得多，在這樣的條件下，極限與積分運(yùn)算，微分與積分運(yùn)算，積分與積分運(yùn)算很容易交換次序．而在積分中有界收斂定理為： （1）是定義在上的可積函數(shù)． （2） (3)是定義在上的可積函數(shù)，且有．則有 這里不僅受到條件（2）的限制，而且還必須假設(shè)極限函數(shù)的可積性，它只是控制收斂定理的一個(gè)特例． 第三章 實(shí)例 例1：求 解， 又 所以，又因?yàn)樵谏峡煞e， 由控制收斂定理可知，=0． 而在R積分中要證明在上一致收斂是很麻煩的． 例2：設(shè)，，

33、求證：． 證：當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，且有，所以 ． 由黎曼積分與勒貝格積分的關(guān)系和控制收斂定理可得 ． 例3：設(shè)，證明：，但在上廣義可積． 證：由收斂，但發(fā)散可立得結(jié)論． 第四章 總結(jié)和展望 4-1本文總結(jié) 總結(jié)積分和積分的區(qū)別和聯(lián)系如下： 在積分中我們定義了，分別為的上，下積分．可以得到： 引理：設(shè)是上的有界函數(shù)，記是在上的振幅函數(shù)，則有 ．（左端為在上的積分） 定理1：設(shè)是上的有界函數(shù)，則在上可積的充要條件為在上 的不連續(xù)點(diǎn)集是零測(cè)度集． 定理

34、2：若在上可積，則在上必可積，且積分值相等． 上述所說的只是上有界函數(shù)的積分，對(duì)于無界函數(shù)的瑕積分以及無窮區(qū)間上的反常積分，情況就不同了，而積分是一種絕對(duì)收斂積分，但有定理：設(shè)是遞增可測(cè)函數(shù)列，其并集為且 ，若，則，且有 ． 特別地，當(dāng)時(shí)，且在每個(gè)上都可積以及存在，則可通過計(jì)算積分而得到積分且有． 在測(cè)度積分理論下： （1）微積分定理的使用范圍擴(kuò)大了，勒貝格提出當(dāng)有界時(shí)，證明微積分定理的困難不大，但在是有限值且無界的情形時(shí)，只要是可積的，基本定理仍成立．他通過對(duì)導(dǎo)數(shù)幾乎處處為零但函數(shù)本身并非常數(shù)的函數(shù)的考察，認(rèn)識(shí)到在積分的意義下，任何絕對(duì)連續(xù)函數(shù)都可積的結(jié)論是正確的．因此在定理中只

35、須滿足在上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，則． （2） 在進(jìn)行重積分運(yùn)算時(shí)，重積分化為累次積分的條件減弱了，在積分理論下，要求重積分和倆個(gè)累次積分都存在時(shí)才相等．但在積分理論下，只須可測(cè)且有一個(gè)累次積分存在即可． （3） 積分的幾何意義也推廣開來，將積分中曲邊梯形面積推廣為在上的下方圖形集的測(cè)度． （4）在關(guān)于二重積分和累次積分的關(guān)系問題上，積分反映出了它的不足之處，特別是把積分推廣于無界函數(shù)的情形時(shí)，對(duì)此，勒貝格的重積分理論，使得用累次積分來計(jì)算二重積分函數(shù)范圍擴(kuò)大了，也就有了前面所述的富比尼定理． （5）積分理論作為分析學(xué)中的一個(gè)有效的工具，尤其是在三角級(jí)數(shù)問題中，得到了廣泛的應(yīng)用，吸引了許多數(shù)學(xué)

36、家的興趣． 我們前面都提到積分是積分的推廣，但要注意它并非是反常積分的推廣，但對(duì)于非負(fù)有限函數(shù)的R反常積分有下述結(jié)果： 設(shè)是上非負(fù)有限函數(shù)，且，如果在上的反常積分存在，則在上可積，且成立．上述定理要求非負(fù)是很重要的．如在反常積分理論中，無窮積分，而在積分理論中，故在上不是可積的．這說明積分仍有它的不足之處，還有在微積分基本定理中，仍須在上可積，致使換元公式的證明很復(fù)雜． 4-2 展望 二十世紀(jì)初勒貝格開創(chuàng)可列可加測(cè)度的積分論，稱為實(shí)分析．并在概率論，泛函分析學(xué)科中廣泛應(yīng)用，理論讓人感到過于抽象，但抽象性較強(qiáng)的理論往往適用程度較高，在此基礎(chǔ)上的概率論和隨機(jī)過程論被稱為現(xiàn)代分析．

37、復(fù)變函數(shù)論繼續(xù)向前發(fā)展形成復(fù)分析．以函數(shù)空間為背景的泛函和算子理論，開始泛函分析的歷程，三角級(jí)數(shù)論發(fā)展成傅立葉分析，二十世紀(jì)分析學(xué)的另一特征是處理高維空間中曲線和曲面，多變量函數(shù)的整體性質(zhì)，這需要拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)及代數(shù)工具，形成流型上的分析．二十世紀(jì)的分析基本上解決了線性空間上的線性算子課題，目前非線性分析已成為最活躍的數(shù)學(xué)分支之一． 泛函分析的產(chǎn)生使分析學(xué)躍上新的高度，稀爾伯特空間，巴拿赫空間，廣義函數(shù)論已成為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的常識(shí)，無限維空間上的微積分學(xué)尚未誕生，此外，積分論仍在發(fā)展，黎曼積分的推廣仍未完成． 雖然，積分比積分具有許多的優(yōu)越性，但隨著函數(shù)論等各門學(xué)科的發(fā)展，積分也暴露出了一定

38、的局限性，因此，積分理論有待進(jìn)一步發(fā)展． 參考文獻(xiàn) [1]華師大數(shù)學(xué)系．《數(shù)學(xué)分析》（第三版）［Ｍ］．高等教育出版社，2001年． [2]中科大高數(shù)教研室編著《高等數(shù)學(xué)導(dǎo)論》[M]．中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1996年． [3] 張筑生編著．《數(shù)學(xué)分析新講》[M]．北京大學(xué)出版社，1991年． [4] 匡繼昌編著．《實(shí)分析引論》 [M]．湖南教育出版社，1996年． [5] 程其襄編著．《實(shí)變函數(shù)和泛函分析基礎(chǔ)(第二版)》[M]．高等教育出版社，1983年． [6] 周民強(qiáng)編著．《實(shí)變函數(shù)論》[M]．北京大學(xué)出版社，2001年． [7] 趙煥光編著

39、．《實(shí)變函數(shù)》[M]．四川大學(xué)出版社，2004年． [8] 周民強(qiáng)編著 《數(shù)學(xué)分析（第二冊(cè)）》[M] 上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2003年． [9] 周成林．《勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系》[J]．《新鄉(xiāng)教育學(xué)報(bào)》． [10] 齊民友．《積分發(fā)展看微積分教學(xué)（續(xù)一）》[J]．《高等數(shù)學(xué)研究》． 致　謝 本文的研究及工作是在優(yōu)秀導(dǎo)師項(xiàng)明寅副教授的關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的．在三年多的求學(xué)生涯中，導(dǎo)師以其嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的治學(xué)態(tài)度，敏銳深邃的洞察力，高度的責(zé)任心和敬業(yè)精神，平易近人的工作作風(fēng)，一直深深地影響和激勵(lì)著我，使我在學(xué)習(xí)上和生活上受益匪淺． 感謝汪宏建副教授在學(xué)習(xí)和工作中的教導(dǎo)和支持，從他身上我獲得了許多寶貴的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也學(xué)到了更多為人處事的道理和做科研的一種執(zhí)著精神． 在課題的研究過程中，得到了張同學(xué)的幫助，支持和指點(diǎn)，在此表示衷心的感謝． 最后衷心的感謝對(duì)我寄予厚望、又給予我無限關(guān)懷的父母，在此論文脫稿之際，向含辛茹苦在背后支持我的父母表示由衷的感謝和崇高的敬意． 19