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1、 關(guān)于矩陣逆的判定及求逆矩陣方法的探討
摘 要：矩陣的可逆性判定及逆矩陣的求解是高等代數(shù)的主要內(nèi)容之一。本文給出
判定矩陣是否可逆及求逆矩陣的幾種方法。
關(guān)鍵詞：逆矩陣 伴隨矩陣 初等矩陣 分塊矩陣
矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)的一個(gè)主要內(nèi)容，也是處理實(shí)際問題的重要工具，而逆矩陣在矩陣的理論和應(yīng)用中占有相當(dāng)重要的地位。下面通過引入逆矩陣的定義，就矩陣可逆性判定及求逆矩陣的方法進(jìn)行探討。
定義1 n級(jí)方陣A稱為可逆的，如果n級(jí)方陣B，使得
AB=BA=E （1）
2、 這里E是n級(jí)單位矩陣。
定義2 如果B適合（1），那么B就稱為A的逆矩陣，記作。
定理1 如果A有逆矩陣，則逆矩陣是唯一的。
逆矩陣的基本性質(zhì)：
性質(zhì)1 當(dāng)A為可逆陣，則.
性質(zhì)2 若A為可逆陣，則為任意一個(gè)非零的數(shù)都是可逆陣，且 .
性質(zhì)3 ，其中A，B均為n階可逆陣.
性質(zhì)4 .
由性質(zhì)3有
定理2 若是同階可逆陣，則是可逆陣，且
下面給出幾種判定方陣的可逆性及求逆矩陣的方法：
方法一 定義法
利用定義1，即找一個(gè)矩陣B，使AB=E，則A可逆，并且。
方法二 伴隨矩陣法
定義3 設(shè)是n級(jí)方陣，用表
3、示A的元的代數(shù)余子式，
矩陣稱為A的伴隨矩陣，記作A*。
定理3 矩陣A可逆的充分必要條件是，并且當(dāng)A可逆時(shí),有
。
定理證明見[1].
定理3不僅給出了判斷一個(gè)矩陣是否可逆的一種方法，并且給出了求逆矩陣的一種方法，但是這種方法主要用在理論上以及2級(jí)或3級(jí)矩陣的情形，如果階數(shù)較大，那么使用此方法計(jì)算量太大。
由定理3逆矩陣判定的方法還有：
推論3.1 n級(jí)矩陣A可逆的充要條件是矩陣A的秩為n。
推論3.2 矩陣A可逆的充要條件是它的特征值都不為0。
推論3.3 n級(jí)矩陣A可逆的充分必要條件是它的行或列向量組線性無關(guān)。
方法三 初等變換法
定義4
4、對(duì)矩陣施行以下三種變換稱為矩陣的初等變換：
交換矩陣的兩行列；
以一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一行列；
把矩陣的某一行（列的倍加到另一行列。
定理4 方陣A可逆的充分必要條件是A可表示為若干個(gè)同階初等矩陣的乘積。
具體方法是：欲求A的逆矩陣時(shí)，首先由A作出一個(gè)矩陣，即，其次對(duì)這個(gè)矩陣施以行初等變換且只能用行初等變換，將它的左半部的矩陣A化為單位矩陣，那么原來右半部的單位矩陣就同時(shí)化為：
或者
例1 求矩陣A的逆矩陣，已知。
解：
注：在事先不知道n階矩陣是可逆
5、的情況下，也可直接用此方法。如果在初等變換過程中發(fā)現(xiàn)左邊的矩陣有一行元素全為0，則意味著A不可逆。
方法四 利用解線性方程組來求逆矩陣
若階矩陣A可逆，則，于是的第列是線性方程組的
解，.因此我們可以去解線性方程組，其，把所得的解的公式中的分別用；；…；代替，便可求得的第列，這種方法在某些時(shí)候可能比用初等變換法求逆矩陣稍微簡(jiǎn)單一點(diǎn)。
例2 求矩陣A=的逆矩陣。
解： 設(shè)
解方程組AX=B
即 解得
然后把列，分別用
代入得到矩陣的第行，分別用
即
這種方法特別適用于線性方程組
6、AX=B的解容易求解的情形。
方法五 分塊求逆法
當(dāng)一個(gè)可逆矩陣的階數(shù)較大時(shí)，即使用初等變換求它的逆矩陣仍然計(jì)算量較大。如果把該矩陣分塊，再對(duì)分塊矩陣求逆矩陣，則能減少計(jì)算量。而且形如
的分塊矩陣，使用分塊矩陣較方便?，F(xiàn)用為例，來說明求逆矩陣的方法，其它的矩陣可依此類推。
設(shè)有n階可逆矩陣，其中為階可逆方陣，求。
解：設(shè)，則與有相同分法，則
得一個(gè)線性方程組為
由于可逆，故存在，解得
從而
方法六 利用哈密爾頓—?jiǎng)P萊定理求逆矩陣法
哈密爾頓—?jiǎng)P萊定理
7、設(shè)A是數(shù)域P上一個(gè)矩陣，是A的特征多項(xiàng)式，則。
如果A可逆，則A的特征多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)，由定理知
于是
因此得
此式給出了的多項(xiàng)式計(jì)算方法。
例3 已知，求。
解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：
因，所以矩陣A可逆，由式知
=
方法七 “和化積”法
有時(shí)遇到這樣的問題：要求判斷方陣之和A+B的可逆性并求逆矩陣，此時(shí)可將A+B直接化為，由此有A+B可逆，且，或?qū)⒎疥囍虯+B表為若干個(gè)已知的可逆陣之積，再有定理2知A+B可逆，并可得出其逆矩陣。
例4 證明：若，則是可逆陣，并求。
證明：
E-A
8、是可逆矩陣且
總之，矩陣可逆性的判斷及求逆矩陣的方法很多，不僅僅只是以上列舉的幾種方法，大家在做題過程中，可根據(jù)題目的需要靈活選用方法來求解。
參考文獻(xiàn)：
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The ones that go against matrix judge and ask the discussion
g
9、oing against the matrix method
ABSTRACT: Judging reversibly and against the asking and solving one of the main contents that is higher algebra of matrix. This text provides and judges whether matrix is reversible and asks several kinds of methods to go against matrix.
KEYWORDS: Inverse matrix Adjoint matrix Elementary matrix
Partitioned matrix
7
關(guān)于矩陣逆的判定及求逆矩陣方法的探討數(shù)學(xué)畢業(yè)論文
