高中數學 第一章 三角函數 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角學案 新人教A版必修4

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1、 1.1.1　任意角 學習目標：1.理解任意角的概念.2.掌握終邊相同角的含義及其表示．(重點、難點)3.掌握軸線角、象限角及區(qū)間角的表示方法．(難點、易錯點) [自 主 預 習·探 新 知] 1．角的概念：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形． 2．角的表示：如圖1­1­1， 圖1­1­1 (1)始邊：射線的起始位置OA， (2)終邊：射線的終止位置OB， (3)頂點：射線的端點O. 這時，圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”． 3．任意角的分類 (1)按旋轉方向分

2、 (2)按角的終邊位置分 ①前提：角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合 ②分類： [基礎自測] 1．思考辨析 (1)第二象限角大于第一象限角．(　　) (2)第二象限角是鈍角．(　　) (3)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．(　　) (4)終邊相同的角有無數個，它們相差360°的整數倍．(　　) [解析]　(1)錯誤．如第二象限角100°小于第一象限角361°. (2)錯誤．如第二象限角－181°不是鈍角． (3)(4)都正確． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4

3、)√ 2．50°角的始邊與x軸的非負半軸重合，把終邊按順時針方向旋轉2周，所得角是________． －670°　[由題意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.] 3．已知0°≤α＜360°，且α與600°角終邊相同，則α＝________，它是第________象限角． 240°　三　[因為600°＝360°＋240°，所以240°角與600°角終邊相同，且0°≤240°＜360°，故α＝240&#

4、176;，它是第三象限角．] [合 作 探 究·攻 重 難] 任意角和象限角的概念 　(1)給出下列說法： ①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負角；③小于180°的角是鈍角、直角或銳角；④始邊和終邊重合的角是零角． 其中正確說法的序號為________(把正確說法的序號都寫上)． (2)已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角． ①420°.②855°.③－510°. 【導學號：84352000】 (1)①　[(1)①銳角是大于0°且小于90°的

5、角，終邊落在第一象限，是第一象限角，所以①正確； ②－350°角是第一象限角，但它是負角，所以②錯誤； ③0°角是小于180°的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以③錯誤； ④360°角的始邊與終邊重合，但它不是零角，所以④錯誤．] (2)作出各角的終邊，如圖所示： 由圖可知： ①420°是第一象限角． ②855°是第二象限角． ③－510°是第三象限角． [規(guī)律方法]　1.判斷角的概念問題的關鍵與技巧： (1)關鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念． (2)技巧：判斷命題為

6、真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可． 2．象限角的判定方法： (1)在坐標系中畫出相應的角，觀察終邊的位置，確定象限． (2)第一步，將α寫成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式； 第二步，判斷β的終邊所在的象限； 第三步，根據β的終邊所在的象限，即可確定α的終邊所在的象限． 提醒：理解任意角這一概念時，要注意“旋轉方向”決定角的“正負”，“旋轉幅度”決定角的“絕對值大小”． [跟蹤訓練] 1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，則下面關系正確的是(　　) A．A

7、＝B＝C B．A?C C．A∩C＝B D．B∪C?C D　[由已知得BC，所以B∪C＝C，故D正確．] 2．給出下列四個命題：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的命題有(　　) 【導學號：84352001】 A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 D　[－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°， 360°＋90°＜475°＜360°＋180

8、6;，－360°＜－315°＜－270°.所以這四個命題都是正確的．] 終邊相同的角的表示及應用 　(1)將－885°化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________． (2)寫出與α＝－1 910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來． [思路探究]　(1)根據－885°與k·360°，k∈Z的關系確定k. (2)先寫出與α終邊相同的角k·360°＋α，

9、k∈Z，再由已知不等式確定k的可能取值． (1)(－3)×360°＋195°　[(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.] (2)與α＝－1 910°終邊相同的角的集合為 {β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)， ∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6

10、. k＝4時，β＝4×360°－1 910°＝－470°； k＝5時，β＝5×360°－1 910°＝－110°； k＝6時，β＝6×360°－1 910°＝250°. [規(guī)律方法]　1.在0°到360°范圍內找與給定角終邊相同的角的方法 (1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角． (2)如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法

11、完成：當所給角是負角時，采用連續(xù)加360°的方式；當所給角是正角時，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結果達到要求為止． 2．運用終邊相同的角的注意點 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在運用時需注意以下四點： (1)k是整數，這個條件不能漏掉． (2)α是任意角． (3)k·360°與α之間用“＋”連接，如k·360°－30°應看成k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同

12、，終邊相同的角有無數個，它們相差周角的整數倍． 提醒：表示終邊相同的角，k∈Z這一條件不能少． [跟蹤訓練] 3．下面與－850°12′終邊相同的角是(　　) A．230°12′ B．229°48′ C．129°48′ D．130°12′ B　[與－850°12′終邊相同的角可表示為α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，當k＝3時，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.] 4．在－360°～360°之間找出所有與下列各角

13、終邊相同的角，并判斷各角所在的象限． ①790°；②－20°. 【導學號：84352002】 [解]?、佟?90°＝2×360°＋70°＝3×360°－290°， ∴在－360°～360°之間與它終邊相同的角是70°和－290°，它們都是第一象限的角． ②∵－20°＝－360°＋340°， ∴在－360°～360°之間與它終邊相同的角是－20°和340°，它們都是第四象限的角．

14、任意角終邊位置的確定和表示 [探究問題] 1．若射線OA的位置是k·360°＋10°，k∈Z，射線OA繞點O逆時針旋轉90°經過的區(qū)域為D，則終邊落在區(qū)域D(包括邊界)的角的集合應如何表示？ 提示：終邊落在區(qū)域D包括邊界的角的集合可表示為{α|k·360°＋10°≤α≤k·360°＋100°，k∈Z}． 2．若角α與β的終邊關于x軸、y軸、原點、直線y＝x對稱，則角α與β分別具有怎樣的關系？ [提示]　(1)關于x軸對稱：若角α與β的終邊關于x軸對稱，則角α與β的關系是β＝－α＋k&#

15、183;360°，k∈Z. (2)關于y軸對稱：若角α與β的終邊關于y軸對稱，則角α與β的關系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z. (3)關于原點對稱：若角α與β的終邊關于原點對稱，則角α與β的關系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z. (4)關于直線y＝x對稱：若角α與β的終邊關于直線y＝x對稱，則角α與β的關系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z. 　(1)若α是第一象限角，則－是(　　) A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角

16、 (2)已知，如圖1­1­2所示． 圖1­1­2 ①分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合． ②寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合. [思路探究]　(1)→→ (2)①→ ② → (1)D　[(1)因為α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z， 所以k·180°＜＜k·180°＋90°，k∈Z， 所以是第一、三象限角， 又因為－與的終邊關于x軸對稱， 所以－是第二、四象限角．] (

17、2)①終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}； 終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}． ②由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之間的與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． 母題探

18、究：1.若將本例(2)改為如圖1­1­3所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？ 圖1­1­3 [解]　在0°～360°范圍內，終邊落在陰影部分(包括邊界)的角為60°≤β＜105°與240°≤β＜285°，所以所有滿足題意的角β為{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285

19、76;，k∈Z} ＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z} ＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}． 故角β的取值集合為{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}． 2．若將本例(2)改

20、為如圖1­1­4所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示？ 圖1­1­4 [解]　在0°～360°范圍內，陰影部分(包括邊界)表示的范圍可表示為：150°≤β≤225°，則所有滿足條件的角β為{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}． [規(guī)律方法]　1.表示區(qū)間角的三個步驟： 第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界； 第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360

21、6;～360°范圍內的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°； 第三步：起始、終止邊界對應角α，β再加上360°的整數倍，即得區(qū)間角集合． 2．nα或所在象限的判斷方法： (1)用不等式表示出角nα或的范圍； (2)用旋轉的觀點確定角nα或所在象限． 例如：k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z. 由0°＜＜30°，每次逆時針旋轉120°可得終邊的位置． 提醒：表示區(qū)間角時要注意實線邊界與虛線邊界的差異． [當 堂 達 標

22、·固 雙 基] 1．下列說法正確的是(　　) A．三角形的內角是第一象限角或第二象限角 B．第四象限的角一定是負角 C．60°角與600°角是終邊相同的角 D．將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉過的角為60° D　[A錯誤，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角； B錯誤，280°角是第四象限角，但它不是負角； C錯誤，600°－60°＝540°不是360°的倍數； D正確，分針轉一周為60分鐘，轉過的角度為－360°，將分針撥慢是逆時針旋轉，撥慢10分鐘轉過的角為3

23、60°×＝60°.] 2．下列各個角中與2 017°終邊相同的是(　　) A．－147°　　　 B．677°　　　 C．317°　　　 D．217° D　[因為2 017°＝360°×5＋217°，所以與2 017°終邊相同的角是217°.] 3．已知角α的終邊在如圖1­1­5陰影表示的范圍內(不包含邊界)，那么角α的集合是________. 【導學號：84352004】 圖1­1­5 {α|k&

24、#183;360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}　[觀察圖形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．] 4．角α，β的終邊關于y軸對稱，若α＝30°，則β＝________. 150°＋k·360°，k∈Z　[∵30°與150°的終邊關于y軸對稱， ∴β的終邊與150°角的終邊相同． ∴β＝150°＋k·360°，k∈Z

25、.] 5．在0°到360°范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角： (1)－120°；(2)640°. 【導學號：84352005】 [解]　(1)與－120°終邊相同的角的集合為M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}． 當k＝1時，β＝－120°＋1×360°＝240°， ∴在0°到360°范圍內，與－120°終邊相同的角是240°，它是第三象限的角． (2)與640°終邊相同的角的集合為M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}． 當k＝－1時，β＝640°－360°＝280°， ∴在0°到360°范圍內，與640°終邊相同的角為280°，它是第四象限的角． 我國經濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉變經濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經濟結構，實現經濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調等現實挑戰(zhàn)。