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1、
專題對點(diǎn)練7 導(dǎo)數(shù)與不等式及參數(shù)范圍
1.(2017全國Ⅲ,理21)已知函數(shù)f(x)=x-1-aln x.
(1)若f(x)≥0,求a的值;
(2)設(shè)m為整數(shù),且對于任意正整數(shù)n,1+121+122…1+12n0,由f(x)=1-ax=x-ax知,當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f(x)<0;當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f(x)>0.
所以f(x)在(0,a)單調(diào)遞減,在(a,+∞)單調(diào)遞增.
故x=a是f(x)在(0,+∞)的唯一最小值點(diǎn).
由于f(
2、1)=0,所以當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí),f(x)≥0.故a=1.
(2)由(1)知當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),x-1-ln x>0.令x=1+12n得ln1+12n<12n.
從而ln1+12+ln1+122+…+ln1+12n<12+122+…+12n=1-12n<1.
故1+121+122…1+12n2,所以m的最小值為3.
2.設(shè)f(x)=ax2-a+eex,g(x)=1x+ln x.
(1)設(shè)h(x)=f(x)-g(x)+ex-exxex,討論y=h(x)的單調(diào)性;
(2)證明對任意a∈-∞,12,?x∈(1,+∞),使f(x)
3、
(1)解 由h(x)=f(x)-g(x)+ex-exxex=ax2-ln x-a(x>0),
則h(x)=2ax-1x=2ax2-1x.
①a≤0時(shí),h(x)<0,h(x)在(0,+∞)遞減;
②a>0時(shí),令h(x)>0,解得x>12a,
令h(x)<0,解得01時(shí),k1(x)>0,k1(x)在(1,+∞)遞增,k
4、1(x)>k1(1)=0,
若a≤0,由于x>1,故f(x)0,
即存在x=12a>1,使得f(x)
5、)若不等式2xlnx1-x2>mx-1恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解 (1)f(x)=2x+a+4f(2)x2,
令x=2,則f(2)=1+a+f(2),∴a=-1,
因切點(diǎn)為(2,2ln 2+2a-2f(2)),
則y-(2ln 2+2a-2f(2))=f(2)(x-2),
代入(-4,2ln 2),得2ln 2-2ln 2-2a+2f(2)=-6f(2),
∴f(2)=-14,
∴f(x)=2x-1-1x2=-(x-1)2x2≤0,
∴f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減.
(2)2xlnx1-x2>mx-1恒成立,即11-x22lnx+1-x2x>m,
令φ(x)=2ln
6、 x+1-x2x,
由(1)可知φ(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,
∵φ(1)=0,∴x∈(0,1),φ(x)>0,x∈(1,+∞),φ(x)<0,
∴11-x2φ(x)在(0,+∞)恒大于0,∴m≤0. ?導(dǎo)學(xué)號16804171?
4.(2017全國Ⅱ,理21)已知函數(shù)f(x)=ax3-ax-xln x,且f(x)≥0.
(1)求a;
(2)證明f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0,且e-2
7、(1)=0,
而g(x)=a-1x,g(1)=a-1,得a=1.
若a=1,則g(x)=1-1x.當(dāng)01時(shí),g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.所以x=1是g(x)的極小值點(diǎn),故g(x)≥g(1)=0.
綜上,a=1.
(2)證明 由(1)知f(x)=x2-x-xln x,f(x)=2x-2-ln x.
設(shè)h(x)=2x-2-ln x,則h(x)=2-1x.
當(dāng)x∈0,12時(shí),h(x)<0;當(dāng)x∈12,+∞時(shí),h(x)>0.
所以h(x)在0,12內(nèi)單調(diào)遞減,在12,+∞內(nèi)單調(diào)遞增.
又h(e-2)>0,h12<0,h(1)=0,所
8、以h(x)在0,12內(nèi)有唯一零點(diǎn)x0,在12,+∞內(nèi)有唯一零點(diǎn)1,且當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),h(x)>0;當(dāng)x∈(x0,1)時(shí),h(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h(x)>0.
因?yàn)閒(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn).
由f(x0)=0得ln x0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0).
由x0∈(0,1)得f(x0)<14.
因?yàn)閤=x0是f(x)在(0,1)內(nèi)的最大值點(diǎn),由e-1∈(0,1),f(e-1)≠0得f(x0)>f(e-1)=e-2.
所以e-2
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