矩陣對(duì)角化問題數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

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1、矩陣對(duì)角化問題 高等代數(shù)中，在講到線性空間和線性變換時(shí)，一個(gè)主要內(nèi)容是討論矩陣對(duì)角化,即在什么條件下矩陣與對(duì)角矩陣相似.而矩陣對(duì)角化的原始問題是：設(shè)是有限維復(fù)線性空間,是上的線性變換，能否在中找到一個(gè)基,使得在這個(gè)基下的矩陣比較簡(jiǎn)單.作為純粹的幾何問題就是能否分解成一些不變子空間的直和.討論這個(gè)幾何問題的證明對(duì)于了解線性空間有很大好處.本文將對(duì)分解成所謂根子空間的直和給出一種較為初等的證明，并由根子空間分解定理推出線性變換(或階方陣)可對(duì)角化的充要條件.把這些充要條件與其他線性變換（或階方陣）可對(duì)角化的充要條件進(jìn)行匯總比較，從而得到線性變換的矩陣對(duì)角化的方法的優(yōu)劣，便于學(xué)習(xí)和研究根據(jù)具體情

2、況選用. 1．預(yù)備知識(shí) 1.1有關(guān)定義 定義1.1.1 線性空間一個(gè)變換稱為線性變換，如果對(duì)于中任意的元素和數(shù)域中任意數(shù)K都有 (+)=（）+（） (）= () 定義1.1.2 設(shè)是數(shù)域上的線性空間的線性變換，W是的子空間，如果W中的向量在下像仍在W中，換句話說(shuō)，對(duì)于W中任一向量，有,我們就稱是的不變子空間，簡(jiǎn)稱-空間. 定義1.1.3設(shè),線性空間的子空間，如果和+中每個(gè)向=+,是唯一的,這個(gè)和就稱為直和. 定義1.1.4 如果數(shù)域上的階矩陣A相似于對(duì)角陣，則可對(duì)角化 定義1.1.5 設(shè)是數(shù)域上的階矩陣，如果數(shù)域上的多項(xiàng)式使得= 0,則稱以為根.在以為根的多項(xiàng)式中次數(shù)

3、最低且首相系數(shù)為1的多項(xiàng)式稱為的最小多項(xiàng)式. 定義1.1.6 設(shè)是數(shù)域上的維線性空間的線性變換，如果存在非零向量,數(shù),N,使得，那么稱為屬于的根向量.線性變換的屬于特征根的根向量的全體，再添上零向量所組成的的子集是的一個(gè)子空間，稱的這個(gè)子空間為的屬于特征值的根子空間. Sylvester不等式 設(shè)均為階矩陣，秩（）+秩()+秩（） 1.2 線性空間根子空分解定理 引理 設(shè)是n 維復(fù)線性空間V 的線性變換, 是的所有不同的特征值,且其中是V 的全部根子空間,則在 上為冪零線性變換,而在上為可逆線性變換. 證明 不失一般性,只證明在上為冪零線性變換,而在上為可逆線性變換.在中取一個(gè)

4、基 , 則有正整數(shù) ,使 , i = 1，2，…, t ,取p = max, 有, i = 1 ,2…t,于是對(duì)任意，令,則 =( )= ,即在上, = (為零變換) ,所以在上為冪零線性變換. 令W =,若不可逆,則一定有一個(gè)特征根是0 ,因而在W 上有屬于特征根0 的特征向量 (∈W) ,即有 ==0, 亦即(0). 又因∈W = ,所以有=,其中 ( i = 2 ,…,s) 于是有正整數(shù),使 , i = 2 ,…, s ,令,則τ() = = 0 , i = 2 ,…, s,從而τ() = τ() + … + τ(ξs) = 0 , 另一方面, 因?yàn)? ，又()==

5、 這就導(dǎo)致了矛盾.所以在 上為可逆線性變換. 定理1.2.1 (根子空間分解定理) 設(shè)是維復(fù)線性空間V的線性變換, 是的所有不同的特征值,是屬于 的根子空間, i = 1 ,2 ,…, s ,則. 證明 設(shè)的特征多項(xiàng)式為 令 i = 1 ,2 ,…, s , 則 互素, 于是有多項(xiàng)式 , 使, 將 代入上式, 得 ,(為單位變換), 任給ξ ∈ V ,有ξ =(ξ) =ξ= , 記, i = 1 ,2 ,…, s ,于是. 下面證明 , i = 1

6、,2 ,…, 因?yàn)?由哈密爾頓- 凱萊定理 (為零變換),于是有=（為零變換） 即, i = 1 ,2,… , s ,所以,又顯然 ,故. 再證明上面的和是直和,設(shè), i = 1 ,2 ,…,s 由引理知在上為冪零變換，所以存在正整數(shù) ,使得在上(為零變換),又由引理 ，在上為可逆變換,所以 在上也是可逆變換,于是 0 ==（）= +（）=（） 從而=0 ,于是 , i = 1 ,2 ,… s,由零向量的表法唯一知 根子空間分解定理全部證完. 運(yùn)用根子空間分解定理可以推出一些矩陣對(duì)角化的充要條件.對(duì)角矩陣可以認(rèn)你為是矩陣中最簡(jiǎn)單的一種，一些復(fù)雜的矩陣可以通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ɑ癁閷?duì)角

7、陣.通過(guò)相應(yīng)對(duì)角陣的研究學(xué)習(xí),可以推知這些復(fù)雜矩陣的性質(zhì),促進(jìn)對(duì)復(fù)雜矩陣的了解,簡(jiǎn)化很多復(fù)雜工作,給學(xué)習(xí)和研究帶來(lái)很大方便.下面就矩陣對(duì)角化的充要條件作一詳細(xì)論述. 2. 矩陣可對(duì)角化的一些充要條件及矩陣對(duì)角化方法 2.1 特征向量法 定理2.1.1 設(shè)是維線性空間V的一個(gè)線性變換, 的矩陣可以在某一組基下為對(duì)角陣充要條件是, 有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. 證明 設(shè)在基下具有對(duì)角陣.即 i=1,2…n 因此, 就是的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. 反過(guò)來(lái),如果有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,那么就取為基.顯然, 在這組基下的矩陣是對(duì)角陣.

8、 證 畢. 例1. 設(shè)線性變換在基下的矩陣是(1), (2), 問A是否可以對(duì)角化? 解 (1)因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式為 = 所以A的特征值是-1(二重)和5 把特征值-1代入齊次方程組得 (1) 解得基礎(chǔ)解系是和 因此屬于-1的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量是 把特征值5代入(1)得基礎(chǔ)解系,所以屬于5的全部特征向量為 則在基下的矩陣為B= (2) ==，所特征值為1(二重)和-2. 對(duì)應(yīng)特征值1的特征向量為 對(duì)應(yīng)特征值-2的特征向量為 由此知有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，由定理1知不能對(duì)角化. 運(yùn)用此定理判定一個(gè)線性變換的矩陣是否可

9、以對(duì)角化的方法簡(jiǎn)單易懂,但是過(guò)程比較繁瑣.先計(jì)算一個(gè)行列式求出的特征值,再利用方程組和特征向量的有關(guān)理論及求法計(jì)算出是否有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.計(jì)算過(guò)程容易出錯(cuò).下面利用最小多項(xiàng)式給出一個(gè)線性變換的矩陣可角化的充要條件.此定理比定理2.1.1簡(jiǎn)潔實(shí)用 2.2 最小多項(xiàng)式法 引理 設(shè)A是一個(gè)對(duì)角陣A=，并設(shè),的最小多項(xiàng)式為，那么A的最小多項(xiàng)式為的最小公倍數(shù). 證明 =，首先=0.因此能被A的最小多項(xiàng)式整除.其次.那么=0, =0,=0,因而，.并由此得.這樣就證明了是A的最小多項(xiàng)式. 這個(gè)結(jié)論可以推廣到A為若干矩陣組成的準(zhǔn)對(duì)角陣的情形. 即如果A=，的最小多項(xiàng)式為，i=1,2

10、,…,s.那么A的最小多項(xiàng)式為. 定理2.2.1 數(shù)域P上級(jí)矩陣A與對(duì)角陣相似的充要條件為A的最小多項(xiàng)式是P上互素的一次因式的乘積. 證明 根據(jù)引理的推廣形式，條件的必要性是顯然的. 下面證明充分性. 根據(jù)矩陣和線性變換之間的關(guān)系，我們可以定義任意線性變換的最小多項(xiàng)式，它等于其對(duì)應(yīng)矩陣的最小多項(xiàng)式.所以只需證明,若數(shù)域上某線性空間V的線性變換的最小多項(xiàng)式是上互素的一次因式的乘積，則有一組特征向量做成V的基. 實(shí)際上，由于.由定理1.2.1同樣的步驟可證，其中,把各自的基合起來(lái)就是V的基，而每個(gè)基向量都屬于某個(gè)，因而是的特征向量.

11、 證畢. 推論 復(fù)數(shù)矩陣與對(duì)角陣相似的充要條件是的最小多項(xiàng)式無(wú)重根. 不利用定理2.2.1,該推論也可證明.下面給出令一種證明. 證明 必要性 設(shè)A相似diag，所以存在可逆矩陣T使,(為對(duì)角陣),從而,不妨是A的互不相同的特征根 記 因而 = == 而 = = =diag=0 所以=0.于是，但是沒有重根，因而沒有重根. 充分性 設(shè)為最小多項(xiàng)式的互不相同的根,則由無(wú)重根=，于是==0 令rank=，則dim=-,所以A共有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量并且顯然.另一方面.

12、因而又有，故.這就說(shuō)明了有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量由定理2.1.1知可對(duì)角化. 證畢. 例2. 判下列矩陣是否可以對(duì)角化. （1） （2） 解（1）可求的A的特征多項(xiàng)式為 由于的最小多項(xiàng)式為的因式，計(jì)算得,.而=0.因此的最小多項(xiàng)式為.顯然的最小多項(xiàng)式是實(shí)數(shù)域上互素的一次因式的乘積，從而由定理2.2.1知A可對(duì)角化. （2）可求得的最小多項(xiàng)式為== 由于的最小多項(xiàng)式為的因式，計(jì)算得, =0.因此的最小多項(xiàng)式為.從而由定理2.2.1知不可對(duì)角化.

13、 例3 =E,則與對(duì)角陣相似.(k=1，2…) 證明 由知A為多項(xiàng)式的零點(diǎn)，即=0.因的最小多項(xiàng)式，而無(wú)重根，所以無(wú)重根，故由推論知與對(duì)角陣相似. 對(duì)于單純的判斷一個(gè)線性變換的矩陣能否對(duì)角化運(yùn)用定理2.2.1及其推論是很簡(jiǎn)潔方便的，它部避免了運(yùn)用定理2.1.1的繁瑣過(guò)程.但是對(duì)于既要判定某個(gè)數(shù)域上的線性變換的矩陣是否可對(duì)角化，對(duì)于可對(duì)角化的矩陣又要求出相似變換矩陣及矩陣特征值的題目來(lái)說(shuō)運(yùn)用定理2.2.1及推論是達(dá)不到要求的.而運(yùn)用定理2.1.1雖然能達(dá)到要求但方法卻很繁瑣.下面給出的方法僅需利用矩陣的乘法運(yùn)算便可判定一個(gè)矩陣是否相似與對(duì)角

14、陣，并且在判定的過(guò)程中簡(jiǎn)潔的構(gòu)造出相似變換矩陣完全不需解性方程組. 2.3 矩陣的乘法運(yùn)算法 定理2.3.1 設(shè)為階矩陣的全部相異特征值，其重?cái)?shù)分別為，,則A與對(duì)角陣相似的充要條件是=0.(i=1,2,…,s) 證明 必要性 若A相似于陣對(duì)角陣，則存在可逆矩陣使得=,其中為階單位矩陣（i=1,2,…,s）于是 ==,于是 == 由于=0（j=1,2,…,s）.所以=0. 充分性 因?yàn)閷?duì)于任何階矩陣都存在可逆矩陣P，使得 A= P,其中為jordan塊(j=1,2,...,s).因此要證可對(duì)角化，只要證=（j=1,2,…,s）,由于 ==P 所以若.則因P

15、可逆而有（j=1,2,…,s）.又當(dāng)時(shí)，可逆，所以，即(j=1,2,…,s) 定理2.3.2 設(shè)時(shí)階矩陣的全部相異特征根，其重?cái)?shù)分別為，則于對(duì)角陣相似的充要條件是的秩為（j=1,2,…,s）. 證明 必要性 = 其中分別是階的零矩陣和單位矩陣（j=1,2,…,s）.由于P滿秩且.所以==. 充分性 用反證法 假設(shè)不可對(duì)角化，則因幾何重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù)，必至少存在一整數(shù)k使得>，于是時(shí).由sylvester不等式知 > =矛盾.所以A可對(duì)角化. 推論1 設(shè)為階矩陣的相異的特征根，其重?cái)?shù)為，則矩陣的列向量中由對(duì)應(yīng)于的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征

16、向量. 證明 因可對(duì)角化，由定理2.3.1得=0， ==0.由此，中每一列非零向量都是方程組X=0解向量,即的特征向量.又有定理2.3.2知，所以的列向量組中有恰好對(duì)應(yīng)于的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. 上述的結(jié)論表明，要構(gòu)造可對(duì)角化矩陣A 的相似變換矩陣,完全可以不像傳統(tǒng)的方法那樣解方程組X=0，而只需對(duì)每一特征值（j=1,2,…,s）從矩陣乘積中直接找出個(gè)與對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量，這樣所得的個(gè)特征向量為列作一階矩陣即可. 推論2 若階可對(duì)角化矩陣只有兩個(gè)相異特征值（重）和（重），則矩陣（或的 (或)個(gè)線性無(wú)關(guān)列向量就是對(duì)應(yīng)（或）的特征向量的極大無(wú)關(guān)組. 這一結(jié)論進(jìn)一步表明，在可

17、對(duì)角化矩陣只有2個(gè)相異特征值的情況下，不僅不需要解方程組，而且不需要計(jì)算矩陣的乘積就可以把對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量立即求出. 例4 求下列矩陣A相似變換矩陣. (1)= （2）= 解 （1）的特征值=12，=3（二重） , 由于,所以A可對(duì)角化，有推論2知 的一個(gè)特征向量（取的第3列） 的2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 故相似變換矩陣==， （2）A的特征值=-1(二重)，=5，=1，而= , 由推論2可得的特征向量. 的特征向量分別為 于是相似變換矩陣為P=== A=diag(-1,-1,5,-1). 上文討論了矩陣是否可對(duì)角化的判定及矩陣對(duì)角化方

18、法問題，給出了簡(jiǎn)便易行的判定和求法.區(qū)別于傳統(tǒng)的方法，定理2.3.1定理2.3.2及推論把矩陣對(duì)角化問題歸結(jié)為矩陣的乘法運(yùn)算，不需要解方程組就可以得到特征向量及相似變換矩陣,但是上述方法都沒有達(dá)到特征值，特征向量，相似變換矩陣同步求解的效果.下面引入-矩陣，改進(jìn)在一般情形下矩陣對(duì)角化的方法，使判定和求解一步到位并得到矩陣對(duì)角化十分簡(jiǎn)單的方法，主要依據(jù)下面兩個(gè)定理. 2.4 引入-矩陣推出數(shù)字矩陣可對(duì)角化的充要條件 定理2.4.1 設(shè)A是數(shù)域上的n階方陣，為其特征矩陣E為n階單位陣.如果經(jīng)過(guò)初等變換化為對(duì)角陣,則A的特征值為的對(duì)角線上元素的乘積的多項(xiàng)式的根. （證明略） 定理2.4.2

19、在定理2.4.1 的假設(shè)下，如果經(jīng)初等變換化為,且為對(duì)角陣，則 （1） 對(duì)于A的每個(gè)特征值，中與的零行對(duì)應(yīng)的行向量生成屬于的特征子空間. （2） 若A的特征值都在內(nèi)，設(shè)為A的全部不同的特征值，其重?cái)?shù)分別為，則A可以對(duì)角化的充要條件是中零行的數(shù)目=的重?cái)?shù)（i=1,2,…,s） 證明 (1)因?yàn)榕c的秩為，則總有可逆的-矩陣,,使. 即對(duì)施行對(duì)應(yīng)的一些行初等變換和對(duì)應(yīng)的一些列初等變換可使化為對(duì)角陣，有 (1) 這里相當(dāng)于初等列變換的右乘作用在而不作用于E. 因?yàn)?，所以=.于是對(duì)A的每個(gè)特征值有=diag() 設(shè)中有個(gè)零行，相應(yīng)的個(gè)為0的對(duì)角元記為，取中對(duì)應(yīng)的列向量,則 =0.因?yàn)?/p>

20、可逆，所以 =0 （2） 由于可逆，故列滿秩，從而由（2）知正是屬于的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，再?gòu)模?）式，注意到中個(gè)非零行是行滿秩的.由中定理1知屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量就是中與的零行對(duì)應(yīng)的行向量，他們生成對(duì)應(yīng)的特征子空間. (2) 可對(duì)角化秩==,即=（i=1,2,…,s） 證畢. 基于以上討論我們不難得到矩陣對(duì)角化的簡(jiǎn)單方法，其步驟如下： (1)對(duì)作初等變換化為,其中，則A的特征值恰是=0的根. (2) 如果的特征向量全在P內(nèi)，且對(duì)每個(gè)有中零行數(shù)目=的重?cái)?shù)，則可以對(duì)角化，否則不可對(duì)角化. (3) 對(duì)于每個(gè)，在中取出與中零行對(duì)應(yīng)的行向量得A屬于線性無(wú)關(guān)的特征

21、向量. (4) 若可以對(duì)角化，作可逆矩陣，則，為階矩陣. 例5 判定下列矩陣可否對(duì)角化，若可以求可逆矩陣T，使為對(duì)角陣. (1) = (2) = 解 故的特征值是(二重),因中的零行數(shù)目的重?cái)?shù),故不可對(duì)角化. (2) 故的特征值為（2重根）, .又中零行數(shù)=2=的重?cái)?shù)；的零行數(shù)=1=的重?cái)?shù),故可對(duì)角化，且由 = 可得出是A屬于2的線性無(wú)關(guān)特征向量 由=得是屬于-4的線性無(wú)關(guān)的特征向量. 令T=,則 參考文獻(xiàn) [1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù).北京：高等教育出版社，第88版，1988. [2] 許以超.代數(shù)學(xué)引論.上海：社會(huì)科學(xué)技術(shù)出版社，1966 [3] 錢吉林.矩陣及其廣義矩陣.武漢：華中師范大學(xué)出版社. [4] 王心介.高等代數(shù)與解析幾何.北京：科學(xué)出版社,2002. [5] 張遠(yuǎn)達(dá).線性代數(shù)原理.上海：上海教育出版社，1980. [6] 彭海明.對(duì)“矩陣特征值與特征向量同步求解方法探討”的改進(jìn)意見.數(shù)學(xué)通報(bào)，1993(2):45-47. [7] 劉國(guó)洪.王寶智.利用矩陣的初等行變換對(duì)矩陣的特征值和特征向量同步求解,數(shù)學(xué)通報(bào),1996,2. 15