廣義似然比檢驗(yàn)法的具體方法數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

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1、摘　要 本文所研究的是廣義似然比檢驗(yàn)法的理論基礎(chǔ)、基本原理和應(yīng)用，這是一個很具有一般性的檢驗(yàn)法，由之可以派生出很多的具體的檢驗(yàn)法． 作為預(yù)備知識先研究了引理及似然比檢驗(yàn)法，似然比檢驗(yàn)法所求出的否定域具有很好的性質(zhì)，但卻有它的局限性，因此我們有必要去尋找更好的方法，廣義似然比檢驗(yàn)法的適用范圍很廣，本文主要是介紹了廣義似然比檢驗(yàn)法的具體方法并利用廣義似然比檢驗(yàn)法推導(dǎo)出單個正態(tài)總體和兩個正態(tài)總體的各種情況下的否定域，我詳細(xì)推導(dǎo)了單個正態(tài)總體下對均值和方差的單邊和雙邊檢驗(yàn)，而對兩個正態(tài)總體的情況只給出了結(jié)論． 關(guān)鍵詞：引理；似然比檢驗(yàn)法；廣義似然比檢驗(yàn)法；正態(tài)分布 Abstract T

2、his article studies is the generalized likelihood ratio inspection method rationale, the basic principle and the application, this is one has the general inspection method very much, might derive very many concrete inspection methods by it. To study the lemma and the likelihood ratio inspection

3、 method first as the preparation knowledge, otherwise the localization which the likelihood ratio inspection method extracted has the very good nature, but had its limitation actually, therefore we had the necessity to seek a better method, the generalized likelihood ratio inspection method applicab

4、le scope was very broad, this article mainly introduced the generalized likelihood ratio inspection method concrete method and used the generalized likelihood ratio inspection method to infer the single normal population and in two normal population each kind of situation. Otherwise the localization

5、, I have inferred under in detail the single normal population to the average value and the variance unilateral and the bilateral examination, but has only given the conclusion. Key words: Lemma；Likelihood ratio inspection method；Generalized likelihood ratio inspection method；Normal distributio

6、n 前　言 廣義似然比檢驗(yàn)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要內(nèi)容之一，也是一大難點(diǎn)，它在假設(shè)檢驗(yàn)中的地位類似于最大似然估計(jì)在參數(shù)估計(jì)中的地位，本科數(shù)學(xué)類專業(yè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)大綱對該內(nèi)容的要求比較低，相應(yīng)的教材只介紹廣義似然比檢驗(yàn)的基本概念和基本方法，其他內(nèi)容甚少．本文就是在原有大綱和教材要求的基礎(chǔ)上展開研究，總結(jié)搜集探討了以下內(nèi)容：第一章引理及似然比檢驗(yàn)法，似然比檢驗(yàn)法的最優(yōu)性，似然比檢驗(yàn)法的無偏性，第二章廣義似然比檢驗(yàn)法的前提和方法，第三章用廣義似然比檢驗(yàn)法重點(diǎn)解決了單個正態(tài)總體下的方差已知的情況下對均值的雙邊檢驗(yàn)和單邊檢驗(yàn)，方差未知的情況下

7、對均值的雙邊檢驗(yàn)和單邊檢驗(yàn)，均值已知的情況下對方差的雙邊檢驗(yàn)和單邊檢驗(yàn)，均值未知的情況下對方差的雙邊檢驗(yàn)和單邊檢驗(yàn)，簡單介紹了兩個正態(tài)總體下的各種情況的檢驗(yàn)，最后我用兩個表格總結(jié)了上述討論中得出的結(jié)果． 目　錄 第1章 引理及似然比檢驗(yàn)法 1 1.1 引理 1 1.2 似然比檢驗(yàn)法 2 第2章 廣義似然比檢驗(yàn)法 6 第3章 廣義似然比檢驗(yàn)法的應(yīng)用 7 3.1 單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn) 7 3.2 兩個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn) 17 3.3表格 19 結(jié)　論 21 致　謝 23 22 第1章 引理及似然比檢驗(yàn)法 1.1 引理 設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)是 ..

8、檢驗(yàn)問題： 設(shè)是的樣本，記 ， ． 定理1.1 給定設(shè) (這里) 適合 ， 則對任何否定域只要就一定有 ． 即是所有檢驗(yàn)水平不超過的否定域中犯第二類錯誤的概率最小的一個.證明 設(shè)是任何滿足的否定域，則 　　　　= =． 1.2 似然比檢驗(yàn)法 1.2.1 似然比檢驗(yàn)法 根據(jù)引理，否定域具有最優(yōu)性,其中 叫做似然比．這個否定域確定的檢驗(yàn)法叫做似然比檢驗(yàn)法．當(dāng)似然比的分布函數(shù)連續(xù)時(shí)，是存在的. 例1 設(shè)檢驗(yàn)問題： 設(shè)是來自總體的樣本,求該檢驗(yàn)問題的否定域

9、. 解 的密度函數(shù)是 ， 根據(jù)似然比檢驗(yàn)法只須尋找型的否定域，其中 ， 為了必須且只須 ，記， 而當(dāng)正確時(shí) ,則． 故應(yīng)選滿足 查表知 ， 故該檢驗(yàn)問題的否定域?yàn)? ． 1.2.2 似然比檢驗(yàn)法的最優(yōu)性 定理1.2 設(shè)的分布密度是的可能值集合 與無關(guān)．設(shè) 是的樣本，若在下的分布函數(shù)是連續(xù)的，則對任何，存在使得是水平為的唯一最大功效的否定域．這里“唯一”的含義是：若也是水平為的最大功效的否定域，則(是Lebesgue 測度，) ． 證明 由于的分布函數(shù)連續(xù)，故有，使得 于是的水平是．設(shè)是的任一子集，檢驗(yàn)水平不超過，即 ，我們來證明：若則必有

10、 ． （1.1） 實(shí)際上 這里及下面我們恒用代替.分兩種情況討論． （一） 此時(shí)在集合上　　　　 則 但在上 故 　　 　　　　　　　　 =． 故(1.1)式成立. （二） 令 因?yàn)榈姆植己瘮?shù)連續(xù)，故 即 但 故.從而 ． 故(1.1)仍然成

11、立.證明完畢 1.2.3 似然比檢驗(yàn)法的無偏性 定理 在引理的假定下 證明 記，則 　　　　　　　= =． 第2章 廣義似然比檢驗(yàn)法 上面我們研究的是似然比檢驗(yàn)法，我們可以發(fā)現(xiàn)利用似然比檢驗(yàn)法求出的否定域既是一致最大功效的又是無偏的，但卻有它的局限性，即未知參數(shù)的取值范圍必須是的形式，這是很少見的，那么對于一般的我們經(jīng)常采用似然比檢驗(yàn)法的推廣廣義似然比檢驗(yàn)法，這是一個很具有一般性的檢驗(yàn)法

12、，由之可以派生出很多的具體的檢驗(yàn)法 設(shè)樣本分布具有密度函數(shù)(或概率函數(shù))為. 檢驗(yàn)問題: 　 稱為樣本值()的廣義似然比． 由定義知，.設(shè)分別表示在及上的最大似然估計(jì)，則 原假設(shè)成立，即的真值確定在內(nèi)，則也在內(nèi)或離很近，使得 從而.當(dāng)顯著地大于1時(shí)，有即離很遠(yuǎn)；因與的真值很接近,因而的真值在內(nèi)的可能性極小,即極不可能成立.故應(yīng)該取否定域，其中滿足 第3章 廣義似然比檢驗(yàn)法的應(yīng)用 3.1 單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn) 1、 設(shè)，已知，求檢驗(yàn)問題； 的廣義似然比檢驗(yàn)否定域． 解 正態(tài)

13、分布的最大似然估計(jì)，似然函數(shù)為 ． 故 廣義似然比 ． 下面我們來求： 否定域 其中滿足 即 從而 （3.1） 故否定域?yàn)? （3.2） 2、設(shè) ,未知，求檢驗(yàn)問題: 的廣義似然比檢驗(yàn)否定域． 解 似然函數(shù)為 正態(tài)分布的最大似然估計(jì)為 ， 故 　　　　　　　　　　　 其中 ，

14、由于是關(guān)于的嚴(yán)格增函數(shù)，故廣義似然比檢驗(yàn)的否定域?yàn)?，其中滿足 當(dāng)成立時(shí)，，故 　　　　　　　　　　　　　 （3.3） 即 . （3.4） 例2 某批礦砂的個樣本中的鎳含量，經(jīng)測定為(%) 設(shè)測定值總體服從正態(tài)分布，問在=下能否接受假設(shè)，這批礦砂的鎳含量的均值為 解 按題意需檢驗(yàn)　　　　 設(shè)測定值總體服從正態(tài)分布，此處未知，此檢驗(yàn)問題的否定域?yàn)?，此?,查表得，又算得 ，，，, 不落在否定域內(nèi)，故接受，即認(rèn)為這批礦砂的鎳含量的均值為 3、設(shè)，

15、已知，，求檢驗(yàn)問題： 的廣義似然比檢驗(yàn)否定域． 解 似然函數(shù)為 　　　　　　　　　=． 時(shí)，正態(tài)分布的最大似然估計(jì)． 因時(shí)，，我們只需考慮的情況： 否定域 其中滿足 即 則 　　 （3.5） 故 　　　　　　　 （3.6） 同理我們可求得，已知，，檢驗(yàn)問題： 的廣義似然比檢驗(yàn)否定域?yàn)? 例3 要求一種元件平均使用壽命不得低于小時(shí)，生產(chǎn)者從一批這種元件中隨機(jī)抽取件，測得其壽命的平均值為小時(shí).已知該種元件壽命服從標(biāo)準(zhǔn)

16、差為小時(shí)的正態(tài)分布.試在顯著性水平=下判定這批元件是否合格？設(shè)總體均值為，未知.即需檢驗(yàn)假設(shè) . 解 在這里，=為已知，因此檢驗(yàn)問題的否定域?yàn)? = ，，，，，得<， 落在否定域內(nèi)，故應(yīng)拒絕，即認(rèn)為這批元件是不合格的． 4、設(shè)，未知，求檢驗(yàn)問題：的廣義似然比檢驗(yàn)否定域． 解：似然函數(shù)為 時(shí)，正態(tài)分布的最大似然估計(jì)為 ，． 故 因時(shí)， 我們只需考慮的情況 其中 且 故　　　　 其中滿足 當(dāng)成立時(shí)，，故 　　　　　　　　　　　　

17、 （3.7） 從而得到廣義似然比檢驗(yàn)否定域?yàn)? （3.8） 同理我們可求得： 設(shè)，未知，求檢驗(yàn)問題：的廣義似然比檢驗(yàn)否定域?yàn)? ． 例4 下面列出的是某工廠隨機(jī)選取的支部件的裝配時(shí)間（分）：9.8 10.4 10.6 9.6 9.7 9.9 10.9 11.1 9.6 10.2 10.3 9.6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.5 10.1 10.5 9.7.設(shè)裝配時(shí)間的總體服從正態(tài)分布，，均未知.是否可以認(rèn)為裝配時(shí)間的均值顯著地大于（取=）？ 解 假

18、設(shè)檢驗(yàn)問題為（未知），故否定域?yàn)? =，=，=，=，而=，，，=，因此不落在否定域內(nèi)，接受，即認(rèn)為裝配時(shí)間得均值顯著地大于 5、設(shè)，已知，求檢驗(yàn)問題：的廣義似然比檢驗(yàn)否定域． 解 似然函數(shù)為 時(shí)，的最大似然估計(jì) 時(shí)，= ． 故 設(shè) 則 當(dāng)時(shí)，遞增，而當(dāng)時(shí)，遞減而當(dāng)為真時(shí) 故 　　　 （3.9） 故由 知 　　　　　　　　　 （3.10） 其中是個自由度的分布的密度函數(shù)． 6、設(shè)，未知.求檢驗(yàn)問題： 的廣義似

19、然比檢驗(yàn)否定域． 解 似然函數(shù)為 時(shí)，， 時(shí)，， ． 故 ． 設(shè)，則，當(dāng)時(shí)遞增，而當(dāng)時(shí)，遞減而當(dāng)為真時(shí)， 故 （3.11） 其中，滿足 故 　　　　　　　　　.　　　 （3.12） 其中是個自由度的分布的密度函數(shù). 7、設(shè)~,=已知， 求檢驗(yàn)問題:的廣義似然比檢驗(yàn)否定域． 解 似然函數(shù)為 時(shí),的最大似然估計(jì)為 時(shí) 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), ． 因,是關(guān)于 = 的增函

20、數(shù),故 且 而當(dāng)為真時(shí)， 故 　　　　　　　　　　　 　 （3.13） 從而 （3.14） 8、設(shè)~,未知． 求檢驗(yàn)問題的廣義似然比檢驗(yàn)否定域 解 似然函數(shù)為 當(dāng)時(shí),的最大似然估計(jì)為 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), ． 因,是關(guān)于 = 的增函數(shù),故 且

21、 故 　　　　　　　　. 　　　　　　 （3.15） 從而 　　 （3.16） 例5 某種導(dǎo)線，要求其電阻的標(biāo)準(zhǔn)差不得超過（歐姆）.今在生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中取樣品根，測得=（歐姆），設(shè)總體為正態(tài)分布，參數(shù)均未知.問在水平=下能否認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大？ 解 由題意，需要檢驗(yàn)的假設(shè)為，該檢驗(yàn)問題的否定域?yàn)? =，=，=，= 而=，落在否定域內(nèi)，故應(yīng)拒絕，即認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)顯著偏大． 以上我們討論的只是單個總體的情況,對于兩個總體的情況方法完全一樣，我們只給出結(jié)論，不去詳細(xì)求解． 3.2

22、 兩個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn) 1、設(shè) 檢驗(yàn)問題： 此時(shí)取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 （3.17） 則該檢驗(yàn)問題的否定域?yàn)? 其中， 滿足 （3.18） 2、設(shè) 檢驗(yàn)問題： 此時(shí)取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 則該檢驗(yàn)問題的否定域?yàn)? 其中滿足 　　　　　　　　　　 　　　 （3.19） 3、設(shè) 檢驗(yàn)問題： 此時(shí)取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 　　 （3.20） 則該檢驗(yàn)問題的否定

23、域?yàn)? 其中 滿足 　　　　　　　　　　 （3.21） 4、設(shè) 檢驗(yàn)問題： 此時(shí)取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 該檢驗(yàn)問題的否定域?yàn)? 滿足 　 （3.22） 3.3表格 表3-1 單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn) 零假設(shè) 備擇假設(shè) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 分布 否定域 的決定 已知 已知 （3.6） （3.5） 已知

24、 已知 （3.2） （3.1） 已知 已知 （3.14） （3.13） 已知 已知 （3.10） （3.9） 未知 未知 （3.8） （3.7） 未知 未知 （3.4） （3.3） 未知 未知 （3.16） （3.15） 未知 未知 （3.11） （3.12） 表3-2 兩個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn) 零假設(shè) 備擇假設(shè) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 分布 否定域 的決定

25、 （3.17） （3.18） （3.19） （3.20） （3.21） （3.22） 結(jié)　論 本文主要是研究了廣義似然比檢驗(yàn)法的具體方法并利用廣義似然比檢驗(yàn)法推導(dǎo)出單個正態(tài)總體和兩個正態(tài)總體的各種情況下的否定域，詳細(xì)推導(dǎo)了單個正態(tài)總體下對均值和方差的單邊和雙邊檢驗(yàn)，得到了各檢驗(yàn)問題否定域見表3-1，對于兩個正態(tài)總體的情形，也給出了結(jié)論見表3-2．  參考文獻(xiàn) [1] 陳家鼎．?dāng)?shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)講義[M]．北京：高等教育出版社，1993． [2] 范金城，吳可法．統(tǒng)計(jì)推斷引導(dǎo)[M]．北京：科學(xué)出版社，2001．

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