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1、
第二章
2-1試證明圖 P2-1中周期性信號可以展開為（圖略）
4
(-1)
n
cos(2n +1)pt
s(t) = p
2n +1
n=0
證明：因為
所以
s(-t) = s(t)
2pkt
2pkt
s(t) = ck cos
=
ck cos
=
ck cospkt
T0
2
k=0
k=0
k=0
1
s(t)dt = 0 c0 = 0
-1
1
1
4p sin k2p
k
1
-
1
s(t)coskptdt
2、 = -(
ck =
+ )coskptdt +
1 coskptdt =
2
2
1
-1
-
1
-
2
2
0,
k = 2n
=
4
(2n+1)p
(-1)
n
k = 2n+1
所以
4
(-1)
n
2n+1
s(t) = p
cos(2n+1)pt
n=0
2-2設(shè)一個信號s(t)可以表示成
s(t) = 2cos(2pt +q)
- < t <
試問它是功率信號還是能量信號，并求出其功率譜密度或能量譜密度。
解：功率信號。
t 2
st ( f
3、) = cos(2pt +q)e- j2p
ft
dt
-t 2
= t q sinp ( f -1)t +
- jq
e
sinp ( f +1)t ]
p ( f +1)t
[e
j
2
p ( f -1)t
P( f ) = limt1 st
2
t
t sin
2
p( f -1)t + sin p ( f +1)t + 2 sinp ( f -1)t sinp( f +1)t cos2q
2
= lim
t 4 p
2
( f 1) p 2( f +1) t
4、 ( f -1)( f +1)t
2
- t
2
2 2 p 2 2
由公式
sin
2
xt =d (x)
sin xt =d (x)
p x
lim
和
lim
p tx
2
t
t
有
P( f ) = p d[p ( f -1)]+ p d[p ( f +1)]
4
4
= 1[d ( f +1)+d ( f -1)]
4
或者
P( f ) = 1[d ( f - f0)+d
5、 ( f + f0)]
4
2-3設(shè)有一信號如下：
2exp(-t)
t 0
t < 0
x(t) = 0
試問它是功率信號還是能量信號，并求出其功率譜密度或能量譜密度。
解：
dx = 4 e-2tdt =
x(t)
2
2
-
0
是能量信號。
x(t)e j2p
ft
dt
S( f ) =
-
= 2 e-(1- j2p f )t
dt
0
2
1- j2p f
=
2
2
4
G( f ) = 1- j2p f
=
1+ 4p
f
2 2
2-4試
6、問下列函數(shù)中哪一些滿足功率譜密度的性質(zhì)：
（1）d ( f )+ cos 2p f
2
（2）a +d ( f -a)
（3）exp(a - f )
解：
功率譜密度 P( f )滿足條件： P( f )df為有限值
-
（3）滿足功率譜密度條件，（1）和（2）不滿足。
2-5試求出s(t) = Acoswt的自相關(guān)函數(shù)，并從其自相關(guān)函數(shù)求出其功率。
解：該信號是功率信號，自相關(guān)函數(shù)為
1 A2T 2
R(t ) = lim
coswt cosw(t +t )
T
T
-T 2
= A coswt
2
2
P = R
7、(0) = 1 A
2
2
2-6設(shè)信號s(t)的傅里葉變換為S( f ) = sinp f p f，試求此信號的自相關(guān)函數(shù) Rs(t )。
解：
Rs(t ) = P( f )e j2p ft
df
-
sin
2
p f e j2p f
=
tdf
p
2 2
f
-
=1- t , -1
8、
解：（1）
Ps( f ) = Rs(t )e- j2p ftdt
-
= k
dt + k
0
e(k- j2p f )
e-(k+ j2p f )t
t
dt
2
2
-
0
k
2
=
k
2
+ 4p
2
2
f
2
k
P =
f 2df
-
k
2
+ 4p
2
= k
2
（2）略
2-8已知一信號s(t)的自相關(guān)函數(shù)是以 2為周期的周期函數(shù)：
R(t ) =1- t， -1
9、
解： R(t )的傅立葉變換為，（畫圖略）
1
T 2 R(t )e- j2p ftdt
T
-T 2
= 1 (1- t )e- j2p f
dt = sin
2
p f
1
t
2
-1
p
2
f
2
= sinc p f
2
P( f ) = sinc p fd ( f -nf0)
2
-
p fd ( f - n)
=
=
sinc
sinc
2
T
-
p fd ( f - n)
2
2
-
2-9已知一信號s(t)的雙邊功率譜密度為
P( f
10、) =
10-4 f 2,-10kHz < f <10kHz
0
其他
試求其平均功率。
解：
P =
P( f )df
-
=104
10-4
f df
2
-104
2
= 10
8
3
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