天津市南開區(qū)八年級上期中數(shù)學(xué)模擬試卷二含解析

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1、天津市南開區(qū)2016-2017學(xué)年八年級（上）期中數(shù)學(xué)模擬試卷（二）(解析版) 　 一、選擇題 1．以下圖形中對稱軸的數(shù)量小于3的是（　　） A． B． C． D． 2．如下圖，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正確的等式是（　?。? A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE 3．如圖，AD⊥BC，CE⊥BC，CH⊥AB，BG⊥AC，則在△ABC中，BC邊上的高是（　?。? A．線段CE B．線段CH C．線段AD D．線段BG 4．在△ABC中，∠A=55，∠B比∠C大25，則∠B等于（　?。? A．50 B．75 C．

2、100 D．125 5．已知三角形三邊分別為2，a﹣1，4，那么a的取值范圍是（　?。? A．1＜a＜5 B．2＜a＜6 C．3＜a＜7 D．4＜a＜6 6．一個多邊形的內(nèi)角和是1260，這個多邊形的邊數(shù)是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 7．如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個點中找出符合條件的點P，則點P有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 8．如圖，AB=AC，BE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，BE、CF相交于點D，則①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③點D在∠BAC的平分線上．以上

3、結(jié)論正確的是（　?。? A．① B．② C．①② D．①②③ 9．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D．E、F分別是CD、AD上的點，且CE=AF．如果∠AED=62，那么∠DBF=（　?。? A．62 B．38 C．28 D．26 10．如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=46，CD⊥AB于D，則∠DCB等于（　　） A．30 B．26 C．23 D．20 11．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為25，則該三角形的一個底角為（　　） A．32.5 B．57.5 C．65或57.5 D．32.5或57.5 12．如圖，∠MON=30，點A

4、1、A2、A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，依此類推，若OA1=1，則△A2016B2016A2017的邊長為（　　） A．2016 B．4032 C．22016 D．22015 　 二、填空題 13．如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，作射線AD，在線段AD及其延長線上分別取點E、F，連接CE、BF．添加一個條件，使得△BDF≌△CDE，你添加的條件是　?。ú惶砑虞o助線） 14．如圖，已知△ABC中，∠ABC=45，AC=4，H是高AD和BE的交點，則線段BH的長度為　?。? 15．

5、如圖，∠DAB=∠EAC=60，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，則∠DOE的度數(shù)是　?。? 16．如圖所示，已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點，OB=OC=OD，∠BCD=∠BAD=75，則∠ADO+∠ABO=　　度． 17．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠DBC=∠D=60，AE平分∠BAC，若BD=8cm，DE=3cm，則BC=　?。? 18．如圖，在△ABC中，∠ACB=90，∠BAC=30，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB為等腰三角形，這樣的點P共有　　個． 　 三、解答題（共7小題，滿分66分） 19．（8分）如圖，在10

6、10的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，網(wǎng)格中有兩個格點A、B和直線l． （1）求作點A關(guān)于直線l的對稱點A1； （2）P為直線l上一點，連接BP，AP，求△ABP周長的最小值． 20．（8分）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF． （1）求證：△ABE≌△CBF； （2）若∠CAE=25，求∠BFC度數(shù)． 21．（10分）如圖，已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線DE交AC于點E，CE的垂直平分線正好經(jīng)過點B，與AC相交于點F，求∠A的度數(shù)． 22．（10分）如圖，△ABC的三條內(nèi)角平分線相交于點O，過

7、點O作OE⊥BC于E點，求證：∠BOD=∠COE． 23．（10分）如圖，四邊形ABDC中，∠D=∠ABD=90，點O為BD的中點，且OA平分∠BAC． （1）求證：OC平分∠ACD； （2）求證：OA⊥OC； （3）求證：AB+CD=AC． 24．（10分）如圖1，C是線段BE上一點，以BC、CE為邊分別在BE的同側(cè)作等邊△ABC和等邊△DCE，連結(jié)AE、BD． （1）求證：BD=AE； （2）如圖2，若M、N分別是線段AE、BD上的點，且AM=BN，請判斷△CMN的形狀，并說明理由． 25．（10分）如圖，已知等邊△ABC，延長BC至D，E在AB上，使AE=CD

8、，連接DE，交AC于F點，過E作EG⊥AC于G點．求證：FG=AC． 　  2016-2017學(xué)年天津市南開區(qū)八年級（上）期中數(shù)學(xué)模擬試卷（二） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．以下圖形中對稱軸的數(shù)量小于3的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)對稱軸的概念求解． 【解答】解：A、有4條對稱軸； B、有6條對稱軸； C、有4條對稱軸； D、有2條對稱軸． 故選D． 【點評】本題考查了軸對稱圖形，解答本題的關(guān)鍵是掌握對稱軸的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫

9、做對稱軸． 　 2．如下圖，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正確的等式是（　?。? A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE 【考點】全等三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等，即可進(jìn)行判斷． 【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C， ∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE， 故A、B、C正確； AD的對應(yīng)邊是AE而非DE，所以D錯誤． 故選D． 【點評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知的對應(yīng)角正確確定對應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．

10、　 3．如圖，AD⊥BC，CE⊥BC，CH⊥AB，BG⊥AC，則在△ABC中，BC邊上的高是（　?。? A．線段CE B．線段CH C．線段AD D．線段BG 【考點】三角形的角平分線、中線和高． 【分析】如圖，由于AD⊥BC，那么根據(jù)三角形的高的定義即可確定在△ABC中，BC邊上的高． 【解答】解：如圖，∵AD⊥BC， ∴在△ABC中，BC邊上的高為線段AD． 故選C． 【點評】此題比較簡單，主要考查了三角形的高的定義，利用定義即可判定AD是其高線． 　 4．在△ABC中，∠A=55，∠B比∠C大25，則∠B等于（　?。? A．50 B．75 C．100 D．125

11、【考點】三角形內(nèi)角和定理． 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算． 【解答】解：設(shè)∠C=x，則∠B=x+25． 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得x+x+25=180﹣55， x=50． 則x+25=75． 故選B． 【點評】能夠用一個未知數(shù)表示其中的未知角，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程求解． 　 5．已知三角形三邊分別為2，a﹣1，4，那么a的取值范圍是（　　） A．1＜a＜5 B．2＜a＜6 C．3＜a＜7 D．4＜a＜6 【考點】三角形三邊關(guān)系；解一元一次不等式組． 【分析】本題可根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊列出不等式：4﹣2＜a﹣1＜4+2

12、，化簡即可得出a的取值范圍． 【解答】解：依題意得：4﹣2＜a﹣1＜4+2， 即：2＜a﹣1＜6， ∴3＜a＜7． 故選：C． 【點評】此類求三角形第三邊的范圍的題，實際上就是根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式，然后解不等式即可． 　 6．一個多邊形的內(nèi)角和是1260，這個多邊形的邊數(shù)是（　?。? A．7 B．8 C．9 D．10 【考點】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列式求解即可． 【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，則 （n﹣2）?180=1260， 解得n=9． 故選C． 【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題，

13、比較簡單． 　 7．如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個點中找出符合條件的點P，則點P有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】全等三角形的判定． 【分析】根據(jù)全等三角形的判定得出點P的位置即可． 【解答】解：要使△ABP與△ABC全等，點P到AB的距離應(yīng)該等于點C到AB的距離，即3個單位長度，故點P的位置可以是P1，P3，P4三個， 故選C 【點評】此題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是利用全等三角形的判定進(jìn)行判定點P的位置． 　 8．如圖，AB=AC，BE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，BE、CF相交

14、于點D，則①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③點D在∠BAC的平分線上．以上結(jié)論正確的是（　　） A．① B．② C．①② D．①②③ 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)． 【分析】從已知條件進(jìn)行分析，首先可得△ABE≌△ACF得到角相等和邊相等，運用這些結(jié)論，進(jìn)而得到更多的結(jié)論，最好運用排除法對各個選項進(jìn)行驗證從而確定最終答案． 【解答】解：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F ∴∠AEB=∠AFC=90， ∵AB=AC，∠A=∠A， ∴△ABE≌△ACF（①正確） ∴AE=AF， ∴BF=CE， ∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF=∠CDE

15、， ∴△BDF≌△CDE（②正確） ∴DF=DE， 連接AD， ∵AE=AF，DE=DF，AD=AD， ∴△AED≌△AFD， ∴∠FAD=∠EAD， 即點D在∠BAC的平分線上（③正確） 故選D． 【點評】此題考查了角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定方法等知識點，要求學(xué)生要靈活運用，做題時要由易到難，不重不漏． 　 9．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D．E、F分別是CD、AD上的點，且CE=AF．如果∠AED=62，那么∠DBF=（　?。? A．62 B．38 C．28 D．26 【考點】等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形

16、斜邊上的中線． 【分析】主要考查：等腰三角形的三線合一，直角三角形的性質(zhì)．注意：根據(jù)斜邊和直角邊對應(yīng)相等可以證明△BDF≌△ADE． 【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD． 又∵∠BAC=90， ∴BD=AD=CD． 又∵CE=AF， ∴DF=DE． ∴Rt△BDF≌Rt△ADE（SAS）． ∴∠DBF=∠DAE=90﹣62=28． 故選C． 【點評】熟練運用等腰直角三角形三線合一性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半． 　 10．如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=46，CD⊥AB于D，則∠DCB等于（　　） A．30 B．26 C

17、．23 D．20 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，進(jìn)而在Rt△DCB中，求得∠DCB的度數(shù)． 【解答】解：∵∠A=46，AB=AC， ∴∠B=∠C=67． ∵∠BDC=90， ∴∠DCB=23， 故選C． 【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，難度適中． 　 11．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為25，則該三角形的一個底角為（　?。? A．32.5 B．57.5 C．65或57.5 D．32.5或57.5 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】等腰三角

18、形的高相對于三角形有三種位置關(guān)系，三角形內(nèi)部，三角形的外部，三角形的邊上．根據(jù)條件可知第三種高在三角形的邊上這種情況不成立，因而應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論． 【解答】解：當(dāng)高在三角形內(nèi)部時底角是57.5，當(dāng)高在三角形外部時底角是32.5度，故選D． 【點評】熟記三角形的高相對于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題易出現(xiàn)的錯誤是只是求出75一種情況，把三角形簡單的化成銳角三角形． 　 12．如圖，∠MON=30，點A1、A2、A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，依此類推，若OA1=1，則△A2016B2016A

19、2017的邊長為（　?。? A．2016 B．4032 C．22016 D．22015 【考點】等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和∠MON=30，可求得∠OB1A2=90，可求得A1A2=2OA1=2，同理可求得OAn+1=2OAn=4OAn﹣1=…=2n﹣1OA2=2nOA1=2n，再結(jié)合含30角的直角三角形的性質(zhì)可求得△AnBnAn+1的邊長，于是可得出答案． 【解答】解：∵△A1B1A2為等邊三角形， ∴∠B1A1A2=60， ∵∠MON=30， ∴∠OB1A2=90，可求得A1A2=2OA1=2， 同理可求得OAn+1=2OAn=4OAn﹣1=…=2n

20、﹣1OA2=2nOA1=2n， 在△OBnAn+1中，∠O=30，∠BnAn+1O=60， ∴∠OBnAn+1=90， ∴BnAn+1=OAn+1=2n=2n﹣1， 即△AnBnAn+1的邊長為2n﹣1， ∴△A2016B2016A2017的邊長為22016﹣1=22015， 故選D． 【點評】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和含30角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)條件找到等邊三角形的邊長和OA1的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 　 二、填空題 13．如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，作射線AD，在線段AD及其延長線上分別取點E、F，連接CE、BF．添加一個條件，使得△BDF≌△CDE，你添

21、加的條件是　DF=DE　．（不添加輔助線） 【考點】全等三角形的判定． 【分析】由已知可證BD=CD，又∠EDC﹦∠FDB，因為三角形全等條件中必須是三個元素．故添加的條件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）； 【解答】解：添加的條件是：DF=DE（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）． 理由如下： ∵點D是BC的中點， ∴BD=CD． 在△BDF和△CDE中， ∵， ∴△BDF≌△CDE（SAS）． 故答案可以是：DF=DE． 【點評】考查了三角形全等的判定．三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的

22、方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件． 　 14．如圖，已知△ABC中，∠ABC=45，AC=4，H是高AD和BE的交點，則線段BH的長度為　4　． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由∠ABC=45，AD是高，得出BD=AD后，證△ADC≌△BDH后求解． 【解答】解：∵∠ABC=45，AD⊥BC， ∴AD=BD． ∵∠1=∠3（同角的余角相等），∠1+∠2=90，∠3+∠4=90， ∴∠2=∠4． 在△ADC和△BDH中， ∵， ∴△ADC≌△BDH（AAS），

23、∴BH=AC=4． 故答案是：4． 【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS等．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角． 　 15．如圖，∠DAB=∠EAC=60，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，則∠DOE的度數(shù)是　120?。? 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】首先得出∠DAC=∠EAB，進(jìn)而利用ASA得出△ADC≌△AEB，進(jìn)而得出∠E=∠ACD，再利用三角形內(nèi)角和定理得出∠EAF=∠CO

24、F=60，即可得出答案． 【解答】解：∵∠DAB=∠EAC=60， ∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+∠EAC， ∴∠DAC=∠EAB， 在△ADC和△AEB中， ， ∴△ADC≌△AEB（SAS）， ∴∠E=∠ACD， 又∵∠AFE=∠OFC， ∴∠EAF=∠COF=60， ∴∠DOE=120． 故答案為：120． 【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識，根據(jù)已知得出△ADC≌△AEB是解題關(guān)鍵． 　 16．如圖所示，已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點，OB=OC=OD，∠BCD=∠BAD=75，則∠ADO+∠ABO=　135　度．

25、 【考點】多邊形內(nèi)角與外角；三角形的外角性質(zhì)． 【分析】由線段相等可得相應(yīng)的角相等，那么可得∠CDO=∠DCO，∠OCB=∠OBC，可得這四個角的和；根據(jù)四邊形ABCD的內(nèi)角和為360減去已知角的度數(shù)即為所求的度數(shù)． 【解答】解：∵OB=OC=OD， ∴∠CDO=∠DCO，∠OCB=∠OBC， ∵∠DCO+∠BCO=75， ∴∠CDO+∠DCO+∠OCB+∠OBC=150， ∴∠ADO+∠ABO=360﹣∠BAD﹣（∠CDO+∠DCO+∠OCB+∠OBC）=135． 故答案為：135． 【點評】用的知識點為：等邊對等角；四邊形的內(nèi)角和為360． 　 17．如圖，已知△AB

26、C中，AB=AC，∠DBC=∠D=60，AE平分∠BAC，若BD=8cm，DE=3cm，則BC=　11cm?。? 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】作出輔助線后根據(jù)等邊三角形的判定得出△BDM為等邊三角形，△EFD為等邊三角形，從而得出BN的長，進(jìn)而求出答案． 【解答】解：延長DE交BC于M，延長AE交BC于N， ∵AB=AC，AE平分∠BAC， ∴AN⊥BC，BN=CN， ∵∠DBC=∠D=60， ∴△BDM為等邊三角形， ∴BD=DM=BM=8cm， ∵DE=3cm， ∴EM=5cm， ∵△BDM為等邊三角形， ∴∠DMB=60， ∵AN⊥BC， ∴∠ENM

27、=90， ∴∠NEM=30， ∴NM=2.5cm， ∴BN=5.5cm， ∴BC=2BN=11（cm）． 故答案為：11cm． 【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，能求出MN的長是解決問題的關(guān)鍵． 　 18．如圖，在△ABC中，∠ACB=90，∠BAC=30，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB為等腰三角形，這樣的點P共有　6　個． 【考點】等腰三角形的判定． 【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡稱：在同一三角形中，等邊對等角）”分三種情況解答即可． 【解答】解：如圖， ①AB的垂直平分線

28、交AC一點P1（PA=PB），交直線BC于點P2； ②以A為圓心，AB為半徑畫圓，交AC有二點P3，P4，交BC有一點P2，（此時AB=AP）； ③以B為圓心，BA為半徑畫圓，交BC有二點P5，P2，交AC有一點P6（此時BP=BA）． 故符合條件的點有6個． 故答案為：6． 【點評】本題考查了等腰三角形的判定；構(gòu)造等腰三角形時本著截取相同的線段就能作出等腰三角形來，思考要全面，做到不重不漏． 　 三、解答題（共7小題，滿分66分） 19．如圖，在1010的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，網(wǎng)格中有兩個格點A、B和直線l． （1）求作點A關(guān)于直線l的對稱點A1； （2）

29、P為直線l上一點，連接BP，AP，求△ABP周長的最小值． 【考點】軸對稱-最短路線問題． 【分析】（1）過點A作AO⊥直線l并延長至A′，使OA′=OA，點A即為所求； （2）根據(jù)題意得△ABP周長的最小值=AB+A1B，根據(jù)勾股定理得到A1B==，即可得到結(jié)論． 【解答】解：（1）如圖所示，點A1就是所求作的點； （2）△ABP周長的最小值=AB+A1B， ∵A1B==，AB=4， ∴△ABP周長的最小值=4+． 【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題

30、目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作． 　 20．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF． （1）求證：△ABE≌△CBF； （2）若∠CAE=25，求∠BFC度數(shù)． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 【分析】（1）根據(jù)HL證明Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）因為△ABC是等腰直角三角形，所以∠BAC=45，得∠BAE=20，由（1）中的全等得：∠BCF=∠BAE=20，從而得出結(jié)論． 【解答】證明：（1）∵∠ABC=90， ∴∠ABC=∠CBF=

31、90， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∵， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）； （2）∵AB=CB，∠ABC=90， ∴∠CAB=∠ACB=45， ∵∠CAE=25， ∴∠BAE=45﹣25=20， ∵Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=20， ∴∠BFC=90﹣20=70． 【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形全等的性質(zhì)和判定，知道等腰直角三角形的兩個銳角是45，除了熟知三角形一般的全等判定方法外，還要掌握直角三角形的全等判定HL：即有一直角邊和斜邊對應(yīng)相等的兩直角三角形全等． 　 21．（10分）（2015春?陜西校級期末）如

32、圖，已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線DE交AC于點E，CE的垂直平分線正好經(jīng)過點B，與AC相交于點F，求∠A的度數(shù)． 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠C，再由垂直平分線的性質(zhì)得出∠A=∠ABE，根據(jù)CE的垂直平分線正好經(jīng)過點B，與AC相交于點可知△BCE是等腰三角形，故BF是∠EBC的平分線，故（∠ABC﹣∠A）+∠C=90，把所得等式聯(lián)立即可求出∠A的度數(shù)． 【解答】解：∵△ABC是等腰三角形， ∴∠ABC=∠C=①， ∵DE是線段AB的垂直平分線， ∴∠A=∠ABE， ∵CE的垂直平分線正好經(jīng)過

33、點B，與AC相交于點可知△BCE是等腰三角形， ∴BF是∠EBC的平分線， ∴（∠ABC﹣∠A）+∠C=90，即（∠C﹣∠A）+∠C=90②， ①②聯(lián)立得，∠A=36． 故∠A=36． 【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，解答此類問題時往往用到三角形的內(nèi)角和為180這一隱含條件． 　 22．（10分）（2016秋?南開區(qū)期中）如圖，△ABC的三條內(nèi)角平分線相交于點O，過點O作OE⊥BC于E點，求證：∠BOD=∠COE． 【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的角平分線、中線和高． 【分析】在△AOF中，利用三角形的內(nèi)角和定理，以及角平分線的定義，可以利用

34、∠ACB表示出∠AOF，則∠BOD即可得到，然后在直角△OCE中，利用直角三角形的兩個內(nèi)角互余以及角平分線的定義，即可利用∠ACB表示出∠COE，從而證得結(jié)論． 【解答】證明：∵∠AFO=∠FBC+∠ACB=∠ABC+∠ACB， ∴∠AOF=180﹣（∠DAC+∠AF0） =180﹣[∠BAC+∠ABC+∠ACB] =180﹣[（∠BAC+∠ABC）+∠ACB] =180﹣[（180﹣∠ACB）+∠ACB] =180﹣[90+∠ACB] =90﹣∠ACB， ∴∠BOD=∠AOF=90﹣∠ACB， 又∵在直角△OCE中，∠COE=90﹣∠OCD=90﹣∠ACB， ∴∠BOD=

35、∠COE． 【點評】本題主要考查了角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，正確求得∠AOF是關(guān)鍵． 　 23．（10分）（2016秋?南開區(qū)期中）如圖，四邊形ABDC中，∠D=∠ABD=90，點O為BD的中點，且OA平分∠BAC． （1）求證：OC平分∠ACD； （2）求證：OA⊥OC； （3）求證：AB+CD=AC． 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】（1）過點O作OE⊥AC于E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OB=OE，從而求出OE=OD，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明； （2）利用“HL”證明△ABO和△AEO全等

36、，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，然后求出∠AOC=90，再根據(jù)垂直的定義即可證明； （3）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=AE，CD=CE，然后證明即可． 【解答】證明：（1）過點O作OE⊥AC于E， ∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC， ∴OB=OE， ∵點O為BD的中點， ∴OB=OD， ∴OE=OD， ∴OC平分∠ACD； （2）在Rt△ABO和Rt△AEO中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL）， ∴∠AOB=∠AOE， 同理求出∠COD=∠COE， ∴∠AOC=∠AOE+∠COE=180=90，

37、 ∴OA⊥OC； （3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO， ∴AB=AE， 同理可得CD=CE， ∵AC=AE+CE， ∴AB+CD=AC． 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵． 　 24．（10分）（2015秋?無棣縣期末）如圖1，C是線段BE上一點，以BC、CE為邊分別在BE的同側(cè)作等邊△ABC和等邊△DCE，連結(jié)AE、BD． （1）求證：BD=AE； （2）如圖2，若M、N分別是線段AE、BD上的點，且AM=BN，請判斷△CMN

38、的形狀，并說明理由． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)，可證明△DCB≌△ACE，可得到BD=AE； （2）結(jié)合（1）中△DCB≌△ACE，可證明△ACM≌△BCN，進(jìn)一步可得到∠MCN=60且CM=CN，可判斷△CMN為等邊三角形． 【解答】證明：（1）∵△ABC、△DCE均是等邊三角形， ∴AC=BC，DC=DE，∠ACB=∠DCE=60， ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD， 即∠BCD=∠ACE， 在△DCB和△ACE中， ， ∴△DCB≌△ACE（SAS）， ∴BD=AE； （2）△CMN為等

39、邊三角形，理由如下： 由（1）可知：△ACE≌△DCB， ∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CBN， ∵AC=BC，AM=BN， 在△ACM和△BCN中， ， ∴△ACM≌△BCN（SAS）， ∴CM=CN，∠ACM=∠BCN， ∵∠ACB=60即∠BCN+∠ACN=60， ∴∠ACM+∠ACN=60即∠MCN=60， ∴△CMN為等邊三角形． 【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即可以利用全等來證明線段相等，也可以找角相等的條件． 　 25．（10分）（2016秋?南開區(qū)期中）如圖，已知等邊△

40、ABC，延長BC至D，E在AB上，使AE=CD，連接DE，交AC于F點，過E作EG⊥AC于G點．求證：FG=AC． 【考點】等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】延長GA到點H，使AH=FC，連接HE，可證明△AHE≌△CFD，可知∠H=∠CFD，結(jié)合對頂角可證得EA=EF，可知HG=GF，可證得結(jié)論． 【解答】證明： 如圖，延長GA到點H，使AH=FC，連接HE， ∵△ABC為等邊三角形， ∴∠BAC=∠ACB=60， ∴∠HAE=∠FCD=120， 在△AHE和△CFD中 ∴△AHE≌△CFD（SAS）， ∴∠EHA=∠CFD=∠GFE， ∴EH=EF， ∵EG⊥AC， ∴EG=GF， ∵HG=HA+AG=AG+FC， ∴AG+FC=GF， ∴FG=AC． 【點評】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．