基于時(shí)域有限差分法的(波導(dǎo))縫隙天線分析與設(shè)計(jì) 碩士學(xué)位論文

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1、 分 類(lèi) 號(hào) 密 級(jí) U D C 單位代碼 10151 基于時(shí)域有限差分法的縫隙天線分析與設(shè)計(jì) 指導(dǎo)教師 房少軍 職稱(chēng) 教授 學(xué)位授予單位 大連海事大學(xué) 申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別 碩士 學(xué)科與專(zhuān)業(yè) 通信與信息系統(tǒng) 論文完成日期 論文答辯日期 答辯委員會(huì)主席 The Analysis and Design of Slot Antenna Based on Finite-Dif

2、ference Time-Domain Method Dissertation Submitted to Dalian Maritime University In partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Engineering By Tan XiaoMing (Communication and Information System) Dissertation Supervisor: Professor Fang Shaojun Janua

3、ry, 2008 大連海事大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說(shuō)明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：本論文是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下,獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果，撰寫(xiě)成碩士學(xué)位論文 “基于時(shí)域有限差分法的縫隙天線分析與設(shè)計(jì)” 。除論文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，對(duì)論文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明.本論文中不包含任何未加明確注明的其他個(gè)人或集體已經(jīng)公開(kāi)發(fā)表或未公開(kāi)發(fā)表的成果。 本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。 論文作者簽名： 年 月 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū) 本學(xué)位論文作者及指導(dǎo)教師完全了解“大連海事大學(xué)研究生學(xué)位論文提交、版權(quán)

4、使用管理辦法”，同意大連海事大學(xué)保留并向國(guó)家有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交學(xué)位論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)大連海事大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，也可采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編學(xué)位論文。 保密□，在 年解密后適用本授權(quán)書(shū)。 本學(xué)位論文屬于： 保密□ 不保密□（請(qǐng)?jiān)谝陨戏娇騼?nèi)打“√” ） 論文作者簽名： 導(dǎo)師簽名： 日期： 年 月 日 摘 要 時(shí)域有限差分法（FDTD）作為一種電磁

5、場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法以其簡(jiǎn)單、直觀等特點(diǎn)近年來(lái)備受業(yè)界關(guān)注和厚愛(ài)。本文按由簡(jiǎn)到繁的順序，逐步介紹FDTD在一維、二維和三維電磁場(chǎng)問(wèn)題上的基本使用技術(shù)，旨在給出該方法的基本構(gòu)成脈絡(luò)，并運(yùn)用此方法分析計(jì)算單裂縫天線。 作為裂縫陣列天線的理論基礎(chǔ)，本文從對(duì)偶原理出發(fā)，分析并比較了半波對(duì)稱(chēng)振子和半波縫隙天線的場(chǎng)型特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上分析了波導(dǎo)上單個(gè)縫隙的輻射機(jī)理和型式，并分析了由多個(gè)縫隙構(gòu)成的波導(dǎo)裂縫天線陣的特點(diǎn)，給出相關(guān)的計(jì)算公式。 單端饋電的波導(dǎo)裂縫天線，它的長(zhǎng)度受到雷達(dá)發(fā)射脈沖寬度的限制，因此在港口雷達(dá)站等要求窄波束的條件下，大型裂縫天線就難以實(shí)現(xiàn)。但裂縫天線有許多優(yōu)點(diǎn)，為了克服上述矛盾，論文的最后設(shè)

6、計(jì)了一種雙端相向饋電的波導(dǎo)裂縫天線，并借助Ansoft公司的高頻電磁仿真軟件HFSS進(jìn)行仿真。根據(jù)對(duì)方向圖的要求，采用修正的切比雪夫陣設(shè)計(jì)該天線各縫隙的電流分布，并編寫(xiě)MATLAB程序進(jìn)行計(jì)算。由于窄邊開(kāi)縫的波導(dǎo)裂縫天線各個(gè)縫隙排列復(fù)雜，給HFSS建模帶來(lái)了困難，所以本文提供了利用MATLAB生成腳本程序來(lái)建立仿真模型的方法，該方法能快速準(zhǔn)確地建立復(fù)雜模型。仿真結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的雙端相向饋電的波導(dǎo)裂縫天線基本滿足使用要求。 關(guān)鍵詞：裂縫天線；時(shí)域有限差分法；雙端饋電；切比雪夫陣； Abstract As a numerical calculati

7、ng method of electromagnetic field, the Finite-Difference Time-Domain (FDTD) method is generally favored in the professional field because of its simplicity. Arranged in an order from simple to complex, this paper introduces respectively the basic operating technique of FDTD used in one dimensional,

8、 two dimensional and three dimensional electromagnetic field problems. It is aimed to explain the basic structure of this method and use it to analyze and calculate a slot antenna. Proceeding from the principle of duality, the paper analyzes and compares the field features of half-wavelength band d

9、ipole and half-wavelength aperture antenna, which is the theoretical basis of slotted antenna array, Based on this then, the author will analyze the mechanism of a aperture in on a waveguide and the features of slotted-waveguide antenna array formed by a number of aperture. Finally, the author prese

10、nts the relevant formulas. Excited from a single end of a waveguide, the length of a slotted-waveguide antenna is restricted by the width of radar transmitted pulse, so it is difficult to implement a large-scale radar slot antenna with narrow beams. However, we should not ignore the fact that slot

11、antenna has many advantages. To overcome this contradiction, the paper provides a design of slotted-waveguide antenna which is excited from both end of the waveguide, and simulates it with the help of HFSS. According to the requirement of directivity, this researcher designs the amplitude distributi

12、on of the apertures based on modified Chebyshev array, and calculates it by writing program using MATLAB. The complex arrangement of the slots in the narrow face of a waveguide brings much trouble to model it in HFSS, so the present paper offers a method to create the model by producing model script

13、s in MATLAB. This method can establish a complex model quickly and exactly. The simulating result shows that this antenna can basically satisfy the practical requirement. Key Words：slot antenna；FDTD；both end excited；Chebyshev array 目 錄 第1章 緒論 1 1.1縫隙天線的研究狀況及發(fā)展 1 1.2單端饋電雷達(dá)裂縫天線的問(wèn)題 1 1.2.1脈

14、沖寬度與天線長(zhǎng)度 1 1.2.2天線效率 2 1.3時(shí)域有限差分法概述 2 1.4論文的主要內(nèi)容 3 第2章 縫隙天線的基本原理 4 2.1對(duì)偶原理 4 2.1.1電偶極子與磁偶極子的對(duì)偶性 4 2.1.2電流元和磁流元的對(duì)偶性 4 2.1.3對(duì)偶原理的建立 5 2.2理想縫隙天線的輻射機(jī)理 6 2.3波導(dǎo)縫隙的輻射機(jī)理 8 2.3.1開(kāi)縫形式 8 2.3.2波導(dǎo)縫隙的阻抗特性 9 2.4波導(dǎo)縫隙天線陣 11 第3章 時(shí)域有限差分法的基本應(yīng)用 14 3.1引言 14 3.2一維電磁問(wèn)題的FDTD基本技術(shù) 15 3.2.1 自由空間一維電磁波傳播的FDTD模擬

15、15 3.2.2一維電磁波在無(wú)耗介質(zhì)中傳播的FDTD模擬 18 3.2.3一維平面波在導(dǎo)電損耗介質(zhì)中傳播的FDTD模擬 20 3.2.4色散媒質(zhì)的處理方法 22 3.3二維電磁問(wèn)題的FDTD基本技術(shù) 24 3.3.1二維FDTD基本計(jì)算公式 24 3.3.2二維各向異性PML吸收層 27 第4章 應(yīng)用FDTD計(jì)算縫隙天線遠(yuǎn)場(chǎng) 34 4.1三維FDTD計(jì)算公式 34 4.1.1 Yee元胞 34 4.1.2自由空間中三維FDTD公式 35 4.2使用FDTD計(jì)算縫隙天線遠(yuǎn)場(chǎng)波形 37 第5章 雙端相向饋電波導(dǎo)縫隙天線設(shè)計(jì) 44 5.1引言 44 5.2具體設(shè)計(jì)過(guò)程 4

16、5 5.2.1切比雪夫分布律 45 5.2.2各縫隙電導(dǎo)和傾角的計(jì)算 50 5.2.3縫隙間距和縫隙個(gè)數(shù)的確定 53 5.3仿真結(jié)果和分析 54 結(jié) 束 語(yǔ) 56 參 考 文 獻(xiàn) 57 致 謝 61 基于時(shí)域有限差分法的縫隙天線的分析與設(shè)計(jì) 第1章 緒論 1.1縫隙天線的研究狀況及發(fā)展 對(duì)縫隙天線的研究始于二十世紀(jì)四十年代。經(jīng)過(guò)幾十年的研究，縫隙陣列天線在理論和實(shí)踐上都得到了很大的發(fā)展[1]。 縫隙天線最早是在1946年由H.G.Booker提出，但當(dāng)時(shí)沒(méi)有引起學(xué)者的注意[2]。A.F.Stevenson[3]于1948年發(fā)表了題為“Theory of Sl

17、ot in Rectangular Waveguide”的論文，建立了關(guān)于波導(dǎo)縫隙輻射的基本理論模型，把波導(dǎo)上的縫隙等效為傳輸線上的并聯(lián)電導(dǎo)或串聯(lián)電阻，但是，在Stevenson的理論模型中已假定波導(dǎo)壁厚近似為零，顯然這與實(shí)際情況存在一定的偏差。1959年A.A.Oliner[4]發(fā)表論文“The Impedance Properties of Narrow Radiating Slots in the Broad Face of Rectangular waveguide”，考慮了波導(dǎo)壁厚的影響，利用變分公式，計(jì)算了縫隙的電阻和電抗。 隨后，由于縫隙天線具有在結(jié)構(gòu)上易于與其載體共形等優(yōu)點(diǎn)，

18、引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注和研究興趣，取得了大量研究成果[5-14]，其中以H.Y.Yee[15]較為突出，他解決了縱向縫隙的偏置對(duì)縫隙諧振長(zhǎng)度的影響，得到了縫隙歸一化導(dǎo)納的精確結(jié)果。然而，由于實(shí)際縫隙的復(fù)雜性，尤其是波導(dǎo)窄邊縫隙的問(wèn)題仍然難以得到與實(shí)際準(zhǔn)確吻合的理論模型，直到二十世紀(jì)七、八十年代，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算成為可能，也使得縫隙天線的分析和設(shè)計(jì)上了一個(gè)新臺(tái)階。1973年，Vu.Kuac和Carson首次采用矩量法完成了縱向縫隙的理論分析和計(jì)算，使用電磁場(chǎng)理論的等效原理，用短路導(dǎo)電片和磁流片來(lái)代替縫隙上的場(chǎng)分布，將計(jì)入的波導(dǎo)壁厚度看作一個(gè)縫隙腔體，借助于耦合積分方程解決了

19、壁厚和互耦的影響[16]。 1.2單端饋電雷達(dá)裂縫天線的問(wèn)題 1.2.1脈沖寬度與天線長(zhǎng)度 雷達(dá)發(fā)射脈沖寬度限制著裂縫天線長(zhǎng)度的增加[17]。為了提高雷達(dá)目標(biāo)觀察的分辨力，對(duì)天線波束要求越來(lái)越窄，也就是天線長(zhǎng)度必須增加，但是當(dāng)天線長(zhǎng)度超過(guò)脈沖寬度所對(duì)應(yīng)的某一范圍時(shí)，天線方向性圖就會(huì)變壞，甚至失效，這樣天線長(zhǎng)度與脈沖寬度之間就產(chǎn)生了矛盾，這個(gè)矛盾不解決，窄波束的大型雷達(dá)裂縫天線就無(wú)法形成。 1.2.2天線效率 雷達(dá)裂縫天線收發(fā)狀態(tài)共用一根天線，采用收發(fā)開(kāi)關(guān)控制發(fā)射和接收狀態(tài)。當(dāng)天線處于發(fā)射狀態(tài)時(shí)，為了保證整個(gè)裂縫振子都處在最佳工作狀態(tài)，饋給每一振子以充分能量，在設(shè)計(jì)中發(fā)射能量除滿足上述

20、狀態(tài)外，還必須有一部分能量到達(dá)終端被匹配負(fù)載所吸收，以此來(lái)保證裂縫天線處在行波狀態(tài)下。這樣，就存在一個(gè)輻射能量與耗損在吸收負(fù)載上的無(wú)用能量的關(guān)系，一般二米、三米裂縫天線的效率η在（80～90）％，也就是說(shuō)，在發(fā)射狀態(tài)下要損耗能量的（20～10）％，天線工作在接收狀態(tài)，同樣也有（20～10）％的接受能量被吸收負(fù)載所損耗，這對(duì)天線來(lái)說(shuō)自然是一種能量的損失[18]。 1.3時(shí)域有限差分法概述 時(shí)域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）作為一種電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算的新方法是K.S.Yee[19]于1966年首次提出的。該方法直接從時(shí)域Maxwell旋度方程出

21、發(fā)，對(duì)電場(chǎng)分量和磁場(chǎng)分量在空間和時(shí)間上進(jìn)行交替咬合求解，不需要任何導(dǎo)出方程，較之矩量法和有限元法有一定的直觀性，易于掌握。 經(jīng)過(guò)四十多年的發(fā)展，F(xiàn)DTD已具備了非常強(qiáng)大的解決多種復(fù)雜問(wèn)題的能力，獲得了廣泛的應(yīng)用，其中有[20]： ——輻射天線的分析，例如柱狀和錐狀天線，接地導(dǎo)體附近的天線，喇叭天線，微帶天線，手機(jī)天線，縫隙天線，螺旋天線以及天線陣列等。 ——微波器件和導(dǎo)行波結(jié)構(gòu)的研究，例如波導(dǎo)，介質(zhì)波導(dǎo)，微帶傳輸，波導(dǎo)中的孔縫耦合，鐵氧體器件，加載諧振腔等。 ——散射和雷達(dá)截面計(jì)算，例如導(dǎo)體、介質(zhì)物體、和具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)及形狀物體（導(dǎo)彈，飛機(jī)）的雷達(dá)截面（RCS），導(dǎo)彈導(dǎo)引頭的電磁波透入分

22、布，人體對(duì)電磁波的吸收，地下物體散射等。 ——周期結(jié)構(gòu)分析，例如頻率選擇表面、光柵傳輸特性、周期陣列天線、光子帶隙結(jié)構(gòu)，以及隨機(jī)粗糙表面等。 ——電子封裝，電磁兼容分析，例如多線傳輸及高密度封裝時(shí)的數(shù)字信號(hào)傳輸，分析環(huán)境和結(jié)構(gòu)對(duì)元器件和系統(tǒng)電磁參數(shù)及性能的影響。 ——核電磁脈沖的傳播和散射，在地面的反射及對(duì)電纜傳輸線的干擾。 ——微光學(xué)元器件中光的傳播和衍射特性。 ——雙負(fù)介質(zhì)中電磁波的傳播特性。 1.4論文的主要內(nèi)容 本文重點(diǎn)介紹時(shí)域有限差分法的基本使用技術(shù)以及一種雙端相向饋電波導(dǎo)縫隙陣列天線的研究和設(shè)計(jì)。正文部分共分五章，分述如下： 第一章是緒論，介紹了縫隙天線的研究和發(fā)展

23、狀況、雷達(dá)裂縫天線存在的問(wèn)題以及對(duì)時(shí)域有限差分法的簡(jiǎn)要介紹。 第二章從對(duì)偶原理出發(fā)，分析并比較了半波帶狀振子和金屬板上半波縫隙振子的場(chǎng)型特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上分析了波導(dǎo)上單個(gè)縫隙的輻射機(jī)理和形式，并分析了由多個(gè)縫隙構(gòu)成的波導(dǎo)裂縫天線陣的特點(diǎn)，給出相關(guān)的計(jì)算公式。 第三章講述時(shí)域有限差分法的基本使用技術(shù)，按由簡(jiǎn)到繁的順序，逐步介紹FDTD在一維、二維和三維電磁場(chǎng)問(wèn)題上基本應(yīng)用，旨在給出該方法的基本構(gòu)成脈絡(luò)。 第四章應(yīng)用時(shí)域有限差分法的近遠(yuǎn)場(chǎng)變換技術(shù)分析了一個(gè)理想單縫天線遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)，并比較遠(yuǎn)場(chǎng)點(diǎn)波形與近場(chǎng)點(diǎn)及源波形的差異和變化。 第五章設(shè)計(jì)了一種雙端相向饋電的波導(dǎo)裂縫天線，并借助Ansoft公司的高

24、頻電磁仿真軟件HFSS進(jìn)行仿真。根據(jù)對(duì)方向圖的要求，采用修正的切比雪夫陣設(shè)計(jì)該天線各縫隙的電流分布，并編寫(xiě)MATLAB程序進(jìn)行計(jì)算。由于窄邊開(kāi)縫的波導(dǎo)裂縫天線各個(gè)縫隙排列復(fù)雜，給HFSS建模帶來(lái)了困難，所以本文提供了利用MATLAB生成建模腳本程序的方法。 最后，本文將增設(shè)附錄A-附錄H，提供相關(guān)源程序代碼，以供參考。 65 第2章 縫隙天線的基本原理 2.1對(duì)偶原理 2.1.1電偶極子與磁偶極子的對(duì)偶性 設(shè)自由空間中電偶極子的中心位于球坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，正、負(fù)電荷之間的距離為，分別位于和兩點(diǎn)。在電偶極子周?chē)膔>>l區(qū)域內(nèi)任何觀察點(diǎn)處，由等量異號(hào)的兩個(gè)點(diǎn)電荷和所激發(fā)的靜電場(chǎng)為：

25、 （2.1.1） 式中是電偶極矩的量值，電偶極矩的方向?yàn)檎齴方向。 小電流環(huán)可以看成是磁偶極子。設(shè)自由空間中半徑為的小電流環(huán)上的電流為I，環(huán)面正方向向上沿z軸正方向，電流I的正方向與z成右手螺旋關(guān)系，則在磁偶極子周?chē)鷕>>l區(qū)域內(nèi)任何觀察點(diǎn)處，磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量為： （2.1.2） 式中是磁偶極矩的量值，磁偶極矩的方向?yàn)檎齴方向。 比較式（2.1.1）和式（2.1.2）可以看出，兩式中某些物理量之間具有下面的對(duì)偶關(guān)系：

26、 （2.1.3） 2.1.2電流元和磁流元的對(duì)偶性 對(duì)于載有高頻電流的電流元來(lái)說(shuō)，它兩端等量異號(hào)的電荷也隨時(shí)間發(fā)生變化，因而相當(dāng)于一個(gè)高頻的電偶極子[21]。假設(shè)電流元由理想導(dǎo)體構(gòu)成，其長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于工作波長(zhǎng)，表面流過(guò)正方向向上的電流量值為，則其輻射場(chǎng)為： （2.1.4） 對(duì)于由多匝導(dǎo)線環(huán)繞而成的螺線管，設(shè)其總長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于高頻電流的工作波長(zhǎng)，則螺線管上的電流處處可看成是等幅同相的?？梢园崖菥€管的每一匝線圈看成是一個(gè)小電流環(huán)，并把小電流環(huán)的正方向作為螺線管的正方向，電流正方向與螺線管

27、正方向成右手螺旋關(guān)系，這樣，就可以把螺線管看成是等效的磁流元，假想的高頻磁流的方向是沿z軸正方向，其輻射場(chǎng)為： （2.1.5） 比較式（2.1.4）和式（2.1.5）可以看出，兩式中某些物理量之間具有下面的對(duì)偶關(guān)系： （2.1.6） 式中帶有下標(biāo)“e”的場(chǎng)量代表電流元產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量；有下標(biāo)“m”的場(chǎng)量代表磁流元產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量。 2.1.3對(duì)偶原理的建立 有了前兩小節(jié)的認(rèn)識(shí)，我們可以進(jìn)一步把整個(gè)電磁場(chǎng)的源分為兩

28、種，即“電型源”和“磁型源”?！半娦驮础钡柠溈怂鬼f方程組的形式如下： （2.1.7） “磁型源”的麥克斯韋方程組形式如下： （2.1.8） 當(dāng)兩種源同時(shí)存在時(shí)，根據(jù)矢量疊加原理有 （2.1.9） 于是可以得到對(duì)稱(chēng)形式的麥克斯韋方程組： （2.1.10） 2.2理想縫隙

29、天線的輻射機(jī)理 所謂理想縫隙天線是指在無(wú)限大的可以不計(jì)厚度的理想導(dǎo)體平板上開(kāi)的縫隙。理想矩形縫隙天線與形狀和尺寸均相同的帶狀振子天線稱(chēng)為“互補(bǔ)”天線，“互補(bǔ)”的含義是說(shuō)，若將帶狀振子放到縫隙的位置上，二者就合成為一個(gè)完整的無(wú)限大理想導(dǎo)電平板。理想縫隙受到激勵(lì)時(shí)，由于縫很窄，縫隙上只存在與寬邊垂直的切向電場(chǎng)，根據(jù)等效原理，，切向電場(chǎng)可等效為表面磁流。因而縫隙天線屬磁振子天線，它與帶狀振子天線的電磁場(chǎng)方程是對(duì)偶的，但是這還不夠，為了能從帶狀振子天線的電磁場(chǎng)直接得出理想縫隙天線的電磁場(chǎng)，還要求邊界條件也必須是對(duì)偶的。 電磁場(chǎng)方程的對(duì)偶在2.1節(jié)已作了介紹，下面定性說(shuō)明邊界條件的對(duì)偶。無(wú)限大的導(dǎo)電

30、平板將整個(gè)空間分成兩個(gè)半無(wú)限大空間，當(dāng)考慮半空間的場(chǎng)分布時(shí)，其閉合邊界由縫隙或振子所在的無(wú)限大平面和無(wú)限大半球面組成，由于在無(wú)限大半球面上電磁場(chǎng)必為零，只需比較無(wú)限大平面上的邊界條件即可。由電磁場(chǎng)邊界條件可知，對(duì)帶狀振子來(lái)說(shuō)，在振子上切向電場(chǎng)為零，因?yàn)檎褡邮抢硐雽?dǎo)體；在振子以外切向磁場(chǎng)為零，因?yàn)檎褡拥拇艌?chǎng)均垂直于分界平面。對(duì)理想縫隙天線而言，在縫隙上切向磁場(chǎng)為零，因?yàn)榭p上只有橫向均勻分布的切向電場(chǎng)；在縫隙以外切向電場(chǎng)為零，因?yàn)槭抢硐雽?dǎo)體。場(chǎng)量下角標(biāo)中的d和s分別表示屬于振子或縫隙。由于理想縫隙和帶狀振子的電磁場(chǎng)方程和邊界條件存在對(duì)偶關(guān)系，所以將對(duì)偶量互換，即可以由已知的帶狀振子天線電磁場(chǎng)，得出

31、理想縫隙天線的電磁場(chǎng)，。電流沿軸線按正弦律分布的對(duì)稱(chēng)振子的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)為[22]： （2.2.1） 式中振子的波腹電流可以用振子表面的波腹切向磁場(chǎng)表示。對(duì)寬度為，厚度可忽略的帶狀振子，，于是帶狀振子天線的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)可表示為 （2.2.2） 將對(duì)偶量互換，，即得與帶狀振子互補(bǔ)的理想縫隙天線的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)： （2.2.3） 對(duì)比理想縫隙與對(duì)稱(chēng)振子的場(chǎng)可以看出： 1、二者方向性相同。方向性函數(shù)都是：

32、 （2.2.4） 在包含縫隙軸線的平面內(nèi)方向性圖示“8”字形，在垂直于縫隙軸線的平面內(nèi)方向性圖是圓形。 2、二者主平面互換了位置，包含縫隙軸線的平面是面，而垂直于縫隙軸線的平面是面。因此鉛垂縫隙是水平極化的，水平縫隙是垂直極化的。二者對(duì)偶場(chǎng)矢量的方向在一個(gè)半空間相同，在另一個(gè)半空間相反，這是因?yàn)樵诳p隙所在平面兩邊縫隙天線電場(chǎng)的法向分量反向的緣故。 實(shí)際的縫隙天線都是開(kāi)在有限尺寸的良導(dǎo)電金屬板上的。有限尺寸平板對(duì)面方向性圖影響不大，但對(duì)面方向圖存在明顯影響。由于邊緣繞射的干涉，將使方向性圖出現(xiàn)波紋，平板加大，波動(dòng)減小，波紋數(shù)增多，方向性圖向無(wú)限大平板時(shí)的方向性圖

33、趨近[23]。 2.3波導(dǎo)縫隙的輻射機(jī)理 2.3.1開(kāi)縫形式 在波導(dǎo)壁的適當(dāng)位置上開(kāi)的縫隙也可以有效地輻射和接收無(wú)線電波，這種開(kāi)在波導(dǎo)上的縫隙稱(chēng)為波導(dǎo)縫隙天線。波導(dǎo)縫隙要成為有效的天線必須選擇在適當(dāng)?shù)奈恢煤头较?。波?dǎo)上的縫隙是不需要另外的饋線的，它輻射的能量就來(lái)自波導(dǎo)內(nèi)的電磁波，在波導(dǎo)內(nèi)傳輸波[24]時(shí)，窄壁豎縫和寬邊中軸線上的縱縫均不能受到激勵(lì)而向空間輻射，根據(jù)收發(fā)天線的互易原理，它們也就不能從遠(yuǎn)處傳來(lái)的無(wú)線電波中接收能量。這是因?yàn)檎谪Q縫和寬壁中軸線上的縱縫對(duì)波導(dǎo)內(nèi)原來(lái)的電磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)無(wú)明顯影響，而其它形式的縫隙能有效地改變波導(dǎo)壁表面的場(chǎng)分布。當(dāng)波導(dǎo)內(nèi)傳輸波時(shí)，因切向磁場(chǎng)有橫向和縱向

34、兩個(gè)分量，波導(dǎo)內(nèi)壁表面電流也存在縱向和橫向兩個(gè)分量。能產(chǎn)生輻射的縫隙都能有效切割表面電流線，而不能產(chǎn)生輻射的縫隙是與表面電流線平行的，不能有效切割表面電流線。 表面電流在波導(dǎo)壁上的大小是隨位置而變的。橫向電流在波導(dǎo)寬面中軸線處等于零，往兩邊沿逐漸增至最大，所以切割橫向表面電流的寬壁縱向縫隙在中軸線上是得不到激勵(lì)的，因而這樣的縫隙不能用作天線，而波導(dǎo)測(cè)量線正是利用這個(gè)特點(diǎn)，將縱縫開(kāi)在寬面中心而使輻射損耗最小。寬面縱縫越靠近邊緣，受到的激勵(lì)越強(qiáng)。同一橫截面上中心線兩邊的橫向表面電流是反相的，因而開(kāi)在中心線兩邊的縱縫是反相激勵(lì)的。 寬面還有縱向表面電流，它在寬面中心線處最大，往邊緣逐漸減小到零。

35、因而寬面還可以開(kāi)橫向縫隙，橫縫在寬面中心線上受到的激勵(lì)最強(qiáng)，往邊沿逐漸減小。 波導(dǎo)的窄邊只有橫向表面電流，所以開(kāi)在窄邊的豎縫是沒(méi)有輻射的。 另外沿波導(dǎo)縱軸方向相距半個(gè)波導(dǎo)波長(zhǎng)的兩個(gè)截面上，縱向表面電流和橫向表面電流都是反相的，因而在波導(dǎo)縱軸方向上相距的縫隙是反相的，相距的縫隙是同相的。 2.3.2波導(dǎo)縫隙的阻抗特性 波導(dǎo)開(kāi)縫之前是均勻的，可等效為傳輸線。波導(dǎo)上開(kāi)的縫隙可等效為負(fù)載，開(kāi)縫的波導(dǎo)便等效為加載傳輸線，根據(jù)開(kāi)縫的位置和方向，縫隙或等效為串聯(lián)的負(fù)載或等效為并聯(lián)的負(fù)載。 x a （a） （b）

36、 圖2.1 波導(dǎo)寬邊縱縫及其等效電路 Fig. 2.1 Longitudinal slot and its equivalent circuit in the broad face of a waveguide 寬邊縱向縫隙會(huì)使一部分橫向表面電流不能按原來(lái)的方向流動(dòng)而是發(fā)生彎曲，繞過(guò)縫隙流動(dòng)，如圖2.1（a）所示。這樣在縫隙的中點(diǎn)兩邊便出現(xiàn)了由橫向表面電流的彎曲引起的附加縱向電流，使得在縫隙中點(diǎn)兩邊的總縱向電流的大小不相等而發(fā)生突變，這與傳輸線并聯(lián)接入阻抗的情況相當(dāng)，所以寬邊縱向縫隙等效為并聯(lián)導(dǎo)納。如圖2.1（b）所示。在縫的長(zhǎng)度適當(dāng)（略短于）時(shí)發(fā)生諧振，電納等于零而變成純電導(dǎo)。其歸一

37、化電導(dǎo)值（與波導(dǎo)特性導(dǎo)納之比）可按下式計(jì)算[25]： （2.3.1） 其中，是縫隙偏離寬面中心線的距離，是波導(dǎo)寬邊的尺寸，是波導(dǎo)窄邊的尺寸，是工作波長(zhǎng)，是波導(dǎo)波長(zhǎng)。由式（2.3.1）可知，寬邊縱向縫隙偏離中心線越遠(yuǎn)，等效電導(dǎo)越大。 a b U1 U2 （a） （b） （c） 圖2.2波導(dǎo)寬邊橫向縫隙及其等效電路 Fig. 2.2 Transve

38、rse slot and its equivalent circuit in the broad face of a waveguide 圖2.2（a）所示的寬邊橫向縫隙引起的附加電場(chǎng)的豎向分量在縫的兩邊方向相反，從而使波導(dǎo)內(nèi)總的豎向電場(chǎng)發(fā)生突變，如圖2.2（b）所示。這和傳輸線串聯(lián)接入阻抗的情況相當(dāng)，所以寬邊橫縫等效為串聯(lián)的阻抗，如圖2.2（c）所示。在縫的長(zhǎng)度適當(dāng)時(shí)發(fā)生諧振而只有電阻，其等效值可按下式計(jì)算[25]： （2.3.2） 其中。由式（2.3.2）可知，寬邊橫向縫隙的等效電阻

39、隨縫偏離中線距離的增大而減小，在中線上等效電阻取得最大值。 用的較多的波導(dǎo)縫隙是寬邊縱向縫隙和窄邊傾斜縫隙。圖2.3所示的窄邊傾斜縫隙的主要優(yōu)點(diǎn)是加工方便。它是由豎向表面電流激勵(lì)的，也等效為并聯(lián)導(dǎo)納，長(zhǎng)度適當(dāng)時(shí)諧振，諧振電導(dǎo)值按下式計(jì)算[25]： （2.3.3） 其中，是縫隙的傾角，其余各量與以前所述相同。在<時(shí)，式（2.3.3）可近似為： （2.3.4） 由式（2.3.4）可知，越大，等效電導(dǎo)也越大。另外，由于

40、波導(dǎo)窄邊尺寸b較小，窄邊斜縫一般都要延伸到寬邊上去[25]。 b （a） （b） 圖2.3波導(dǎo)窄邊斜縫及其等效電路 Fig. 2.3 Oblique slot and its equivalent circuit in the narrow face of a waveguide 2.4波導(dǎo)縫隙天線陣 單個(gè)縫隙的方向性比較弱，要求強(qiáng)方向性時(shí)可采用波導(dǎo)縫隙天線陣。在同一根波導(dǎo)上開(kāi)若干個(gè)縫可構(gòu)成直線陣，用若干個(gè)開(kāi)縫的波導(dǎo)可構(gòu)成平面陣。 波導(dǎo)縫隙陣方向性的分析方法與一般的陣列天線沒(méi)有什么不同。它的方向性

41、取決于天線元的數(shù)目N，各元的幅度分布和相位分布以及天線元之間的距離。波導(dǎo)縫隙陣的方向性函數(shù)仍為元方向性函數(shù)與陣函數(shù)的乘積[26]，即 （2.4.1） 陣函數(shù)仍為： （2.4.2） 式中為縫隙激勵(lì)電壓的幅度比，，為觀察點(diǎn)所在方向與縫隙陣軸線（也就是波導(dǎo)縱軸）的夾角。 波導(dǎo)縫隙陣一般也是采用等間距和等相位差的，這時(shí)，，于是 （2.4.3） 令，則

42、 （2.4.4） 對(duì)于等幅陣，，則 (2.4.5) 或 （2.4.6） 對(duì)于同相等幅陣，，則 （2.4.7） 這是一個(gè)側(cè)射陣，最大輻射方向在陣軸線的垂直方向，即。 波導(dǎo)縫隙陣的輻射能量就來(lái)自于波導(dǎo)中傳輸?shù)碾姶挪ǎ恍枰硗獾酿伨€，這在饋電方面是一個(gè)很大的優(yōu)點(diǎn)。另一方面這又決定了各縫的相位

43、差與縫的間距d有密切關(guān)系，二者不再是相互獨(dú)立的了，而各縫的激勵(lì)幅度則與縫在波導(dǎo)上的位置和方向有關(guān)。 波導(dǎo)縫隙陣以各縫隙間距是否等于為根據(jù)而分兩類(lèi)。當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為諧振式縫隙陣；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為非諧振式縫隙陣。這里所謂的“諧振式”與“非諧振式”區(qū)分的根據(jù)就是縫隙的間距是否為，并不說(shuō)明縫隙本身是否諧振。縫隙諧振與否是由縫隙的長(zhǎng)度決定的，一般而言半波縫隙諧振長(zhǎng)度略短于，而且縫越寬，較短得越多。 諧振式波導(dǎo)縫隙陣由于縫隙間距為，所以相鄰縫隙的激勵(lì)會(huì)產(chǎn)生，為使各縫獲得同相激勵(lì)，應(yīng)當(dāng)采取措施使相鄰縫隙再獲得的附加相移。 對(duì)于寬邊縱向縫隙陣而言，由于中軸線兩側(cè)的橫向電流反向，能產(chǎn)生所需的附加相移，所以可以把相鄰縫

44、隙交替地分布在波導(dǎo)寬壁中線兩側(cè)。如圖2.4所示。 a a (b) (a) 圖2.4波導(dǎo)寬邊縫隙陣的布置 Fig. 2.4 The layout of slots array in the broad face of a waveguide 對(duì)于窄邊傾斜縫隙，由于相鄰縫的傾斜方向可以相同也可以相反，所以縫隙間距時(shí)，縫間相位差仍有零和π兩種情況，如圖2.5所示。圖2.5（a）是傾斜方向相同的情況，圖2.5（b）是傾斜方向相反的情況。由圖上虛線表示的縫隙電場(chǎng)主極化分量可以看出，傾斜方向相同時(shí)是反相激勵(lì)，傾斜方向相反時(shí)是同相激勵(lì)。

45、 （b） b b （a） 圖2.5波導(dǎo)窄邊縫隙陣的布置 Fig. 2.5 The layout of oblique slots array in the narrow face of a waveguide 諧振式縫隙陣是側(cè)射陣，方向性圖主瓣最大值方向指向縫隙面的法線方向。當(dāng)工作頻率改變時(shí)，間距不再等于，不能保持各縫隙同相激勵(lì)，引起主瓣方向改變，并且天線的匹配也將急劇變差。所以這類(lèi)縫隙陣是窄頻帶的。 非諧振式縫隙陣的間距大于或小于，波導(dǎo)末端接匹配負(fù)載，屬行波天線，故能在較寬的頻帶內(nèi)保持良好匹配。天線陣的各縫隙不

46、同相激勵(lì)，具有一個(gè)固定相差，所以方向性圖主瓣將偏離縫隙面的法線一定角度。 第3章 時(shí)域有限差分法的基本應(yīng)用 3.1引言 時(shí)域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是一種直觀的電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算技術(shù)，它的直觀性來(lái)源于對(duì)麥克斯韋方程組的處理方式上，事實(shí)上它沒(méi)有對(duì)麥克斯韋方程組做任何變換處理，而是直接把旋度方程中對(duì)空間和時(shí)間變量的偏微分運(yùn)算離散化為對(duì)空間和時(shí)間變量的差商運(yùn)算，當(dāng)離散間隔足夠小時(shí)，差商運(yùn)算的結(jié)果將達(dá)到足夠的精度。事實(shí)上，從感性上來(lái)說(shuō)，微分運(yùn)算也就是極限意義下的差商運(yùn)算。所以為了體現(xiàn)該方法固有的直觀性，本文對(duì)它的介紹也將以如何離散化Ma

47、xwell旋度方程而展開(kāi)，包括一維、二維、三維電磁問(wèn)題的FDTD基本技術(shù)，并給出相應(yīng)的源代碼（使用MATLAB語(yǔ)言）。不求面面俱到，只為說(shuō)明該方法的主要構(gòu)成脈絡(luò)和基本應(yīng)用技術(shù)。本章只講述有關(guān)FDTD的一維和二維情形，三維情形將在第4章結(jié)合單縫隙天線予以介紹。 在正式介紹之前，作如下兩點(diǎn)處理說(shuō)明： 1、由于和在數(shù)值上相差若干數(shù)量級(jí)，致使電場(chǎng)和磁場(chǎng)的數(shù)值不在相同的數(shù)量級(jí)上，在編寫(xiě)程序時(shí)，應(yīng)考慮到編程語(yǔ)言數(shù)據(jù)類(lèi)型的精度范圍，所以為了使電場(chǎng)和磁場(chǎng)在某種編程語(yǔ)言下具有相同的精度，可令，這種歸一化處理有助于計(jì)算準(zhǔn)確度的提高[27]。 2、使用電通密度對(duì)媒質(zhì)進(jìn)行統(tǒng)一處理： 通常，對(duì)Maxwell方

48、程組的處理都是基于和的兩個(gè)旋度方程展開(kāi)的，即 （3.1.1） 我們看到，如果媒質(zhì)是導(dǎo)電的，則有項(xiàng)存在于第一個(gè)式子，使得兩式結(jié)構(gòu)不 對(duì)稱(chēng)，不利于編程。解決辦法是利用電通密度把媒質(zhì)的特性統(tǒng)一到一個(gè)式子中集中處理，具體如下： （3.1.2） 這樣，不管媒質(zhì)是導(dǎo)電的還是色散的，計(jì)算的復(fù)雜性都包括在式（3.1.2）的第二個(gè)式子中，而第一和第三兩式保持對(duì)稱(chēng)。 3.2一維電磁問(wèn)題的FDTD基本技術(shù) 3.2.1 自由

49、空間一維電磁波傳播的FDTD模擬 自由空間Maxwell旋度方程如下： （3.2.1）F/m是自由空間介電常數(shù)；H/m 是自由空間導(dǎo)磁率。上述旋度方程中和均為三維矢量，所以等價(jià)于六個(gè)標(biāo)量方程，我們僅以其中的和為代表展開(kāi)一維FDTD問(wèn)題的表述，即 （3.2.2） 這是沿z方向傳播的一維平面波方程，電場(chǎng)方向是x方向，磁場(chǎng)是y方向。對(duì)此偏微分方程組進(jìn)行中心差分離散得[28]： （3.2.3） 上角標(biāo)，，，

50、均表示時(shí)間點(diǎn)，小括號(hào)中的，，，均為空間位置，從上式可看出，電場(chǎng)和磁場(chǎng)在空間上和時(shí)間上相互交替咬合步進(jìn)發(fā)展。對(duì)式（3.2.3）整理可得： （3.2.4） 仔細(xì)觀察此式不難看出它所表述的含義：空間某位置任意時(shí)間步的電場(chǎng)等于該點(diǎn)前一時(shí)間步的電場(chǎng)與鄰近磁場(chǎng)空間變化率之代數(shù)和；空間某位置任意時(shí)間步的磁場(chǎng)等于該點(diǎn)前一時(shí)間步的磁場(chǎng)與鄰近電場(chǎng)空間變化率之代數(shù)和。 令，可得： （3.2.5） 根據(jù)Courant穩(wěn)定性條件[29]，取，其中是自由空間中的光速，由此可推知，于是可得程序代碼（MATLAB語(yǔ)言）如下： (3.2.6) 注意，代表時(shí)間的上角標(biāo)已經(jīng)略掉，

51、在程序中需要設(shè)置一個(gè)代表時(shí)間步的循環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)時(shí)間上的迭代，k-和k+不符合MATLAB語(yǔ)言的數(shù)組規(guī)范，所以分別用k-1和k+1來(lái)指代，式中，是在MATLAB中定義的分別用來(lái)保存電場(chǎng)和磁場(chǎng)的變量。附錄A的程序代碼模擬了高斯脈沖在自由空間的傳播過(guò)程，在這個(gè)程序中問(wèn)題空間的大小設(shè)為200個(gè)空間步長(zhǎng)，即k由1變化到200，其中脈沖源設(shè)置在k=100處，這樣能使我們得以同時(shí)觀察向正負(fù)z兩個(gè)方向傳播的一維平面波，如圖3.1所示，程序中保存時(shí)間步總數(shù)的變量“nsteps”可由讀者重新設(shè)定，以根據(jù)需要觀測(cè)波形的變化。圖3.1是經(jīng)過(guò)100個(gè)時(shí)間步時(shí)得到的波形。 圖3.1 經(jīng)過(guò)100個(gè)時(shí)間步時(shí)的電場(chǎng)磁場(chǎng)波

52、形 Fig. 3.1 The electric field and magnetic field waveform after 100 time steps 隨著迭代時(shí)間步的增大，脈沖將到達(dá)問(wèn)題區(qū)間的外邊緣，如果不做任何處理，將導(dǎo)致脈沖反射，如圖3.2所示。 圖3.2經(jīng)過(guò)300個(gè)時(shí)間步時(shí)的電場(chǎng)磁場(chǎng)波形 Fig. 3.2 The electric field and magnetic field waveform after 300 time steps 為了消除這種反射，我們可以在程序中增加設(shè)置吸收邊界的代碼。前面我們根據(jù)Courant條件取，這意味著對(duì)于自由空間中的一維

53、電磁波傳播問(wèn)題，波前將以兩個(gè)時(shí)間步來(lái)前進(jìn)一個(gè)完整網(wǎng)格的距離，亦即，根據(jù)這一事實(shí)，我們可以得到一維自由空間問(wèn)題的吸收邊界條件為： （3.2.7） 式（3.2.7）的第一式和第二式分別對(duì)應(yīng)問(wèn)題區(qū)間的左邊界和右邊界。具體的，在代碼實(shí)現(xiàn)上，可以通過(guò)增設(shè)兩個(gè)暫存變量來(lái)實(shí)現(xiàn)邊界處場(chǎng)量的傳遞，詳細(xì)程序代碼見(jiàn)附錄B。 3.2.2一維電磁波在無(wú)耗介質(zhì)中傳播的FDTD模擬 同3.2.1小節(jié)一樣，由Maxwell旋度方程出發(fā)，并引入歸一化，即，可得：

54、 （3.2.8） 取和分量構(gòu)成一維平面電磁波： （3.2.9） 對(duì)時(shí)間和空間變量進(jìn)行中心差分離散: （3.2.10） 取并進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得： （3.2.11） 于是可寫(xiě)出程序代碼如下： （3.2.12） 其中，用來(lái)保存計(jì)算出來(lái)的關(guān)于煤質(zhì)的參數(shù)，用來(lái)保存媒質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)。附錄C給出了模擬一維高斯脈沖平面波經(jīng)過(guò)相對(duì)介電常數(shù)的無(wú)耗介質(zhì)的FDTD代碼，其中空間上設(shè)置從到是自由空間，從開(kāi)始是相對(duì)介電常為6的無(wú)耗介質(zhì)。當(dāng)脈沖到達(dá)介質(zhì)時(shí)，由

55、于媒質(zhì)的不連續(xù)性，導(dǎo)致一部分波向源的方向反射，一部分波透過(guò)介質(zhì)繼續(xù)向前傳播，如圖3.3所示。 圖3.3無(wú)耗介質(zhì)中一維電磁波的反射和透射 Fig.3.3 The reflection and transmission of one dimentional electromagnetic wave hitting on a lossless dielectric 3.2.3一維平面波在導(dǎo)電損耗介質(zhì)中傳播的FDTD模擬 在導(dǎo)電損耗介質(zhì)中，Maxwell旋度方程形式如下 （3.2.13） 電流密度

56、的存在使得式（3.2.13）中的兩式結(jié)構(gòu)不對(duì)稱(chēng)，這種不對(duì)稱(chēng)將導(dǎo)致編程的復(fù)雜性，故正如本章引言所述，引入電通密度對(duì)媒質(zhì)特性進(jìn)行集中處理，即由下式出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)： （3.2.14） 令，，進(jìn)行歸一化處理得： （3.2.15） 以后為書(shū)寫(xiě)方便將省略歸一化場(chǎng)量的上波浪線“~”。導(dǎo)電損耗介質(zhì)一般具有如下形式[30]： （3.2.16） 帶入式（3.2.15）中的第二式，

57、可以得到 （3.2.17） 將式（3.2.17）變換到時(shí)域?yàn)? （3.2.18） 對(duì)式（3.2.18）進(jìn)行時(shí)域離散化： （3.2.19） 式（3.2.19）等價(jià)于 （3.2.20） 這樣，對(duì)于給定的時(shí)刻，就能寫(xiě)出由求的公式： （3

58、.2.21） 令，則可把式（3.2.21）關(guān)于n時(shí)刻電場(chǎng)E的求解化為兩個(gè)式子聯(lián)合求解: （3.2.22）同樣，根據(jù)Courant條件取，便可獲得如下代碼： （3.2.23） 其中，，是程序中定義的用來(lái)計(jì)算相關(guān)參數(shù)的變量，用來(lái)保存媒質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)，用來(lái)保存電導(dǎo)率，用來(lái)保存時(shí)間步長(zhǎng)，保存真空中的介電常數(shù)。程序代碼詳見(jiàn)附錄D。 3.2.4色散媒質(zhì)的處理方法 對(duì)于色散媒質(zhì)，也完全可以采用與在導(dǎo)電損耗媒質(zhì)情況下類(lèi)似的處理方法，在此舉例說(shuō)明。假如色散媒質(zhì)形式如下[31

59、]： （3.2.24） 其中最后一項(xiàng)變換到時(shí)域是，為單位階躍函數(shù)。令，頻域的乘積運(yùn)算相當(dāng)于時(shí)域的卷積運(yùn)算，即 （3.2.25） 對(duì)式（3.2.25）進(jìn)行時(shí)域離散化，得到： （3.2.26） 進(jìn)而又可求得： 所以可推出與的關(guān)系如下 （3.2.27） 現(xiàn)在可以寫(xiě)出由式（3.2.24）描述的媒質(zhì)中的FDTD計(jì)算式 （3.2.28） 從而可通過(guò)

60、此式求得電場(chǎng)： （3.2.29） 于是總的求解過(guò)程可用如下的MATLAB代碼描述： 其中 ， ， ， 。 所涉及到的程序變量在名稱(chēng)上與諸公式中的數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)應(yīng)，參見(jiàn)3.2.3小節(jié)的說(shuō)明。 3.3二維電磁問(wèn)題的FDTD基本技術(shù) 3.3.1二維FDTD基本計(jì)算公式 對(duì)于自由空間中二維電磁問(wèn)題FDTD公式的推導(dǎo)，也是從Maxwell旋度方程出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)，如式（3.2.1）

61、。考慮到場(chǎng)量的歸一化處理，即和[32]，對(duì)于TM模，可獲得如下的標(biāo)量偏微分方程組： （3.3.1） 其中的場(chǎng)量已略掉表示歸一化的上波浪線。對(duì)式（3-3-1）進(jìn)行中心差分離散可得： （3.3.2） 注意，為方便起見(jiàn)，式（3.3.2）中不同坐標(biāo)軸方向的空間增量均用表示，以后進(jìn)入三維FDTD問(wèn)題時(shí)，還將沿用此記法。附錄E給出了二維TM波的FDTD代碼，采用高斯脈沖源，置于平面上問(wèn)題區(qū)域的中心，圖3.4、圖3.5和圖3.6分別示出了TM波電場(chǎng)分量在時(shí)間步T=20、30、45時(shí)的波形,注意比較幅度的起伏變化。

62、 圖3.4 高斯脈沖TM波經(jīng)過(guò)20個(gè)時(shí)間步時(shí)的波形 Fig. 3.4 The Gauss pulse TM wave after 20 time steps 圖3.5高斯脈沖TM波經(jīng)過(guò)30個(gè)時(shí)間步時(shí)的波形 Fig. 3.5 The Gauss pulse TM wave after 30 time steps 圖3.6高斯脈沖TM波經(jīng)過(guò)45個(gè)時(shí)間步時(shí)的波形 Fig. 3.6 The Gauss pu

63、lse TM wave after 45 time steps 3.3.2二維各向異性PML吸收層 正如圖3.4、圖3.5和圖3.6所示，隨著時(shí)間步的繼續(xù)增加，波將傳播到外邊界，如果不做任何處理，波將反射，干擾原問(wèn)題空間內(nèi)的波形，使其不能反映真實(shí)物力情形。為了在有限的計(jì)算機(jī)資源空間中模擬開(kāi)域的電磁問(wèn)題，需在問(wèn)題空間的外圍增設(shè)一層具有一定厚度的吸收層，使得電磁波在進(jìn)入該吸收層時(shí)無(wú)反射，并且在進(jìn)入該層后迅速衰減。無(wú)反射則要求反射系數(shù)，其中和分別是自由空間和吸收層的波阻抗；有衰減則要求磁導(dǎo)率和介電常數(shù)為復(fù)數(shù)。對(duì)于二維和三維電磁問(wèn)題，我們將采用各向異性完全匹配層（UPML）來(lái)作為吸收邊界[

64、33-39]。 將方程組： （3.3.3） 變換到頻域[40]： （3.3.4） 為了構(gòu)造各向異性PML，添加假象的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率： （3.3.5） 欲構(gòu)成各向異性完全匹配層，必須滿足以下兩點(diǎn) 1：，這里，對(duì)于二維問(wèn)題，下角標(biāo)或y表示了所添加的假想介質(zhì)參數(shù)的各向異性性。 2：，，即在與吸收層某一邊界垂直那個(gè)方向上的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別等于其它方向上介電常數(shù)和磁導(dǎo)率的

65、倒數(shù)。 PML x y 圖3.7與x軸垂直的PML Fig.3.7 A PML which is vertical to the x axis 對(duì)于xoy平面內(nèi)僅與x軸垂直的PML（如圖3.7所示），式（3.3.5）簡(jiǎn)化為: （3.3.6） 為了滿足上述兩點(diǎn)要求，取 （3.3.7） 于是方程組化為： （3.3.8） 對(duì)式（3.3.8）中第一式的左邊

66、 變換到時(shí)域?yàn)椋? （3.3.9） 對(duì)式（3.3.9）進(jìn)行中心差分離散： （3.3.10） 整理可得： （3.3.11） 其中,。 同理，式（3.3.8）中的第四式可整理為： （3.3.12） 其中,。 對(duì)于式（3.3.8）中的第三式，處理過(guò)程有所不同，首先可整理為： （3.3.13） 將式（3.3.13）變換到時(shí)域進(jìn)行差分離散，并令 則可得 其中表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間步累加步數(shù)。整理可得： （3.3.14）