2019年高考數(shù)學試題分類匯編 N單元 選修4系列（含解析）.doc

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2019年高考數(shù)學試題分類匯編 N單元 選修4系列（含解析） 目錄 N單元 選修4系列 1 N1 選修4-1 幾何證明選講 1 N2 選修4-2 矩陣 1 N3 選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程 1 N4 選修4-5 不等式選講 1 N5 選修4-7 優(yōu)選法與試驗設計 1 N1 選修4-1 幾何證明選講 【文寧夏銀川一中高二期末xx】22.（本小題滿分10分）選修4—1: 幾何證明選講． C D E A B P 如圖，在正ΔABC中，點D、E分別在邊BC, AC上,且,，AD，BE相交于點P. 求證：(I) 四點P、D、C、E共 圓； (II) AP ⊥CP。 【知識點】 【答案解析】解析：證明：（I）在中，由知： ≌， 即.所以四點共圓； （II）如圖， 連結.在中，,,由正弦定理知 由四點共圓知，,所以 【思路點撥】證明四點共圓一般利用定理：若四邊形對角互補，則四點共圓進行證明，再利用同弧所對的圓周角相等證明第二問. 【文廣東惠州一中高三一調xx】15．（幾何證明選講選做題）如圖，是圓的直徑， 是圓的切線，切點為，平行于弦， 若，，則 . 【知識點】與圓有關的比例線段． 【答案解析】4 解析 ：解：由于，，而，因此，，，，，，，，故， 由于切圓于點，易知， 由勾股定理可得，因此. 【思路點撥】利用圓的切線的性質和勾股定理可得BC，再利用平行線的性質和全等三角形的性質可得CD=CB．即可得出． 【理重慶一中高二期末xx】14 .如圖，過點P作圓O的割線PBA與切線PE， P E B A D C E為切點，連接AE,BE，∠APE的平分線分別與 AE、BE相交于C、D，若∠AEB=,則∠PCE 等于 . 【知識點】弦切角的性質和應用. 【答案解析】解析 ：解：PE 是圓的切線， ∴∠PEB=∠PAC，∵PC是∠APE的平分線， ∴∠EPC=∠APC，根據(jù)三角形的外角與內角關系有： ∠EDC=∠PEB+∠EPC；∠ECD=∠PAC+∠APC，∴∠EDC=∠ECD， ∴△EDC為等腰三角形，又∠AEB=40，∴∠EDC=∠ECD=75，即∠PCE=70， 故答案為：70． 【思路點撥】利用弦切角，以及三角形的外角與內角的關系，結合圖形即可解決． 【理吉林長春十一中高二期末xx】22.(本小題滿分10分）選修4-1：平面幾何選講 如圖所示，是⊙直徑，弦的延長線交于，垂直于的延長 線于. 求證：(1)； （2）. 【知識點】與圓有關的比例線段;四點共圓的證明方法;三角形相似. 【答案解析】(1) 見解析（2）見解析 解析 ：解：（1）連AD，∵AB是圓O的直徑，∴則A、D、E、F四點共圓，∴ 5分 （2）由（1）知,又≌∴ 即 ∴ 即 5分 【思路點撥】（1）連接AD，利用AB為圓的直徑結合EF與AB的垂直關系，通過證明A，D，E，F(xiàn)四點共圓即可證得結論； （2）由（1）知，，再利用三角形≌得到比例式，最后利用線段間的關系即求得． N2 選修4-2 矩陣 N3 選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程 【浙江效實中學高一期末xx】19．已知曲線，． （1）化的方程為普通方程； （2）若上的點對應的參數(shù)為為上的動點，求中點到直線 距離的最小值． 【知識點】參數(shù)方程、點到直線的距離 【答案解析】（1） ，；（2）. 解析：解：(1)由曲線得，平方相加得，由得，平方相加得； (2)由已知得P點坐標為(－4，4)，設Q點坐標為(8cosθ，3sinθ)，則M點坐標為，又直線的普通方程為x－2y－7=0，所以M到直線的距離為 【思路點撥】參數(shù)方程化普通方程常見的方法有代入消參和利用正弦和余弦平方和等于1消元，當直接利用參數(shù)方程不方便時可考慮化成普通方程解答. 【文寧夏銀川一中高二期末xx】23.（本小題滿分10分）選修4—4: 坐標系與參數(shù)方程． 已知直線為參數(shù)), 曲線 （為參數(shù)）. (I)設與相交于兩點,求； (II)若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍,縱坐標壓縮為原來的倍,得到曲線,設點是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最小值. 【知識點】直線與圓、橢圓的參數(shù)方程、點到直線距離公式 【答案解析】C解析：解：（I）的普通方程為的普通方程為 聯(lián)立方程組解得與的交點為,, 則. （II）的參數(shù)方程為為參數(shù)).故點的坐標是,從而點到直線的距離是 , 由此當時,取得最小值,且最小值為. 【思路點撥】一般由參數(shù)方程研究直線與曲線位置關系不方便時，可化成普通方程進行解答，當遇到圓錐曲線上的點到直線的距離問題時可選擇用圓錐曲線的參數(shù)方程設點求距離. 【文黑龍江哈六中高二期末考試xx】21. （本小題滿分12分） 在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為 （1）求的參數(shù)方程； （2）設點在上，在處的切線與直線垂直，根據(jù)（1）中你得到的參數(shù)方程，確定的坐標。 【知識點】參數(shù)方程化成普通方程；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；圓的參數(shù)方程． 【答案解析】（1），（2）或． 解析 ：解：（1）半圓C的極坐標方程，即， 化為直角坐標方程為 ---------------3分 令 故半圓C的參數(shù)方程為， ---------------3分 （2）設點在上，在處的切線與直線垂直， ∴直線和直線平行，故直線和直線斜率相等． 設點的坐標為（，），∵（1，0），∴， 解得，即或，故點的坐標為 或．--------------6分 【思路點撥】（1）半圓C的極坐標方程化為直角坐標方程為，令 可得半圓C的參數(shù)方程；（2）由題意可得直線CD和直線平行，設點的坐標為（，），根據(jù)直線CD和直線的斜率相等求得 的值，可得 的值，從而得到點D的坐標． 【文廣東惠州一中高三一調xx】14．（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知在平面直角坐標系中圓的參數(shù)方程為：，（為參數(shù)），以為極軸建立極坐標系，直線極坐標方程為：，則圓截直線所得弦長為 . 【知識點】參數(shù)方程化成普通方程；直線與圓的位置關系． 【答案解析】 解析 ：解：圓（為參數(shù)）表示的曲線是以點為圓心，以為半徑的圓，將直線的方程化為直角坐標方程為，圓心到直線的距離4， 故圓截直線所得弦長. 【思路點撥】首先把參數(shù)方程和極坐標方程化為普通方程，再利用 圓心到直線的距離公式即可求出． 【理重慶一中高二期末xx】15、直線（為參數(shù),）與圓（為參數(shù)）相交所得的弦長的取值范圍是 . 【知識點】參數(shù)方程化成普通方程．極坐標方程化成普通方程． 【答案解析】解析 ：解：直線（為參數(shù),）化為普通方程是即圓（為參數(shù)）化為普通方程是，因為當時，弦長減小，故當時，直線為此時弦心距時，由勾股定理得半弦長為，故此時弦長為，同理當時，可求得弦長為. 故答案為： 【思路點撥】把直線與圓的參數(shù)方程化為普通方程，畫出圖形，結合圖形，求出直線被圓截得的弦長的最大值與最小值即可． 【理寧夏銀川一中高二期末xx】19. (本小題滿分12分) 在直角坐標系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系。圓，直線的極坐標方程分別為 (1)求與的交點的極坐標； (2)設為的圓心，為與的交點連線的中點，已知直線的參數(shù)方程為求的值。 【知識點】參數(shù)方程與極坐標 【答案解析】(1);(2)解析：解：由得， 圓的直角坐標方程為 直線的直角坐標方程分別為 由解得 所以圓，直線的交點直角坐標為 再由，將交點的直角坐標化為極坐標所以與的交點的極坐標 由知，點，的直角坐標為 故直線的直角坐標方程為 ① 由于直線的參數(shù)方程為 消去參數(shù) ② 對照①②可得 解得 【思路點撥】一般遇到曲線的參數(shù)方程與極坐標方程時，若直接解答不方便可轉化為普通方程或直角坐標方程進行解答. 【理寧夏銀川一中高二期末xx】8．曲線C：）上兩點A、B所對應的參數(shù)是t1, t2, 且t1+t2=0， 則|AB|等于（ ） A．|2p(t1-t2)| B. 2p(t1-t2) C. 2p(t12+t22) D. 2p(t1-t2)2 【知識點】拋物線的參數(shù)方程 【答案解析】A解析：解：由已知得A、B的坐標分別為，則，則選A. 【思路點撥】利用拋物線的參數(shù)方程對點A、B對應的參數(shù)可寫出其對應的坐標，再利用兩點間距離公式即可解答. 【理寧夏銀川一中高二期末xx】7．若點P(x,y)在橢圓上,則x+y的最大值為(　　) A. 3+　　　B. 5+　　　C. 5　　　D. 6 【知識點】橢圓的參數(shù)方程的應用 【答案解析】A解析：解：橢圓的參數(shù)方程為，則x+y=，所以選A. 【思路點撥】利用橢圓的參數(shù)方程轉化為三角求最值問題，再利用asinx+bcosx的最大值為解答即可. 【理寧夏銀川一中高二期末xx】6．若直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),則直線的斜率為(　　) A. B. C. D. 【知識點】直線的參數(shù)方程 【答案解析】D解析：解：由直線的參數(shù)方程得y－2=(x－1)，所以直線的斜率為，選D. 【思路點撥】由直線的參數(shù)方程求其斜率，可把直線的參數(shù)方程化為普通方程再進行判斷. 【理寧夏銀川一中高二期末xx】5．極坐標方程ρ2cos2θ=1所表示的曲線是(　　) A．圓 B. 兩條相交直線 C. 橢圓 D. 雙曲線 【知識點】極坐標方程與直角坐標方程的互化 【答案解析】D解析：解：因為，所以極坐標方程ρ2cos2θ=1所表示的曲線是雙曲線，則選D. 【思路點撥】在判斷極坐標方程表示的曲線形狀不方便時，可利用極坐標方程與直角坐標方程的互化公式把方程轉化為直角坐標方程進行判斷. 【理寧夏銀川一中高二期末xx】3. 在極坐標系中，圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【知識點】直線與圓的位置關系、直線與圓的極坐標方程 【答案解析】B解析：解：因為圓圓心在極軸上且過極點與點(2，0)，則極點與點(2，0)即為直線與圓相切的切點，所以過極點與點(2，0)垂直于極軸的方程分別為和 【思路點撥】熟悉常見的圓與直線的極坐標方程是本題解題的關鍵，由所給的圓的極坐標方程即可確定圓心位置，進而確定圓的切線切點，再結合切點位置確定切線的極坐標方程. 【理吉林長春十一中高二期末xx】23.(本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 已知極坐標系的原點在直角坐標系的原點處，極軸為軸正半軸，直線的參數(shù) 方程為，曲線的極坐標方程為 （1）寫出的直角坐標方程，并說明是什么曲線？ （2）設直線與曲線相交于兩點，求. 【知識點】參數(shù)方程化為普通方程的方法;把極坐標方程化為直角坐標方程的方法;參數(shù)的幾何意義． 【答案解析】（1） 圓 （2） 解析 ：解：（Ⅰ）∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，（2分） 由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x得：x2+y2=4x， 所以曲線C的直角坐標方程為（x﹣2）2+y2=4，…（4分） 它是以（2，0）為圓心，半徑為2的圓．…（5分） （Ⅱ）把代入x2+y2=4x整理得，…（7分） 設其兩根分別為t1、t2，則，…（8分） ∴．…（10分） 【思路點撥】（Ⅰ）由ρ=4cosθ可得ρ2=4ρcosθ，故曲線C的直角坐標方程為（x﹣2）2+y2=4，它是以（2，0）為圓心，半徑為2的圓． （Ⅱ）把參數(shù)方程代入x2+y2=4x整理得，利用根與系數(shù)的關系求得，根據(jù) 求得結果． 【理吉林長春十一中高二期末xx】14. 直線被曲線所截得的弦長為______． 【知識點】直線的參數(shù)方程；直線與圓相交的性質；簡單曲線的極坐標方程． 【答案解析】解析 ：解：曲線的極坐標方程為，直角坐標方程是：， 直線的普通方程是：， ∴圓心到直線的距離為， 則直線被曲線截得的弦長為． 故答案為：． 【思路點撥】先將極坐標方程兩邊同乘以后化成直角坐標方程，將直線l的參數(shù)方程化成普通方程，再求直線l被曲線C截得的弦長． 【理黑龍江哈六中高二期末xx】19．在直角坐標系中,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線,已知過點的直線的參數(shù)方程為:（為參數(shù)）,直線與曲線分別交于兩點． (1)寫出曲線和直線的普通方程； (2)若成等比數(shù)列,求的值． 【知識點】極坐標與直角坐標的互化公式;方程思想;直線L的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義. 【答案解析】(1) (2) 解析 ：解：(1)由得曲線C: 消去參數(shù)可求得直線的普通方程為…（4分） (2)將直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,代入中得 設M、N兩點對應的參數(shù)分別為 則有，…（6分） ∵∴解得：…（8分） 【思路點撥】(1)利用極坐標與直角坐標的互化公式即可把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，利用消去參數(shù)即可得到直線的直角坐標方程； (2)將直線的參數(shù)方程，代入曲線C的方程，利用參數(shù)的幾何意義即可得出，從而建立關于的方程，求解即可． 【理黑龍江哈六中高二期末xx】9. 在極坐標系中,直線與曲線相交于兩點, 為極點,則的大小為 （　?。? 【知識點】極坐標方程化為直角坐標方程的方法;直線和圓的位置關系. 【答案解析】A解析 ：解：直線即，曲線即，即， 表示以C為圓心，以1為半徑的圓．如圖． Rt△ADC中，∵，∴， 在△AOC中，，∴，∴， 故選 C． 【思路點撥】把極坐標方程化為直角坐標方程，求出AC，DC的值，可得的值，從而得到的值． 【理黑龍江哈六中高二期末xx】4．若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為( ) 【知識點】參數(shù)方程化為普通方程;根據(jù)直線的方程求直線的斜率. 【答案解析】D解析 ：解：∵直線的參數(shù)方程為，消去參數(shù)化為普通方程可得．故直線的斜率等于． 故選：D． 【思路點撥】把直線的參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程，從而得到直線的斜率． 【理廣東惠州一中高三一調xx】14．（坐標系與參數(shù)方程選做題）極坐標系中，分別是直線和 A P O B 圓上的動點，則兩點之間距離的最小值是 . 【知識點】極坐標方程與普通方程的互化；點到直線的距離. 【答案解析】 解析 ：解：由題意，直線，圓的標準方程，則圓心到直線的距離為，且圓半徑，故. 【思路點撥】先把直線與圓的極坐標方程轉化為普通方程，再利用點到直線的距離公式即可. 【理甘肅蘭州一中高二期末xx】16. （本小題滿分6分）在直角坐標系中，已知點，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為 （Ⅰ）判斷點與直線的位置關系，說明理由； （Ⅱ）設直線與曲線的兩個交點為、，求的值. 【知識點】參數(shù)方程、極坐標方程轉化為普通方程；參數(shù)方程的幾何意義. 【答案解析】（Ⅰ）點在直線上（Ⅱ） 解析 ：解：（Ⅰ）直線的方程可化為 ，即 化為直角坐標方程為，將點代人上式滿足， 故點在直線上. …………………2分 （Ⅱ）直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）， …………………3分 曲線的直角坐標方程為， 將直線的參數(shù)方程代人曲線的方程并整理得 ， 所以 …………………………6分 【思路點撥】（Ⅰ）把直線的極坐標方程方程化為普通方程后代入點檢驗即可判斷；（Ⅱ）直線的參數(shù)方程化為普通方程后利用的幾何意義可得結果. 【理甘肅蘭州一中高二期末xx】14.如圖，以過原點的直線的傾斜角為參數(shù)，則圓的參數(shù)方程為 . 【知識點】圓的參數(shù)方程;圓的標準方程;銳角三角函數(shù)定義;解直角三角形. 【答案解析】為參數(shù)） 解析 ：解：設過原點的直線與圓的另外一個交點為，圓可以轉化為， 所以，， 故圓的參數(shù)方程為為參數(shù)）. 故答案為:為參數(shù)）. 【思路點撥】將圓的方程化為標準方程，找出圓心與半徑，利用三角函數(shù)定義表示出OP，進而表示出x與y，即為圓的參數(shù)方程. 【理甘肅蘭州一中高二期末xx】8.在直角坐標系xOy中，直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin，則直線和曲線C的公共點有 (　 　) ．0個 ．1個 ．2個 ．無數(shù)個 【知識點】參數(shù)方程化為普通方程;極坐標方程化為直角坐標方程;點到直線的距離公式;直線和圓的位置關系的判定. 【答案解析】B解析 ：解：把直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為直角坐標方程為，表示一條直線． 曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin，即，表示以為圓心，以為半徑的圓． 圓心到直線的距離等于，故直線和圓相切，故直線和曲線C的公共點的個數(shù)為 1， 故選B． 【思路點撥】把參數(shù)方程化為普通方程，得到方程表示一條直線．把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，表示一個圓．圓心到直線的距離等于半徑，可得直線和圓相切，從而得到結論． 【理甘肅蘭州一中高二期末xx】6.在極坐標系中，圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為 （ ） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【知識點】圓的極坐標方程;直線的極坐標方程. 【答案解析】B解析 ：解：如圖所示，在極坐標系中圓是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓,故圓的兩條切線方程分別為 和． 故選B． 【思路點撥】利用圓的極坐標方程和直線的極坐標方程即可得出． 【理甘肅蘭州一中高二期末xx】4．已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），則曲線的普通方程為（ ） A． B． C． D． 【知識點】參數(shù)方程化成普通方程． 【答案解析】A解析 ：解：的兩邊平方可得，聯(lián)立可得，而，故選A. 【思路點撥】把兩式化簡代入，再求出x的范圍即可. N4 選修4-5 不等式選講 【文寧夏銀川一中高二期末xx】24．（本小題滿分10分）選修4—5: 不等式選講． 已知函數(shù)． (I)若不等式的解集為，求實數(shù)a的值； (II)在(I)的條件下，若存在實數(shù)使成立，求實數(shù)的取值范圍． 【知識點】絕對值不等式的解法 【答案解析】解析：解：（Ⅰ）由得，∴，即， ∴，∴。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,令， 則， ∴的最小值為4，故實數(shù)的取值范圍是。 【思路點撥】解絕對值不等式的常用方法有：一、利用絕對值不等式性質直接進行轉化，二、零點分段討論去絕對值解不等式，三、利用函數(shù)的圖象解不等式；對于不等式恒成立及不等式有解問題通常轉化為函數(shù)的最值問題. 【文寧夏銀川一中高二期末xx】12．設偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4 (x0），則= A. B. C. D. 【知識點】偶函數(shù)的性質、絕對值不等式 【答案解析】B解析：解：，解得x＜0或x＞4，所以選B. 【思路點撥】因為知道x≥0時函數(shù)f(x)的解析式,利用偶函數(shù)的性質可進行轉化，再代入已知解析式解不等式. 【文廣東惠州一中高三一調xx】10．已知函數(shù)則實數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. 【知識點】函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的單調性；絕對值不等式的解法. 【答案解析】C 解析 ：解：由偶函數(shù)定義可得是偶函數(shù)，故，原不等式等價于，又根據(jù)偶函數(shù)定義，，函數(shù)在單調遞增，，．或利用圖象求范圍．選C. 【思路點撥】由函數(shù)是偶函數(shù)可得,進而解即可. 【理寧夏銀川一中高二期末xx】14．若關于實數(shù)的不等式無解，則實數(shù)的取值范圍是 . 【知識點】絕對值不等式 【答案解析】a≤8解析：解：因為，所以若，則a≤8. 【思路點撥】一般遇到不等式恒成立問題及不等式無解等問題，通常轉化為最值問題求解，本題中若不等式無解，只需a小于等于左邊的最小值. 【理吉林長春十一中高二期末xx】24.(本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 設函數(shù) （1）解不等式； （2）求函數(shù)的最小值. 【知識點】絕對值不等式的解法；函數(shù)單調性的性質． 【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：f（x）= （1）①由，解得x＜﹣7； ②，解得＜x≤4； ③，解得x＞4； 綜上可知不等式的解集為{x|x＜﹣7或x＞}． （2）如圖可知f（x）min=﹣． 【思路點撥】根據(jù)絕對值的代數(shù)意義，去掉函數(shù)f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|中的絕對值符號，求解不等式f（x）＞2，畫出函數(shù)函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)圖象求得函數(shù)f（x）的最小值． 【理甘肅蘭州一中高二期末xx】17. （本小題滿分8分）設函數(shù) （Ⅰ）若，解不等式； （Ⅱ）若函數(shù)有最小值，求的取值范圍. 【知識點】絕對值不等式的解法；函數(shù)的最小值. 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析 ：解：（Ⅰ）當時， 當時，可化為 ，解得 ； 當時，可化為 ，解得 . 綜上可得，原不等式的解集為 …………………………4分 （Ⅱ） ………………6分 函數(shù)有最小值的充要條件為即 ………………8分 【思路點撥】（Ⅰ）當時，可得到的解析式，然后利用絕對值的意義去絕對值，再轉化為不等式組，解之即可；（Ⅱ）把函數(shù)去絕對值，利用函數(shù)有最小值的充要條件解出的取值范圍. 【理甘肅蘭州一中高二期末xx】5. 若存在實數(shù)使成立，則實數(shù)的取值范圍是（　?。? A. B. C. D. 【知識點】絕對值不等式的解法． 【答案解析】D解析 ：解：存在實數(shù)使成立，即不等式有解，∴只需即可． ∵，當且僅當時，取“=”號，∴，得．故選：D． 【思路點撥】要使不等式有解，只需，先用表示的最小值，再解關于的絕對值不等式即可． N5 選修4-7 優(yōu)選法與試驗設計 【理廣東惠州一中高三一調xx】11．用數(shù)字1,2,3,4可以排成沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)，共有____________個. 【知識點】有限制條件的排列問題；優(yōu)限法. 【答案解析】12解析 ：解：由題意，沒有重復數(shù)字的偶數(shù)，則末位是2或4， 當末位是時，前三位將，，三個數(shù)字任意排列，則有種排法，末位為時一樣有種，兩類共有：種，故共有沒有重復數(shù)字的偶數(shù)個. 【思路點撥】本題為有限制條件的排列問題，一定要先按排限制位即個位，個位有兩種情況， 再分類分別求個數(shù)，最后求和即可.