《微積分基本定理》選修2-2

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1、 ,1,.,211033dxxdxxxxf例如分對于有些定積卻比較麻煩的值計(jì)算但直接用定積分的定義非常簡單雖然被積函數(shù)現(xiàn)從前面的學(xué)習(xí)中可以發(fā).dxx121定義計(jì)算定義計(jì)算請你嘗試?yán)枚ǚe分請你嘗試?yán)枚ǚe分幾幾乎乎不不可可能能.?,?,.和定積分的聯(lián)系和定積分的聯(lián)系我們先來探究一下導(dǎo)數(shù)我們先來探究一下導(dǎo)數(shù)呢呢利用這種聯(lián)系求定積分利用這種聯(lián)系求定積分我們能否我們能否內(nèi)在的聯(lián)系呢內(nèi)在的聯(lián)系呢這兩個(gè)概念之間有沒有這兩個(gè)概念之間有沒有導(dǎo)數(shù)和定積分導(dǎo)數(shù)和定積分的概念的概念中兩個(gè)最基本和最重要中兩個(gè)最基本和最重要學(xué)學(xué)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了微積分我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了微積分另外另外方法求定積分呢方法求定積分呢加簡便、有效的

2、加簡便、有效的有沒有更有沒有更那么那么直接用定義計(jì)算直接用定義計(jì)算 ?Stvts,Sb, atstvt,.tss, 16.1嗎嗎表示表示、你能分別用你能分別用內(nèi)的位移為內(nèi)的位移為設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段的速度的速度時(shí)刻時(shí)刻它在任意它在任意由導(dǎo)數(shù)的概念可知由導(dǎo)數(shù)的概念可知運(yùn)動(dòng)規(guī)律是運(yùn)動(dòng)規(guī)律是物體的物體的一個(gè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的如圖如圖探究探究 0ta1t1itit1nt ntb BA1h1hihihnhnSiS1S tss StSo16.1圖圖 .Stv,來求位移由我們還可以利用定積分另一方面 .asbsS,atbttssS,即處的函數(shù)值之差處與在是函數(shù)物體的位移顯然

3、.nabttt,t ,t,t ,t,t ,t,t ,t:nb, abttttta1iin1ni1i2110ni1i10 每個(gè)小區(qū)間的長度均為個(gè)小區(qū)間等分成將區(qū)間用分點(diǎn) .tsnabttsttvhS,tv,tv,t ,t,t1i1i1iii1ii1i物體所作的位移作勻速運(yùn)動(dòng)體近似地以速度可以認(rèn)為物的變化很小上在很小時(shí)當(dāng)PDCots1its itsiSiht1itit tss 26.1圖圖 . ttstDPCtanhS,tsPD,PPD,Pttss,26.11iii1i1i于是的斜率等于切線導(dǎo)數(shù)的幾何意義知由點(diǎn)處的切線是點(diǎn)為對應(yīng)的上與設(shè)曲線圖從幾何意義上看n1iin1iihSS, 16.1可得物體

4、總位移結(jié)合圖. ttsttv1in1in1i1i,b, a,t,n,的分劃就越細(xì)區(qū)間越小即越大顯然1in1in1in1in1i1itvnablimS.SttsttV由定積分的定義有的近似程度就越好與1in1intsnablim .dttsdttvbaba .asbsdttsdttvSbaba有結(jié)合 .asbsb, atstv,tss,分就是物體的位移分就是物體的位移上的定積上的定積在區(qū)間在區(qū)間那么那么律是律是物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)如果作變速直線運(yùn)動(dòng)的如果作變速直線運(yùn)動(dòng)的上式表明上式表明 .aFbF|xFdxxf,|xFaFbF,bababa即即記記成成我我們們常常常常把把為為了了方方便便 .

5、xF,.xFxfxFdxxf,ba法法則則從從反反方方向向求求出出算算導(dǎo)導(dǎo)公公式式和和導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的四四則則運(yùn)運(yùn)運(yùn)運(yùn)用用基基本本初初等等函函數(shù)數(shù)的的求求我我們們可可以以通通常常的的函函數(shù)數(shù)是是找找到到滿滿足足的的關(guān)關(guān)鍵鍵計(jì)計(jì)算算定定積積分分微微積積分分基基本本定定理理表表明明 又叫做又叫做這個(gè)結(jié)論叫做這個(gè)結(jié)論叫做那么那么并且并且上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)是區(qū)間是區(qū)間如果如果一般地一般地),calculusoftheoremlfundamenta(.aFbFdxxf,xfxF,b, axf,ba微積微積分分基基本本定定理理LeibnizNewton(萊萊布布尼尼茲茲公公式式牛牛頓頓).Formula

6、( )basv t dt( )( )ss bs a( )( )( )bav t dts bs a另一方面，這段位移還可以通過位移函數(shù)s=s(t) 在a,b上的增量s(b) s(a) 來表達(dá)，即則有則有：一汽車沿直線作變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是s=s(t) 在t時(shí)刻時(shí)物體的速度為v(t) v(t)0,則汽車在時(shí)間間隔a, b內(nèi)經(jīng)過的位移可用速度表示為()()stvt( )( )( )( )babas t dSv t dtts bs a【微積分基本定理微積分基本定理】( )( )( )( )babas t dSv t dtts bs a一般地，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間上連續(xù)，并且F (x)=f(x)，那么(

7、)( )( )baf x dxF bF a這個(gè)結(jié)論叫這個(gè)結(jié)論叫微積分基本定理微積分基本定理又叫做又叫做牛頓牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式。( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a( ) |baF x( )( )FbFa為了方便起見，還常用 表示定理定理 （微積分基本定理）（微積分基本定理）記記:( )( )( )|baF bF aF x則:( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a注意注意:3. 牛頓萊布尼茨公式溝通了導(dǎo)數(shù)與積分之間的關(guān)系牛頓萊布尼茨公式溝通了導(dǎo)數(shù)與積分之間的關(guān)系基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1.2.()3.4.5.ln

8、6.7.8.nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=e ，則f(x)=e若f(x)=e ，則f(x)=e1 1若f(x)=log x，則f(x)=若f(x)=log x，則f(x)=xlnaxlna1 1若f(x

9、)=lnx，則f(x)=若f(x)=lnx，則f(x)=x x11(1) (1)1bbnnaax dxxnn (3) bbxxaae dxe 1(4) lnbbxxaaa dxaa 12) ln( ,0)bbaadxxa bx (5) sincosbbaaxdxx (6) cossinbbaaxdxx 12 ) ln() ( ,0)bbaadxxa bx 常用積分公式常用積分公式1(2) lnbbaadxxx 例例1 1 計(jì)算下列定積分計(jì)算下列定積分 dxx10dxx102dxx1031、2、3、nxn n + + 1 1b bb ba aa ax x公公 式式 2 2 : : d d x x

10、 = =| |n n + + 1 1公式：公式：解：解：1、xx221）（21021121|212210210）（xdxx解：解：2、2331xx）（31031131|3133103102）（ xdxx解：解：3、3441xx）（41041141|4144104103）（xdxx【例題講解例題講解】例例2 2 計(jì)算下列定積分計(jì)算下列定積分 b bb ba aa a1 1公公式式1 1: : d dx x = = l ln nx x| |x x公式：公式：解解1、21xx ）（2112|11211212）（）（）（xdxx解解2、1lnx x）（2ln1ln2ln|ln21211）（xdxx解解

11、3、dxxdxdxx21212121)21 (dxx212dxx2111、2、3、dxx21)21 (2121| )(ln2|xxdxxdx21211212ln211ln2ln212）（）（例例1 1 求求 解解.112dxx dxx 12112ln()|x . 2ln2ln1ln .cossin,sin.sin,sin:2000 xdxxdxxxdxx計(jì)算下列定積分例00|cossin,sincosxdxxxx因?yàn)榻?;20coscos5 . 0| 4/2sin5 . 02/ )2cos1 (sin.sin200 xxdxxxdxx0|4/2cos2/2sincos.sin000 xdxxdxxx A6 B4 C3 D2 答案D例例3例例4的最大值。求已知)(,)2()(1022afdxxaaxaf例例5