工程力學(xué)教學(xué)課件 第8章應(yīng)力狀態(tài)分析

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1、1 第 八 章 應(yīng) 力 狀 態(tài) 分 析 2 第 八 章 應(yīng) 力 狀 態(tài) 分 析 應(yīng) 力 狀 態(tài) 的 概 念 用 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 用 圖 解 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 主 應(yīng) 力 跡 線 三 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 廣 義 胡 克 定 律目錄 3 回 顧 與 比 較 內(nèi) 力 AF應(yīng) 力 PIT FAy FSM ZIMy 4 低 碳 鋼 塑 性 材 料 拉 伸 時(shí) 為 什 么 會(huì) 出 現(xiàn) 滑 移 線 ？鑄 鐵1、 問 題 的 提 出81 應(yīng) 力 狀 態(tài) 的 概 念 5脆 性 材 料 扭 轉(zhuǎn) 時(shí) 為 什 么 沿 45螺 旋 面 斷 開 ？ 低 碳 鋼 鑄 鐵81 應(yīng)

2、 力 狀 態(tài) 的 概 念 6 P Pmm nnP nnk ANm mP pk coscos/ A NANp 2coscos p 2sin2 cossinsin p 一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)81 應(yīng) 力 狀 態(tài) 的 概 念 7 81 應(yīng) 力 狀 態(tài) 的 概 念 8 81 應(yīng) 力 狀 態(tài) 的 概 念 9 81 應(yīng) 力 狀 態(tài) 的 概 念yx z x y z xy yx yz zy zx xz 101 2381 應(yīng) 力 狀 態(tài) 的 概 念 單 元 體 上 沒 有 切 應(yīng) 力 的 面 稱 為 主 平 面 ； 主 平 面 上 的 正 應(yīng) 力稱 為 主 應(yīng) 力 ， 分 別 用 表 示 ， 并 且該 單 元 體

3、稱 為 主 應(yīng) 力 單 元 體 。 321 , 321 111 2 3yx z x y z xy yx yz zy zx xz81 應(yīng) 力 狀 態(tài) 的 概 念 121 23 空 間 （ 三 向 ） 應(yīng) 力 狀 態(tài) ： 三 個(gè) 主 應(yīng) 力 均 不 為 零平 面 （ 二 向 ） 應(yīng) 力 狀 態(tài) ： 一 個(gè) 主 應(yīng) 力 為 零單 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) ： 兩 個(gè) 主 應(yīng) 力 為 零81 應(yīng) 力 狀 態(tài) 的 概 念 13 81 應(yīng) 力 狀 態(tài) 的 概 念 若三個(gè)主應(yīng)力中，有兩個(gè)等于零，一個(gè)不等于零，稱為，如桿件軸向拉伸或壓縮。P P 若三個(gè)主應(yīng)力中，有一個(gè)等于零，兩個(gè)不等于零，稱為，或，如梁的彎曲。A

4、BP xx x 14x yx y yx xya1.斜 截 面 上 的 應(yīng) 力 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài)y xx xxyyxyyxy yx 15x yx y yx xya1.斜 截 面 上 的 應(yīng) 力 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 0 nF 0 tF y a a xy dAx yx 16 0 nF 0sin)sin(cos)sin( cos)cos(sin)cos( dAdA dAdAdA yyx xxy 0 tF 0cos)sin(sin)sin( sin)cos(cos)cos( dAdA dAdAdA yyx xxy y a a xy dAx

5、 yx 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 17 利 用 三 角 函 數(shù) 公 式 )2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并 注 意 到 化 簡(jiǎn) 得xyyx 2sin2cos)(21)(21 xyyxyx 2cos2sin)(21 xyyx 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 18 2sin2cos)(21)(21 xyyxyx 2cos2sin)(21 xyyx 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài)y a axy dAx yx 19 2sin2cos)(21)(21 xyyxyx 2cos2sin)(21

6、xyyx 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài)y a axy dAx yx 20 x yx y yx xya 使 微 元 順 時(shí) 針 方 向轉(zhuǎn) 動(dòng) 為 正 ； 反 之 為 負(fù) 。 角 ： 由 x 軸 正 向 逆 時(shí) 針 轉(zhuǎn)到 斜 截 面 外 法 線 時(shí) 為 正 ； 反之 為 負(fù) 。 y a a xy ntx yx x 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 21 2sin2cos)(21)(21 xyyxyx 確 定 正 應(yīng) 力 極 值 2cos22sin)( xyyxdd 設(shè) 0 時(shí) ， 上 式 值 為 零 ， 即 02cos22sin)( 00 xyyx3. 正

7、應(yīng) 力 極 值 和 方 向 02cos2sin22 )(2 00 xy0yx 即 0 時(shí) ， 切 應(yīng) 力 為 零 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 22 yx xy 22tan 0 由 上 式 可 以 確 定 出 兩 個(gè) 相 互 垂 直 的 平 面 ， 分 別為 最 大 正 應(yīng) 力 和 最 小 正 應(yīng) 力 所 在 平 面 。 所 以 ， 最 大 和 最 小 正 應(yīng) 力 分 別 為 ： 22max 4212 xyyxyx 22min 4212 xyyxyx 主 應(yīng) 力 按 代 數(shù) 值 排 序 ： 1 2 3 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 23 yx xy

8、22tan 0 22max 4212 xyyxyx 22min 4212 xyyxyx 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài)0 900max min 0 900max xy 24 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 1 xy yx1 2 tan2 24 minmax22 xyyx ）（)( minmax )90tan(2cot2tan2 001 2cos2sin)(21 xyyx 25 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài))90tan(2cot2tan2 001 45 01 n )/2()/2( minmaxyxn 26試 求 （ 1） 斜 面 上

9、的 應(yīng) 力 ； （ 2） 主 應(yīng) 力 、 主 平 面 ； （ 3） 繪 出 主 應(yīng) 力 單 元 體 。 例 題 1： 一 點(diǎn) 處 的 平 面 應(yīng) 力 狀 態(tài) 如 圖 所 示 。 y xxy。30MPa，60 x MPa,30 xy,MPa40y已 知 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) y xxy 27 解 ： （ 1） 斜 面 上 的 應(yīng) 力 2sin2cos22 xyyxyx )60sin(30)60cos(2406024060 MPa02.9 2cos2sin2 xyyx )60cos(30)60sin(24060 MPa3.58y xxy 8-2 解 析 法 分 析 二

10、 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 28 （ 2） 主 應(yīng) 力 、 主 平 面2 yx xyyx 22)2( max MPa3.68 2 yx xyyx 22)2( min MPa3.48 MPa3.48,0MPa,3.68 321 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài)y xxy 29 主 平 面 的 方 位 ：yx xytg 22 0 6.0406060 ,5.15 0 5.105905.150 y xxy代 入 表 達(dá) 式 可 知主 應(yīng) 力 方 向 ：1 5.150 主 應(yīng) 力 方 向 ：3 5.1050 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 30 （ 3） 主 應(yīng) 力 單

11、元 體 ： 5.15 13 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài)y xxy 31 n練習(xí)1求圖示單元體ab 斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。MPa80MPa4030解：已知,80MPax ,40MPax 60 ,0yMPa64.54 120sin40120cos2 0802 080 60 MPa64.54 120cos40120sin2 08060 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 32 練習(xí)2求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。MPa80MPa40解：已知,80MPax ,40MPax ,0y 57.564040)2 080(2 080

12、22minmax MPaMPa 57.96,0,57.16 321 MPa57.56)57.96(57.16(21max 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 33 MPa80MPa40 10804022 0 tg 225452 0 5.675.112 5.220 33 1 10=67.5 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 34 練習(xí)3求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。MPa50MPa30 MPa30解：已知,50MPax ,30MPax ,30MPay 5010)30()23050(23050 22minmax MPaMPa 40

13、,0,60 321 MPa50)40(60(21max 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 35 MPa50MPa30 MPa30 43)30(50 )30(22 0 tg 87.21687.362 0 43.10843.180 11 3 3 0=18.43 8-2 解 析 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 36 2cos2sin2 2sin2cos22 xyx xyxyx 由解析法知，任意斜截面的應(yīng)力為 將第一式移項(xiàng)后兩邊平方與第二式兩邊平方相加22 )2sin2cos2()2( xyxyx 22 )2cos2sin2( xyx 8-3 圖 解 法 分 析 二 向 應(yīng) 力

14、狀 態(tài)得： 2222 )2()2( xyxyx 37 取橫軸為斜截面的正應(yīng)力，縱軸為斜截面的剪應(yīng)力，則上式為一圓方程。xx xyy nty o 2/)( yx C r圓心坐標(biāo)為);0,2( yx 半徑為22)2( xyxr 8-3 圖 解 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 38 2sin2cos)(21)(21 xyyxyx 2cos2sin)(21 xyyx xyyxyx 2222 )2()2( 這 個(gè) 方 程 表 示 一 個(gè) 圓 ， 這 個(gè) 圓 稱 為 應(yīng) 力 圓 8-3 圖 解 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 39 xyyxyx 2222 )2()2( RC xyyxR 22)2(

15、 2 yx 1. 應(yīng) 力 圓 ： 8-3 圖 解 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 40 2.應(yīng) 力 圓 的 畫 法 D(x ,xy)D/(y ,yx) c x y2R xy yxR 22)2( y yx xyAD x 8-3 圖 解 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 41 點(diǎn) 面 對(duì) 應(yīng) 應(yīng) 力 圓 上 某 一 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 值 對(duì) 應(yīng) 著微 元 某 一 截 面 上 的 正 應(yīng) 力 和 切 應(yīng) 力3、 幾 種 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系 D(x ,xy)D/(y ,yx) c x y2 y yx xyxH ),( aa H 2 8-3 圖 解 法 分 析 二 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 42 8-4 梁

16、的 主 應(yīng) 力 及 主 應(yīng) 力 跡 線124512345mm 15 3 1111 3333 223 221 4212 4212 234 43 梁的各點(diǎn)皆處于平面應(yīng)力狀態(tài)，各點(diǎn)的主應(yīng)力為拉主應(yīng)力1和壓主應(yīng)力3。各點(diǎn)的拉主應(yīng)力和壓主應(yīng)力的走向形成兩組互相正交的曲線族，此兩組互相正交的曲線稱為。過一點(diǎn)沿兩組主應(yīng)力跡線的切線則表示該點(diǎn)兩個(gè)主應(yīng)力的方向。x1 1截面22截面33截面44截面ii截面nn截面ba c d主應(yīng)力跡線的畫法： 8-4 梁 的 主 應(yīng) 力 及 主 應(yīng) 力 跡 線 44 拉 力壓 力 13 13 圖示為懸臂梁的主應(yīng)力跡線實(shí)線表示拉主應(yīng)力跡線；虛線表示壓主應(yīng)力跡線。8-4 梁 的 主

17、 應(yīng) 力 及 主 應(yīng) 力 跡 線 45 q13 31 圖示混凝土梁自重下的主應(yīng)力跡線。 混凝土屬脆性材料，抗壓不抗拉。沿拉主應(yīng)力跡線方向鋪設(shè)鋼筋，可增強(qiáng)混凝土梁的抗拉強(qiáng)度。8-4 梁 的 主 應(yīng) 力 及 主 應(yīng) 力 跡 線 46 定 義 2 3 1三 個(gè) 主 應(yīng) 力 都 不 為 零 的 應(yīng) 力 狀 態(tài) 8-5 三 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 471 2 xyz 3 123 1、空間應(yīng)力狀態(tài) 8-5 三 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 48123 2、三向應(yīng)力圓123123123123 8-5 三 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 49123 maxmin2 31max 3、最大剪應(yīng)力123 最大剪應(yīng)力所在的截面與 2平行，與第

18、一、第三主平面成45角。 8-5 三 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 50 1. 基 本 變 形 時(shí) 的 胡 克 定 律xx E Exxy xy x1） 軸 向 拉 壓 胡 克 定 律橫 向 變 形2） 純 剪 切 胡 克 定 律 G 8-6 廣 義 胡 克 定 律 51 2、 三 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) 的 廣 義 胡 克 定 律 疊 加 法23 1 3211 1 E 1 2 31 E1 E2 E3 8-6 廣 義 胡 克 定 律 52 23 1 3211 1 E 1322 1 E 2133 1 E 8-6 廣 義 胡 克 定 律 53 )(1 zyxx E G xyxy 3、 廣 義 胡 克 定 律 的

19、一 般 形 式 )(1 xzyy E )(1 yxzz E Gyzyz Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xz 8-6 廣 義 胡 克 定 律 54 例2邊長(zhǎng)為a 的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為E 、泊桑比為 ，頂面受鉛直壓力P 作用，求鋼塊的應(yīng)力x 、y 、z 和應(yīng)變x 、y 、z 。P xyz xyz解：由已知可直接求得： ,2aPANy ,0z ,0 x 8-6 廣 義 胡 克 定 律 55 P xyz xyz, 2aPyx )0(10 yxE )0(1 xyy E )(01 yxz E ,)1(1 222 Ea PE yyy 2)1()( Ea PE

20、 yyz 8-6 廣 義 胡 克 定 律 56 例3已知E=10GPa、，求圖示梁nn 截面上 k 點(diǎn)沿30方向的線應(yīng)變 30。nnk1m 1m 2mA B 200 1507575kkNP 1230mkNM n .6 kNQn 6 MPahbhMyIM nkzn 1302060003412 23 bhQbbh hbhQbI SQ nnz zn 89)8/3()4/(12 3* 8-6 廣 義 胡 克 定 律 57 nnk1m 1m 2mA B 200 1507575kkNP 1230mkNMn .6 kNQn 6 MPahbhMyIM nkzn 1302060003412 23 MPabhQ

21、n 1125.03002008 6000989 8-6 廣 義 胡 克 定 律 58 nnk1m 1m 2mA B 200 1507575kkNP 1230MPaMPa xyx 1125.0,0,1 30-6030-60MPaxxx 847.0234260sin60cos2230 MPa xxx 153.02342 )120sin()120cos(2260 8-6 廣 義 胡 克 定 律 59 nnk1m 1m 2mA B 200 1507575kkNP 1230 30-6030-60,847.030 MPa MPa153.060 53603030 1016.81010 )153.0(2.08

22、47.0 )(1 E 8-6 廣 義 胡 克 定 律 60 例4薄壁筒內(nèi)壓容器(t/D1/20)，筒的平均直徑為D ，壁厚為t ，材料的E、 已知。已測(cè)得筒壁上 k 點(diǎn)沿45方向的線應(yīng)變 45，求筒內(nèi)壓強(qiáng)p。45 kp t D xx yy解：筒壁一點(diǎn)的軸向應(yīng)力：tpD x 4筒壁一點(diǎn)的環(huán)向應(yīng)力：tpDy 2 8-6 廣 義 胡 克 定 律 61 45 kp t D xx yy,4tpDx tpDy 2 45-4545-45tpDyx 8324545 tpDEE 831)(1 454545 DEtp )1(38 45 8-6 廣 義 胡 克 定 律 62 練習(xí)4受扭圓軸如圖所示，已知m 、 d 、 E、 ，求圓軸外表面沿ab 方向的應(yīng)變 ab 。A Bm m d a b45 316dmWTn 解： xyx ,0 8-6 廣 義 胡 克 定 律 63 A Bm m d a b45,16 3dmWTn xyx ,0 45-45 90sin45 x )90sin(45 x 34545 )1(161 )(1)(1 Ed mE EEab 8-6 廣 義 胡 克 定 律