2019-2020年高三數學一輪總復習 專題十三 排列、組合與二項式定理（含解析）.doc

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2019-2020年高三數學一輪總復習 專題十三 排列、組合與二項式定理（含解析） 抓住2個高考重點 重點1 排列與組合 1．兩個原理的應用 如果完成一件事情有類辦法，這類辦法彼此之間是相互獨立的，無論哪一類辦法中的哪一種方法都能完成這件事情，求完成這件事情的方法種數就用分類加法計數原理；如果完成一件事情要分成個步驟，各個步驟都是不可或缺的，依次完成所有的步驟才能完成這件事情，而完成每一個步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事情的方法種數就用分步乘法計數原理． 從思想方法的角度看，分類加法計數原理的運用是將問題進行“分類”思考，分步乘法計數原理是將問題進行“分步”思考，這兩種思想方法貫穿于解決這類應用問題的始終． （1）在處理具體的應用問題時，首先必須弄清楚是“分類”還是“分步”，其次要搞清楚“分類”和“分步’’的具體標準分別是什么．選擇合理、簡潔的標準處理問題，可以避免計數的重復或遺漏． （2）對于一些比較復雜的問題，既要運用分類加法計數原理，又要運用分步乘法計數原理時，我們可以恰當地畫出示意圖或列出表格，使問題的分析更直觀、清晰． 2．排列組合應用題 （1）排列問題常見的限制條件及對策 ①對于有特殊元素或特殊位置的排列，一般采用直接法，即先排特殊元素或特殊位置． ②相鄰排列問題，通常采用“捆綁”法，即可以把相鄰元素看作一個整體參與其他元素排列． ③對于元素不相鄰的排列，通常采用“插空”的方法. ④對于元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制進行排列，然后再根據規(guī)定順序的實情求結果． 求解有約束條件的排列問題，通常有正向思考和逆向思考兩種思路．正向思考時，通過分步、分類設法將問題分解；逆向思考時，用集合的觀點看，就是先從問題涉及的集合在全集中的補集入手，使問題簡化． （2）組合問題常見的問題及對策 ①在解組合應用題時，常會遇到“至少”、“最多”等詞，要仔細審題，理解其含義. ②有關幾何圖形的組合問題，一定要注意圖形自身對其構成元素的限制，解決這類問題常用間接法（或排除法）． ③分組、分配問題二者是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個數相同，是不可區(qū)分的，而后者即使兩組元素個數相同，但因元素不同，仍然是可區(qū)分的． （3）解排列、組合的應用題，要注意四點 ①仔細審題，判斷是組合問題還是排列問題．要按元素的性質分類，按事件發(fā)生的過程進行分步．． ②深入分析，嚴密周詳．注意分清是乘還是加，既不少也不多，辯證思維，多角度分析，全面考慮，積極運用邏輯推理能力，同時盡可能地避免出錯． ③對于附有條件的比較復雜的排列、組合應用題，要周密分析，設計出合理的方案，把復雜問題分解成若干簡單的基本問題后應用加法原理或乘法原理來解決. ④由于排列、組合問題的結果一般數目較大，不易直接驗證，因此在檢查結果時，應著重檢查所設計的解決問題的方案是否完備，有無重復或遺漏，也可采用多種不同的方案求解，看結果是否相同，在對排列、組合問題分類時，分類標準應統(tǒng)一，否則易出現遺漏或重復． [高考?？冀嵌萞 角度1 用數字2,3組成四位數，且數字2,3至少都出現一次，這樣的四位數共有______個.（用數字作答） 解析：本題主要考查分步乘法計數原理的應用．因為四位數的每個數位上都有兩種可能性，其中四個數字全是2或3的情況不合題意，所以符合題意的四位數有個 （間接法） 點評：如果用直接法，分類會很復雜。 角度2某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有（ B ） A. 36種 B. 42種 C. 48種 D. 54種 解析：分兩類考慮：一類為甲排在第一位共有種， 另一類甲排在第二位共有種，故編排方案共有種，故選B. 點評：本題主要考查排列組合基礎知識，考查分類與分步計數原理. 重點2 二項式定理 1.二項式定理的通項：在二項展開式中， 叫做二項式的通項，是展開式的第項 2.要正確區(qū)分二項式系數和展開式各項系數. [高考?？冀嵌萞 角度1 的展開式中各項系數的和為2，則該展開式中常數項為（ ） A. B. C. D. 解析：令得，故二項式即，二項式的通項為，故知該展開式中常數項為，故選D 角度2在的二項展開式中，的系數為（ ） A． 　　　B． 　　　C． 　　　　D． 解析：由二項式定理得，，令，則的系數為.故選C 突破3個高考難點 難點1 裝錯信封問題的求解 對于裝錯信封問題，在元素個數不多的情況下，可以具體地進行操作，以找出其中的方法數，這也是近年來高考考查計數問題的一個命題趨勢.在具體操作中可以在兩個計數原理的指導下，給所安排的元素確定具體位置，在逐步縮小位置個數的情況下解決問題． 典例 某中學高三年級共有12個班級，在即將進行的月考中，擬安排12位班主任老師監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個班級是自己的班主任老師監(jiān)考，則不同的監(jiān)考安排方案共有（ ） A．4 455 種 B．495 種 C．4 950 種 D．7 425種 解析：從12位老師中選出8位，他們各自監(jiān)考自己的班級，方法數是，剩下的4位老師都不監(jiān)考自己的班級，記4位老師分別為甲、乙、丙、丁，他們各自的班級分別為A、B、C、D，則甲只能在B、C、D中選一個，有3種方法，假設甲在B，此時若乙在A，則丙、丁只能互換班級，若乙在C、D之一，也各有1種方法．甲在C、D時也分別有3種方法，故這時的安排方法數是．根據分步乘法計數原理，監(jiān)考安排方案共有 種． 故選A 點評： 題中的4位班主任都不監(jiān)考自己的班級，也是問題“一個人寫了n封信和n個對應的信封，所有的信都不裝入對應信封”的特例，其方法數的計算公式為，題中的情況按照這個公式進行計算，得 難點2 突破涂色問題 涂色問題是由兩個基本原理和排列組合知識的綜合運用產生的一類問題，這類問題通常沒有固定的方法可循，只能按照題目的實際情況，結合兩個基本原理和排列組合的知識靈活處理．其難點是對相鄰區(qū)域顏色不同的處理，破解的方法是根據分步乘法計數原理逐塊涂色，同時考慮所用的顏色數目． 典例 如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色．現在有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有___________種（以數字作答） 解析：方法一：（以位置為主考慮） 第一步涂①，有4種方法，第二步涂②，有3種方法，第三步涂③，有2種方法， 第四步涂④時分兩類：第一類用余下的顏色，有1種方法，第五步涂⑤，有1種方法； 第二類與區(qū)域②同色，有1種方法，第五步涂⑤，有2種方法， 所以共有 種 方法二：（以顏色為主考慮）分兩類： （1）取4色：將②④或③⑤視為一個位置計四個位置，著色方法有種； （2）取3色：將② ④ ，③ ⑤ 看成兩個元素，著色方法有種． 所以共有著色方法種． 典例 2 如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有_________種（用數字作答）． 解析：（以顏色為主考慮） 若用2種顏色，1，3與2，4分別涂1種顏色，有 若用3種顏色，則還有兩個格子涂一種顏色，可以是1，3，1，4，共三類有 所以共有 種 難點3 解決兩個二項式相乘問題 求解兩個二項式乘積中一些特定項或特定項的系數既是高考中的一個熱點問題，也是一個難點問題，化解這個難點的方法是用好多項式的乘法規(guī)則弄清楚這些特定項的構成規(guī)律在加以解決。 典例1 展開式中的系數為____________ 解析：依題意，只須計算中的常數項與中的含項積的系數，中含項與中含項的積的系數，中含項與中的常數項的積的系數，然后相加即得. 因此， 典例2 展開式中的常數項為_____4246_______ 解析：第一個展開式中的指數依次是， 第二個展開式中的指數依次是 根據多項式乘法規(guī)則，常數項只能是第一個展開式中的指數是的項與第二個展開式中的指數是對應項的乘積，根據二項式定理中的通項公式，得所求常數項為 規(guī)避2個易失分點 易失分點1 實際問題意義不清，計算重復、遺漏 典例 有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從20個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法有________種. 易失分提示:由于對實際問題中“至少有1個一等品”意義理解不明，可能導致下面錯誤的解法： 按分步原理，第一步確保1個一等品，有種取法；第二步從余下的19個零件中任意取2個，有種不同的取法，故共有種取法．實際上這種解法是錯誤的，我們作如下分析： 第一步取出1個一等品，那么第二步就有3種可能：（1）取出的2個都是二等品，這時的取法有種；（2）取出1個一等品，1個二等品，因為取出2個一等品是分步完成的，這2個一等品的取法就有了先后順序，而實際上這2個一等品是沒有先后順序的，因此這時的取法就產生了重復，即這時的取法有種； （3）取出的2個都是一等品，這時我們取出的3個都是一等品了，實際的取法種數應是種． 解析：方法一 將“至少有1個是一等品的不同取法”分三類：“恰有1個一等品”，“恰有2個一等品”，“恰有3個一等品”，有分類計數原理得種 方法二：考慮其對立事件“3個都是二等品”，利用間接法可得符合條件的取法為 種 易失分點2 二項式系數與展開式各項系數相混淆 典例1 已知展開式中，各項系數的和與其各項的二項式系數的和的比值為64，則等于（ ） A． B． C． D． 易失分提示：誤將展開式各項系數與二項式系數概念分銷，從而導致解題錯誤. 解析：令，可得展開式各項系數和為，又二項式系數和為，所以，故選C