高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 第4講 幾何證明選講課件 理.ppt

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第 4 講,幾何證明選講,1．了解平行線截割定理，會(huì)證直角三角形射影定理． 2．會(huì)證圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理． 3．會(huì)證相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理． 4．了解平行投影的含義，通過(guò)圓柱與平面的位置關(guān)系了解平行投影；會(huì)證平面與圓柱面的截線是橢圓(特殊情形是圓)． 5．幾何證明選講考綱要求(5)～(8)略．,1．平行線分線段成比例定理,三條平行線截兩條直線，所得對(duì)應(yīng)線段成比例．,推論 1：平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的,延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．,推論 2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直 線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．,2．射影定理的結(jié)論 直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在斜邊上射影 與斜邊的乘積，斜邊上的高的平方等于兩條直角邊在斜邊上射,影的乘積．,BDDC,在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90，AD⊥BC 于點(diǎn) D， 則 AB2＝BDBC；AC2＝CDCB；AD2＝______________. 3．相似三角形的判定與性質(zhì) (1)相似三角形的判定定理： ①預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊 的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．,②判定定理 1：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似． ③判定定理 2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,兩三角形相似． ④判定定理 3：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似． ⑤判定定理 4：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和直角邊對(duì)應(yīng) 成比例，那么它們相似． (2)相似三角形的性質(zhì)定理： 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的 比都等于相似比；周長(zhǎng)的比等于相似比；面積的比等于相似比,的________．,平方,4．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定 (1)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．,(2)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角． (3)如果四邊形的對(duì)角互補(bǔ),那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.,5．直線與圓,一半,(1)圓周角定理、圓心角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等 于它所對(duì)的圓心角的____．圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)． (2)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角． (3)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線 段長(zhǎng)的積相等． (4)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是 這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．,10,圖 10-4-1,圖 10-4-2,2．如圖 10-4-2，DB，DC 是⊙O 的兩條切線，點(diǎn) A 是圓上,一點(diǎn)．已知∠D＝46，則∠BAC＝________.,67,3．(2014 年廣東肇慶二模)如圖 10-4-3，△ABC 的外角平分,線 AD 交外接圓于點(diǎn) D，BD＝4，則 CD＝________.,4,圖 10-4-4,,9 8,a,,考點(diǎn) 1,相似三角形,例 1：(1)(2014 年廣東)如圖 10-4-5，在平行四邊形 ABCD 中，點(diǎn) E 在 AB 上，且 EB＝2AE，AC 與 DE 交于點(diǎn) F，則,△CDF 的周長(zhǎng) △AEF 的周長(zhǎng),＝____________.,圖 10-4-5,答案：3,(2)如圖 10-4-6，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝4，CD ＝2，E，F(xiàn) 分別為 AD，BC 上的點(diǎn)，且 EF＝3，EF∥AB，則梯 形 ABFE 與梯形 EFCD 的面積比為_(kāi)_______． 圖 10-4-6,,答案：,7 5,【規(guī)律方法】解本題第(2)小題的關(guān)鍵在于延長(zhǎng) AD，BC， 交點(diǎn)為 P，從而將我們不太熟悉的梯形轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決， 反復(fù)運(yùn)用相似三角形的面積之比等于相似比的平方.證明三角 形相似的主要方法：①兩角相等；②兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角 相等；③三邊對(duì)應(yīng)成比例.,【互動(dòng)探究】 1．(2013 年陜西)如圖 10-4-7，AB 與 CD 相交于點(diǎn) E，過(guò) E 作 BC 的平行線與 AD 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) P.已知∠A＝∠C，PD,＝2DA＝2，則 PE＝________.,圖 10-4-7,考點(diǎn)2,與圓有關(guān)的角,例2：如圖 10-4-8，已知點(diǎn) C 在圓 O 直徑 BE 的延長(zhǎng)線上， CA 切圓 O 于 A 點(diǎn)，DC 是∠ACB 的平分線并交 AE 于點(diǎn) F、交 AB 于 D 點(diǎn)，求∠ADF 的大小．,圖 10-4-8,思維點(diǎn)撥：根據(jù)直徑上的圓周角是直角、弦切角定理以及,三角形內(nèi)角和定理等通過(guò)角的關(guān)系求解．,解：設(shè)∠EAC＝α，根據(jù)弦切角定理，∠ABE＝α. 根據(jù)三角形外角定理，∠AEC＝90＋α. 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠ACE＝90－2α. 由于CD是∠ACB的內(nèi)角平分線，所以∠FCE＝45－α. 再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠CFE＝180－(90＋α) －(45－α)＝45. 根據(jù)對(duì)頂角定理，∠AFD＝45. 由于∠DAF＝90，所以∠ADF＝45.,【規(guī)律方法】(1)等弦或等弧所對(duì)的圓周角相等，所對(duì)的圓心角相等，可進(jìn)行角的等量代換；同時(shí)也可借在同圓或等圓中，相等的圓周角(圓心角)所對(duì)的弧相等，可進(jìn)行弧(或弦)的等量代換． (2)本題的涉及很獨(dú)到，試題涉及成動(dòng)態(tài)的，即點(diǎn)C是可變的，在這個(gè)動(dòng)態(tài)中求解其中的一個(gè)不變量．解決這類(lèi)試題要善于抓住主要的變化關(guān)系，如本題中主要的變量就是∠AEC，抓住這個(gè)變量后，其余的角可以使用這個(gè)變量進(jìn)行表達(dá)，通過(guò)各個(gè)角的關(guān)系證明求解的目標(biāo)與這個(gè)變量沒(méi)有關(guān)系．,【互動(dòng)探究】 2．如圖 10-4-9，EB，EC 是⊙O 的兩條切線，B，C 是切 點(diǎn)，A，D 是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠E＝46，∠DCF＝32，則 ∠A的度數(shù)是______.,圖 10-4-9,答案：99,圖 D43,3．(2012 年廣東廣州二模)如圖10-4-10，⊙O 的直徑 AB＝ 6，點(diǎn) P 是 AB 延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作⊙O 的切線，切點(diǎn)為,C，連接 AC.若 PC＝3,，則∠CPA＝______.,30,圖 10-4-10 解析：PC2＝PBPA ?27＝PB(PB＋6)?PB2＋6PB－27＝0， 得PB＝3.連接OC，在Rt△OPC 中，OC＝3，OP＝6，則∠CPA ＝30.,考點(diǎn)3,與圓有關(guān)的比例線段,例3：(2014 年新課標(biāo)Ⅱ)如圖 10-4-11，P 是⊙O 外一點(diǎn)， PA 是切線，A 為切點(diǎn)，割線 PBC 與⊙O 相交于點(diǎn) B，C，PC＝ 2PA ，D 為 PC 的中點(diǎn)，AD 的延長(zhǎng)線交⊙O 于點(diǎn) E，證明： (1)BE＝EC； (2)ADDE＝2PB2. 圖 10-4-11,證明：(1)如圖10-4-12，連接AB，AC.由題設(shè)知PA ＝PD， 故∠PAD ＝∠PDA. 因?yàn)椤螾DA＝∠DAC＋∠DCA， ∠PAD ＝∠BAD＋∠PAB， ∠DCA＝∠PAB，,所以∠DAC＝∠BAD.,圖10-4-12,因此BE＝EC.,(2)由切割線定理，得PA2＝PBPC. 因?yàn)镻C＝2PA，所以PA＝2BP.所以PD＝2PB， 所以BD＝PB.所以BDDC＝PB2PB. 由相交弦定理，得ADDE＝BDDC. 所以ADDE＝2PB2.,【規(guī)律方法】相交弦定理為圓中證明等積式和有關(guān)計(jì)算提 供了有力的方法和工具，應(yīng)用時(shí)一方面要熟記定理的等積式的 結(jié)構(gòu)特征，另一方面在與定理相關(guān)的圖形不完整時(shí)，要用輔助 線補(bǔ)齊相應(yīng)部分.在實(shí)際應(yīng)用中，見(jiàn)到圓的兩條相交弦就要想到 相交弦定理；見(jiàn)到圓的兩條割線就要想到割線定理；見(jiàn)到圓的 切線和割線就要想到切割線定理.,【互動(dòng)探究】 4．(2012 年廣東)如圖 10-4-113，直線PB 與圓O 相切于點(diǎn) B，D 是弦 AC 上的點(diǎn)，∠PBA＝∠DBA.若 AD＝m，AC＝n，則 AB＝_______ . 圖 10-4-13,●易錯(cuò)、易混、易漏●,⊙審題不清造成漏解,例題：過(guò)不在⊙O 上的一點(diǎn) A 作直線交⊙O 于 B，C，且 ABAC＝64，OA＝10，則⊙O 的半徑等于________．,【失誤與防范】點(diǎn)A 不在⊙O 上，則點(diǎn)A 有可能在圓外， 也有可能在圓內(nèi)，對(duì)于沒(méi)有給出圖形的問(wèn)題要認(rèn)真審題，并想 清楚各種可能，本題很容易思維定勢(shì)地認(rèn)為點(diǎn)A 在圓外而出錯(cuò).,