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1、第 二 講 證 明 不 等 式 的 基 本 方 法一 . 比 較 法 一 .自 主 預 習 (教 材 21頁 -23頁 ):(1)比 較 法 的 定 義(2)比 較 法 可 分 為 作 差 比 較 法 和 作 商 比 較法 兩 種 ,這 兩 種 方 法 的 理 論 依 據(jù) 是 什 么 ？ (1)作 差 比 較 法 :要 證 明 ab,只 要 證 明 _;要 證 明 a0a-b0,b0,要 證 明 ab,只 要證 明 _;要 證 明 a0,bb-b-a B.a-b-abC.a-bb-a D.ab-a-b解 析 :選 C.由 a+b0,b-b0,0b-a于 是 a-bb-a. 2.若 a R,則
2、a2+1與 2a的 大 小 關 系 是_.解 析 :因 為 a R,所 以 a2+1-2a=(a-1)2 0,即 a2+1 2a.答 案 :a2+1 2a 三 .比 較 法 證 明 不 等 式1.作 差 比 較 法 的 依 據(jù) ， 步 驟 ， 主 要 適 用 類 型是 什 么 ?（ 1） 依 據(jù) ： 若 a,b R,則 a-b0 ab;a-b=0 a=b;a-b0 a0,b0,則 1 ab; =1 a=b; 1 aa0,m0） 注 意 字 母 的 范 圍 .證 明ba mb ma bamb ma 例 2.已 知 ba0,m0， 證 明 ： bamb ma 證 明 ： bamb ma bmb m
3、babma )( )()( )( )( mbb abm 0)(,0,0m mbbab因 為 ,0 )( )( mbb abm所 以 ,0- bamb ma即bamb ma 所 以 變 式 1.（ 1） 已 知 ab,求 證 : （ 2） 已 知 ad bc,求 證 : )(33 baabba 22222 )()( bdacdcba （ 教 材 23頁 習 題 2.1（ 1,2題 ） ） 例 3.設 a0,b0,求 證 :aabb ab2ab .分 析 ： 由 指 數(shù) 函 數(shù) 的 性 質 可 知 a,b滿 足 什 么條 件 時 ab1?（ 若 0a1,則 b1;若a1,則 b0時 ,ab1） 【
4、 證 明 】 因 為 aabb0, 0, a b2ab所 以 （ ）a b b a a ba b 2 2 2a b2ab aa b ，bab所 以 當 a=b時 ,顯 然 有 （ ） a b2ab =1當 ab0時 , a a b 1, 0;b 2 當 ba0時 , a a b0 1, 0,b 2由 指 數(shù) 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 ,有 （ ） （ ） ，a b 02a a =1b b綜 上 可 知 ,對 任 意 a0,b0,都 有 aabb a b2ab . 作 商 比 較 法 證 明 不 等 式 方 法 技 巧 ：(1)作 商 :將 不 等 式 左 右 兩 邊 （ 均 為 正 數(shù) ） 的式
5、 子 進 行 作 商 .(2)變 形 :化 簡 商 式 到 最 簡 形 式 .(3)判 斷 :判 斷 商 與 1的 大 小 關 系 ,也 就 是 判 斷商 大 于 1或 小 于 1或 等 于 1.(4)得 出 結 論 . 證 明 :由 abc0,得 ab+cbc+aca+b0,a2ab2bc2c0.所 證 不 等 式 左 邊 除 以 右 邊 ,得 =aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b= 2a 2b 2c a a b b c cb c c a a b b c c a a ba b c a a b b c ca b c a a b b c c a b a c b ca a b( )
6、( ) ( ) .b c c 變 式 2.已 知 abc0” ,求 證 :a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.分 析 ： 兩 邊 均 為 正 值 ,可 用 作 商 比 較 法 因 為 ab0,所 以 1,a-b0,所 以 1.同 理 1, 1.所 以 1,所 以 a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.ab a ba( )b b cb( )c a ca( )c 2a 2b 2cb c c a a ba b ca b c 五 .本 節(jié) 小 結 ：1.作 差 比 較 法 的 依 據(jù) ， 步 驟 ， 主 要 適 用 類 型 .2.作 商 比 較 法 的 依 據(jù) ， 步 驟 ， 主 要 適 用 類 型 .3.兩 種 比 較 法 的 難 點 是 變 形 .六 .作 業(yè) ：教 材 23頁 習 題 2.1（ 3,4題 ）
一比較法 (2)
