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1、 電子工程學(xué)院練：練：把 在下列環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)1）2）第十一講第十一講 孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn) 可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)函數(shù)零級點(diǎn)的關(guān)系函數(shù)零級點(diǎn)的關(guān)系函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的形態(tài)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的形態(tài)F函數(shù)不解析的點(diǎn)為函數(shù)不解析的點(diǎn)為奇點(diǎn)奇點(diǎn).如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析,但在z0的某一個(gè)去心鄰域0|z-z0|d內(nèi)處處解析,則z0稱為f(z)的孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn).孤立奇點(diǎn)及其分類將函數(shù)f(z)在它的孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).根據(jù)展開式的不同情況對孤立奇點(diǎn)作分類.可去可去奇點(diǎn)m級級極極點(diǎn)本性本性奇點(diǎn)1.可去奇點(diǎn) 如果在洛朗級數(shù)中不含不含z-z0的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng),則孤立奇點(diǎn)z
2、0稱為f(z)的可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn).這時(shí),f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)實(shí)際上就是一個(gè)普通的冪級數(shù):c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.因此,這個(gè)冪級數(shù)的和函數(shù)F(z)是在z0解析的函數(shù),且當(dāng)zz0時(shí),F(z)=f(z);當(dāng)z=z0時(shí),F(z0)=c0.由于所以不論f(z)原來在z0是否有定義,如果令f(z0)=c0,則在圓域|z-z0|d內(nèi)就有 f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,從而函數(shù)f(z)在z0就成為解析的了.由于這個(gè)原因,所以z0稱為可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn).2.極點(diǎn) 如果在洛朗級數(shù)中只有有限多個(gè)有限多個(gè)z-z0的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng),且其中關(guān)于(z-
3、z0)-1的最高冪為(z-z0)-m,即f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+.(m1,c-m0),則孤立奇點(diǎn)z0稱為函數(shù)f(z)的m級極點(diǎn)級極點(diǎn).上式也可寫成其中 g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+.在|z-z0|d內(nèi)是解析的函數(shù),且g(z0)0.反過來,當(dāng)任何一個(gè)函數(shù)f(z)能表示為(5.1.1)的形式,且g(z0)0時(shí),則z0是f(z)的m級極點(diǎn).如果z0為f(z)的極點(diǎn),由(5.1.1)式,就有3.本性奇點(diǎn) 如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多個(gè)無窮多個(gè)z-z0的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng),則孤立奇點(diǎn)
4、z0稱為f(z)的本性奇點(diǎn).中含有無窮多個(gè)z的負(fù)冪項(xiàng).在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi),函數(shù)f(z)有以下的性質(zhì)(證明從略):如果z0為函數(shù)f(z)的本性奇點(diǎn),則對任意給定的復(fù)數(shù)A,總可以找到一個(gè)趨向于z0的數(shù)列,當(dāng)z沿這個(gè)數(shù)列趨向于z0時(shí),f(z)的值趨向于A.例如,給定復(fù)數(shù)A=i,我們把它寫成不含z-z0的負(fù)冪項(xiàng)可去奇點(diǎn)m級極點(diǎn)本性奇點(diǎn)有限多個(gè)z-z0的負(fù)冪項(xiàng)無窮多個(gè)z-z0的負(fù)冪項(xiàng)我們可以利用上述極限的不同情形上述極限的不同情形來判別孤立奇點(diǎn)的類型.練：有兩個(gè)一級極點(diǎn)+1,-1 有一個(gè)級三極點(diǎn)0 4.函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系 不恒等于零的解析函數(shù)f(z)如果能表示成f(z)=(z-z0)mj(z),(5
5、.1.2)其中j(z)在z0解析且j(z0)0,m為某一正整數(shù),則z0稱為f(z)的m級零點(diǎn).例如當(dāng)f(z)=z(z-1)3時(shí),z=0與z=1是它的一級與三級零點(diǎn),根據(jù)這個(gè)定義,我們可以得到以下結(jié)論:如f(z)在z0解析,則z0是是f(z)的的m級零點(diǎn)的充要條級零點(diǎn)的充要條件件是f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0 (5.1.3)這是因?yàn)?如果f(z)在z0解析,就必能在z0的鄰域展開為泰勒級數(shù):f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cm(z-z0)m+.易證z0是f(z)的m級極點(diǎn)的充要條件是前m項(xiàng)系數(shù)c0=c1=.=cm-1=0,cm0,這等價(jià)于 f(n
6、)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0 (5.1.3)例如z=1是f(z)=z3-1的零點(diǎn),由于f(1)=3z2|z=1=30,從而知z=1是f(z)的一級零點(diǎn).由于(5.1.2)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的鄰域內(nèi)不為零.這是因?yàn)閖(z)在z0解析,必在z0連續(xù),所以給定所以f(z)=(z-z0)m j(z)在z0的去心鄰域內(nèi)不為零,即不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.由此,當(dāng)zz0時(shí),得而y(z)=1/j(z)在z0解析,并且y(z0)0,所以z0是f(z)的m級極點(diǎn).證畢這個(gè)定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)
7、較為簡單的方法.5.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài) 如果函數(shù)f(z)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)z=的去心鄰域R|z|內(nèi)解析,稱點(diǎn)為f(z)的孤立奇點(diǎn).規(guī)定：規(guī)定：如果t=0是是j j(t)的可去奇點(diǎn),m級極點(diǎn)或本性奇點(diǎn),則稱點(diǎn)z=是是f(z)的可去奇點(diǎn),m級極點(diǎn)或本性奇點(diǎn).由于f(z)在R|z|+內(nèi)解析,所以在此圓環(huán)域內(nèi)可以展開成洛朗級數(shù),根據(jù)(4.4.5)與(4.4.8),C為R|z|+內(nèi)繞原點(diǎn)任何一條簡單正向閉曲線如果在級數(shù)(5.1.6)中i)不含負(fù)冪項(xiàng),ii)含有有限多的負(fù)冪項(xiàng),且t-m為最高冪,iii)含有無窮多的負(fù)冪項(xiàng),則t=0是j(t)的i)可去奇點(diǎn),ii)m級極點(diǎn),iii)本性奇點(diǎn).ii)含有限多的正冪項(xiàng)
8、,且zm為最高冪;i)可去奇點(diǎn);z=是是f(z)的的i)不含正冪項(xiàng);iii)含有無窮多的正冪項(xiàng);ii)m級極點(diǎn);iii)本性奇點(diǎn).用 判定用 判定t=0是是j(z)的的f(z)在在z=的性態(tài)的性態(tài)判斷函數(shù)在判斷函數(shù)在 的極限的極限t=1/z判斷函數(shù)判斷函數(shù)f（1/t）在在t=0的性態(tài)的性態(tài)函數(shù)函數(shù)f（1/t）在在t=0的鄰域洛朗級數(shù)的鄰域洛朗級數(shù)展開式包含展開式包含t的負(fù)冪次項(xiàng)的情況的負(fù)冪次項(xiàng)的情況函數(shù)函數(shù)f（z）在在z=的鄰域洛朗級數(shù)展的鄰域洛朗級數(shù)展開式包含開式包含z的正冪次項(xiàng)的情況的正冪次項(xiàng)的情況例2 函數(shù)在擴(kuò)充平面內(nèi)有些什么類型的奇點(diǎn)?如果是極點(diǎn),指出它的極.解 易知,函數(shù)f(z)除使
9、分母為零的點(diǎn)z=0,1,2,外,在|z|+內(nèi)解析.由于(sinpz)=pcospz在z=0,1,2,處均不為零,因此這些點(diǎn)都是sinpz的一級零點(diǎn),從而是(sinpz)3的三級零點(diǎn).所以這些點(diǎn)中除去1,-1,2外都是f(z)的三級極點(diǎn).因z2-1=(z-1)(z+1)以1與-1為一級零點(diǎn),所以1與-1是f(z)的2級極點(diǎn).至于z=2,因?yàn)樗詚=2是f(z)的可去奇點(diǎn).關(guān)于z=,因?yàn)榈谖逭?作業(yè)：1：1），2），6），8）；2；3；5；6；8：1），2），3），6）；9：3）；11；12：1）；13：1），4），5），6）。Its The End！Thank You！Complex Function Theory Department of SEE
11第十一講 孤立奇點(diǎn)
