高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 第1講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法課件 理.ppt

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第五章,數(shù)列、推理與證明,第 1 講,數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法,1．了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、,通項(xiàng)公式)．,2．了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．,1．?dāng)?shù)列的定義,按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè) 數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．?dāng)?shù)列可以看作是定義域?yàn)?N*的非空子集 的函數(shù)，其圖象是一群孤立的點(diǎn)．,2．?dāng)?shù)列的分類,無(wú)限,,3. 數(shù)列的表示法 數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法． 4．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列{an}的第 n 項(xiàng) an 與序號(hào) n 之間的關(guān)系可以用一個(gè) 公式 an＝f(n)來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．,5．Sn 與 an 的關(guān)系,an＋1,an－1,B,B,D,4．如圖 5-1-1 所示的是用同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷 磚鋪設(shè)的若干圖案．若按此規(guī)律鋪設(shè)，則第 n 個(gè)圖案中需用黑,),D,色瓷磚的塊數(shù)為(用含 n 的代數(shù)式表示)( 圖 5-1-1 A．4n B．4n＋1 C．4n－3 D．4n＋8,考點(diǎn) 1,由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫數(shù)列的通項(xiàng)公式,例 1：分別寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，數(shù)列的前 4 項(xiàng) 已給出．,【規(guī)律方法】對(duì)于一個(gè)公式能否成為一個(gè)給出的前 n 項(xiàng)的,數(shù)列的通項(xiàng)公式，需逐項(xiàng)加以驗(yàn)證，缺一不可．,根據(jù)數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)求通項(xiàng)公式，我們常常取其形式上 較簡(jiǎn)便的一個(gè)即可．另外，求通項(xiàng)公式，一般可通過(guò)觀察數(shù)列 中各項(xiàng)的特點(diǎn)，進(jìn)行分析、概括，然后得出結(jié)論，必要時(shí)可加 以驗(yàn)證．,已知數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式，主要從以下幾個(gè)方面來(lái)考,慮：,①負(fù)號(hào)用(－1)n 與(－1)n＋1[或(－1)n－1]來(lái)調(diào)節(jié)；,②分?jǐn)?shù)形式的數(shù)列，分析分子、分母的特征，且充分借助,分子、分母的關(guān)系； ③相鄰項(xiàng)的變化特征； ④拆項(xiàng)后的特征；,⑤對(duì)于比較復(fù)雜的通項(xiàng)公式，要借助于等差數(shù)列，等比數(shù),列(后面專門學(xué)習(xí))和其他方法解決；,⑥此類問(wèn)題雖無(wú)固定模式，但也有規(guī)律可循，主要靠觀察 (觀察規(guī)律)、比較(比較已知的數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為等差 或等比數(shù)列)等方法．,【互動(dòng)探究】 1．已知數(shù)列{an}的前 4 項(xiàng)分別為 1,0,1,0，則下列各式可作,為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式的個(gè)數(shù)有(,),A．1 個(gè),B．2 個(gè),C．3 個(gè),D．4 個(gè),解析：由三角函數(shù)公式知，②和③實(shí)質(zhì)上是一樣的，不難 驗(yàn)證，它們是已知數(shù)列 1,0,1,0 的通項(xiàng)公式；對(duì)于④，易看出， 它不是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；對(duì)于⑤，將 n＝3 代入，a3＝3≠1， 故⑤不是{an}的通項(xiàng)公式；①顯然是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．綜上 所述，可作為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式有 3 個(gè)．故選 C.,答案：C,2．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)，,如圖 5-1-2.,圖 5-1-2,他們研究過(guò)圖 5-1-2(1)中的 1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠 表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖 5-1-2(2)中的 1,4,9,16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又,),是正方形數(shù)的是( A．289 C．1225,B．1024 D．1378,C,考點(diǎn)2,由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,例 2：已知數(shù)列{an}滿足 an＋1＝2an＋1，n∈N*. (1)若 a1＝－1，寫出此數(shù)列的前 4 項(xiàng)，并推測(cè)該數(shù)列的通 項(xiàng)公式； (2)若 a1＝1，寫出此數(shù)列的前 4 項(xiàng)，并推測(cè)該數(shù)列的通項(xiàng) 公式．,(2)方法一：a1＝1，a2＝21＋1＝3，a3＝23＋1＝7， a4＝27＋1＝15，,可推測(cè)該數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an＝2n－1.,方法二：由an＋1＝2an＋1?an＋1＋1＝2(an＋1)?an＋1＋1=(a1,＋1)2n－1?an＋1＝2n－1.,解：(1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1， 可推測(cè)該數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an＝－1.,【規(guī)律方法】數(shù)列的遞推公式是由遞推關(guān)系式(遞推)和首 項(xiàng)(基礎(chǔ))兩個(gè)因素所確定的，即使遞推關(guān)系完全一樣，而首項(xiàng) 不同就可得到兩個(gè)不同的數(shù)列；適當(dāng)配湊是本題進(jìn)行歸納的前 提，從整體把握是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要手段，加強(qiáng)類比是探索某些 規(guī)律的常用方法之一.,【互動(dòng)探究】,考點(diǎn)3,利用an 與 Sn 的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式,例3：已知數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，按照下列條件求數(shù)列 的通項(xiàng)公式． (1)若 Sn＝2n2－n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若 Sn＝n2＋n＋1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：(1)當(dāng) n＝1 時(shí)，a1＝S1＝1， 當(dāng) n≥2 時(shí)，an＝2n2－n－2(n－1)2＋(n－1)＝4n－3. 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) n＝1 時(shí)，a1＝1 也適合 an＝4n－3. ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是 an＝4n－3.,【規(guī)律方法】已知 an 求 Sn 的方法多種多樣，但已知 Sn 求 an 的方法卻是高度統(tǒng)一，化簡(jiǎn)關(guān)系式用 Sn 表示出 an 是關(guān)鍵． 當(dāng) n≥2 時(shí)，若由 an＝Sn－Sn－1 求出的 an 對(duì) n＝1 也成立， 則 an＝Sn－Sn－1，否則就分段表示．,【互動(dòng)探究】 4．設(shè)數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn＝2(an－1)，則 a3＝,(,A,) A．8 C．2,B．4 D．1,解析：由 S1＝2(a1－1)＝a1，得 a1＝2.由 S2＝2(a2－1)，得 a2＝4.由 S3＝2(a3－1)，得 a3＝8.,●思想與方法●,⊙用函數(shù)的思想探討數(shù)列的單調(diào)性,例題：已知單調(diào)遞增數(shù)列{an}，an＝n2－kn(n∈N*)，求實(shí)數(shù),k 的取值范圍．,解：∵an＝n2－kn(n∈N*)，,∴an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k. ∵數(shù)列{an}單調(diào)遞增，,∴an＋1－an0，即 2n＋1－k0 恒成立． ∴k2n＋1，即 k3.,,【規(guī)律方法】函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的單調(diào)性既有聯(lián)系又有 區(qū)別，若數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)單調(diào)，則數(shù)列一定單調(diào)；反之，若 數(shù)列單調(diào)，則其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)不一定單調(diào)．因?yàn)閿?shù)列是定義域 為正整數(shù)集的特殊函數(shù)，所以數(shù)列的單調(diào)性一般要通過(guò)比較an+1,與an 的大小來(lái)判斷．若an＋1an，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若an＋1,an，則數(shù)列為遞減數(shù)列．解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是,an 是關(guān)于n,的二次函數(shù)，其定義域?yàn)檎麛?shù)集，若數(shù)列{an}遞增，則必有,k 2,≤1，故k≤2.,