機器人技術 二、齊次坐標變換

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1、齊 次 坐 標 變 換主 講 ： 吳 海 彬福州大學機械工程及自動化學院第二講 主 要 內 容引言點的向量表示單位向量點和向量的齊次表示坐標系的位姿剛體的位姿平移變換旋轉變換一般變換 相對參考坐標系的變換相對自身坐標系的變換 引 言 (Introduction) 機 器 人 運 動 學 解 決 的 基 本 問 題 ： 正 向 運 動 學 逆 向 運 動 學 機 器 人 機 構 一 個 自 由 度 情 況 多 個 自 由 度 情 況 誤 差 的 反 饋 點 、 向 量 和 坐 標 系 的 傳 統(tǒng) 表 示坐標軸的定義kcjbiaP zyx zyxcbaP或kcjbiaP zyx zyxcbaP或

2、Pzaon Paon PaonT zzz yyyy xxxx非方陣相乘結果的維數(shù)發(fā)生變化 點 、 向 量 和 坐 標 系 的 齊 次 表 示 在 三 維 向 量 中 加 入 一 比 例 因 子 w； 其 物 理 意 義 是 ， 隨 著 W的 改 變 ， 向 量 的 大 小 會 發(fā) 生 變 化 ， 而 方 向 不 變 ； W大 于 1， 向 量 的 分 量 變 大 ； W小 于 1， 向 量 的 分 量 變 小 ； 若 W 1， 各 分 量 大 小 不 變 ； 若 W 0， 則 表 示 一 個 無 窮 小 的 向 量 ， 其 方 向 不 變 。 第二章 機器人運動學 zyxcbaP wzyxP

3、wxax wyby wzcz 其中齊次坐標與傳統(tǒng)坐標的關系 點 、 向 量 和 坐 標 系 的 齊 次 表 示第二章 機器人運動學 因此，習慣上用W1表示向量的長度，用W0表示向量的方向，而且方向向量一般表示成單位向量的形式。形式如下： 1 zyxcbaP 0 222 222 222 zyx z zyx y zyx x cba c cba b cba aP例：有一向量P（3，5，2），請按如下要求表示成矩陣形式：1、比例因子為2；2、表示為方向的單位向量。 點 、 向 量 和 坐 標 系 的 齊 次 表 示原點重合情況坐標系的齊次表示是由坐標系的三個方向向量和原點位置齊次坐標組成： 1000

4、zzzz yyyy xxxx Paon Paon PaonF例：如圖所示為F坐標系位于參考坐標系中（3，5，7）的位置，它的n軸與x 軸平行，o軸相對于y軸的角度為45度，a軸相對于z的角度為45度。請寫出該坐標的齊次表達形式。 點 、 向 量 和 坐 標 系 的 齊 次 表 示第二章 機器人運動學剛體的表示 一個剛體在空間的表示可以這樣實現(xiàn)：通過在它上面固連一個坐標系，再將該固連的坐標系在空間表示出來。由于這個坐標系一直固連在該剛體上，所以該剛體相對于坐標系的位姿是已知的。因此，只要這個坐標系可以在空間表示出來，那么這個剛體相對于固定坐標系的位姿也就已知了。由此可知，剛體在參考坐標系的表示與

5、坐標系是完全一樣的。 1000 zzzz yyyy xxxxobject Paon Paon PaonF圖 約 束 變 量點 、 向 量 和 坐 標 系 的 齊 次 表 示第二章 機器人運動學由剛體（坐標系）在參考坐標系的齊次矩陣表達可知，該矩陣有12個變量，但描述剛體位姿只需要6個變量（自由度）就足夠了，因此，齊次矩陣中12個變量之間并不是相互獨立的，而是有約束的，約束條件為：1、三個方向向量相互垂直；2、每個單位向量的長度均為1。即：0on 0an 0oa1n 1o 1a 已 知 兩 個 向 量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向

6、 量 的 點 積 是 標 量 。 用 “ ”來 定 義 向 量 點 積 ， 即 a b = ax bx + ay by + az bz 向 量 的 叉 積 是 一 個 垂 直 于 由 叉 積 的 兩 個 向 量 構 成 的 平 面 的 向 量 。用 “ ”表 示 叉 積 ， 即 a b = ( a y bz az by ) i + ( az bx ax bz ) j + ( ax by ay bx ) k 可 用 行 列 式 表 示 為 i j k a b = ax ay az bx by bz 例 題 點 、 向 量 和 坐 標 系 的 齊 次 表 示第二章 機器人運動學對于下列坐標系，求解

7、所缺元素的值，并用矩陣來表示這個坐標系。 1000 20? 3?707.0 5?0?F kajaiaooo nnn kji zyxzyx zyx aon 注：三個點積約束條件可以用叉積代替，即：進一步有 齊 次 變 換 矩 陣 變 換 定 義 為 空 間 的 一 個 運 動 ； 當 空 間 的 一 個 坐 標 系 （ 向 量 、 剛 體 、 運 動 坐標 系 ） 相 對 于 固 定 的 參 考 坐 標 系 運 動 時 ， 這一 運 動 可 以 用 類 似 于 表 示 坐 標 系 的 方 式 來 表示 ； 變 換 有 如 下 幾 種 形 式 ： 純 平 移 ， 純 旋 轉 ， 平 移 和 旋 轉

8、 的 結 合 。第二章 機器人運動學 純 平 移 齊 次 變 換 矩 陣第二章 機器人運動學特點：運動過程中姿態(tài)不變，坐標方向單位向量保持同一方向不變。),(1000 100 010 001 zyxzyx dddTransdddT 變換矩陣可表示為 100010001000 100 010 001 zzzzz yyyyy xxxxxzzzz yyyy xxxxzyxnew dPaon dPaon dPaonPaon Paon PaondddF變換過程為：注：相對固定坐標系的平移，變換矩陣左 乘 ， 公 式 為 oldzyxnew FdddTransF ),( 例 純 旋 轉 (相 對 坐 標

9、繞 參 考 坐 標 X軸 ）齊 次 變 換 矩 陣第二章 機器人運動學nx PP sincos21 aoy PPllP cossin43 aoz PPllP aonzyx PPPPPP cossin0 sincos0 001例 必須從原點開始變換！ 純 旋 轉 齊 次 變 換 矩 陣第二章 機器人運動學noaxyz PxRotP ),( cossin0 sincos0 001),(xRot cos0sin 010 sin0cos),(yRot 100 0cossin 0sincos),( zRot也就相當于旋轉變換前在固定參考坐標系的初始位置。式中noaP PTP RRUU 圖、例注：相對固定

10、坐標系的旋轉，變換矩陣左 乘 ， 公 式 為繞x軸旋轉可簡寫成其中同理 純 旋 轉 例 題齊 次 變 換 矩 陣第二章 機器人運動學旋轉坐標系中有一點P（2，3，4），此坐標系繞參考坐標系x軸旋轉90度。求旋轉后該點相對于參考坐標系的坐標。 復 合 變 換 齊 次 變 換 矩 陣第二章 機器人運動學特點：既有平移，又有旋轉，而且可以多次。假設坐標系（n，o，a）相對于參考坐標系（x，y，z）依次進行如下變換：1、繞x軸旋轉 角；2、平移 ；3、再繞y軸旋轉 角。 321 lll noaxyz PxRotlllTransyRotP ),(),(),( 321 注：矩陣的順序不能變； 相對固定坐標

11、系的平移和旋轉，變換矩陣左 乘 。 例 復 合 變 換 例 題 齊 次 變 換 矩 陣相對坐標系的齊次矩陣固連在坐標系（n，o，a）上的點P（7，3，2）經歷如下變換，求出變換后該點相對于參考坐標系的坐標。1、繞z軸旋轉90度；2、接著繞y軸旋轉90度；3、接著再平移（4，-3，7）。 復 合 變 換 例 題 齊 次 變 換 矩 陣第二章 機器人運動學假設（n，o，a）坐標系上的點P（7，3，2）也經歷相同變換，但變換順序按如下進行，求出變換后該點相對于參考坐標系的坐標。1、繞z軸旋轉90度；2、接著平移（4，-3，7）；3、接著再繞y軸旋轉90度。 相 對 動 坐 標 系 的 變 換齊 次

12、變 換 矩 陣第二章 機器人運動學相對運動坐標系的變換與相對固定參考坐標系不同，這時需要 右 乘 變 換 矩 陣 而 不 是 左 乘。相對自身的運動即是相對動坐標。相對動坐標是指動坐標系本身相對自身的運動，而不是動坐標系中的點相對動坐標系的運動。如果在一個變換過程中，既有相對固定坐標系的變換，也有相對于動坐標系的變換，則應先寫出第一個變換因子，在根據變換的具體過程，依次左乘或右乘變換因子，最后乘以被變換的對象（點或坐標）。 相 對 動 坐 標 系 的 變 換 例 題齊 次 變 換 矩 陣第二章 機器人運動學假設與上例相同的點現(xiàn)在進行相同的變換，但所有變換都是相對當前運動坐標系的，具體變換如下，

13、求變換完成后該點相對于參考坐標系的坐標。1、繞a軸旋轉90度；2、然后沿n、o、a軸平移（4，-3，7）；3、接著繞o軸旋轉90度。 相 對 動 坐 標 系 的 變 換 例 題齊 次 變 換 矩 陣第二章 機器人運動學坐標系B繞x軸旋轉90度，然后沿當前坐標系a軸做了3英寸的平移，然后再繞z軸旋轉90度，最后沿當前坐標系o軸做5英寸的平移。1、寫出描述該運動的方程；2、求坐標系中的點P（1，5，4）相對于參考坐標系的最終位置。提示：先求 ，再求 BUT PTP BBUU 變 換 矩 陣 的 逆第二章 機器人運動學鉆孔點位置的描述： EPPUEHHRRUEU TTTTTT 式中：只有 是未知的，

14、其它都可以通過傳感器獲得，或本身就是已知的。因此，通過求逆陣就可以求得 。HRT HRT 求 矩 陣 逆 例 題變 換 矩 陣 的 逆第二章 機器人運動學在一個具有六自由度的機器人的第五個連桿上裝有照相機，照相機觀察物體并測定它相對于照相機坐標系的位置，然后根據以下數(shù)據來確定末端執(zhí)行器要到達物體所必須完成的運動。 1000 5001 0010 31005 camT 1000 4100 0001 00105 HT 1000 4010 2001 2100objcamT 1000 3100 0010 0001EHT objcamcamRobjEEHHR TTTTTTT 5555 objET提示：根據

15、求 ，這可以用于測距 變 換 矩 陣 的 逆求 逆 陣 的 步 驟 ：第二章 機器人運動學1、計算矩陣的行列式；2、將矩陣轉置；3、將轉置矩陣的每個元素用它的子行列式（伴隨矩陣）代替；4、用轉換后的矩陣除以行列式AAA *1 即 cossin0 sincos0 001),(xRot例：求的逆陣。滿足TAA 1的矩陣稱為酉矩陣。 齊 次 矩 陣 的 逆變 換 矩 陣 的 逆第二章 機器人運動學 對于4X4齊次變換矩陣，可以將矩陣分成兩部分求逆。其旋轉部分仍是酉矩陣，只需要簡單的轉置；矩陣的位置部分是向量P分別與n、o、a向量點積的取反。 10001 aPaaa oPooo nPnnnT zyx

16、zyx zyx 1000 zzzz yyyy xxxx Paon Paon PaonT即的逆陣為 1000 5010 25.00866.0 3866.005.0T例：求的逆陣。 圖 2.12所 示 為 點 A繞 任 意 過 原 點 的 單 位 矢 量 此 旋 轉 角 的 情況 。 kx， ky， kz分 別 為 此 矢 量 在 固 定 參 考 系 坐 標 軸 X、 Y、Z上 的 三 個 分 量 ， 可 以 證 得 ， 繞 任 意 過 原 點 的 單 位 矢 量 k轉 角 的 旋 轉 齊 次 變換 公 式 為 式 (2-18)稱 為 一 般 旋 轉 齊 次 變 換 通 式 ， 它 概 括了 繞

17、X軸 、 Y軸 、 Z軸 進 行 旋 轉 齊 次 變 換 的 各 種特 殊 情 況 ， 例 如 ： 當 kx=1， 即 ky=kz=0時 ， 則 由 式 (2-18)可 得 到式 (2-16)； 當 ky=1， 即 kx=kz=0時 ， 則 由 式 (2-18)可 得 到式 (2-17)； 當 kz=1， 即 kx=ky=0時 ， 則 由 式 (2-18)可 得 到式 (2-15)。 反 之 ， 若 給 出 某 個 旋 轉 齊 次 矩 陣則可根據式 (2-18)求出其等效矢量k及等效轉角 式中：當取0到180。之間的值時，式中的符號取+號；當轉角時很小時，公式很難確定轉軸；當接近0?；?80。

18、時，轉軸完全不確定。 與 平 移 變 換 一 樣 ， 旋 轉 變 換 算 子 公 式 (2-15)、 (2-16)、 (2-17)以 及 一 般 旋 轉 變 換 算 子 公 式 (2-18)， 不僅 僅 適 用 于 點 的 旋 轉 變 換 ,而 且 也 適 用 于 矢 量 、 坐 標 系、 物 體 等 旋 轉 變 換 計 算 。 若 相 對 固 定 坐 標 系 進 行 變 換 ,則 算 子 左 乘 ； 若 相 對 動 坐 標 系 進 行 變 換 ， 則 算 子 右 乘。 例 2-5 已 知 坐 標 系 中 點 U的 位 置 矢 量 u=7 3 2 1T 將 此 點 繞 Z軸 旋 轉 90， 再 繞 Y軸 旋 轉 90， 如 圖 2-13所 示， 求 旋 轉 變 換 后 所 得 的 點 W。 2-6 如 圖 2-14所 示 單 臂 操 作 手 ， 手 腕 也 具 有 一個 自 由 度 。 已 知 手 部 起 始 位 姿 矩 陣 為若手臂繞Z0軸旋轉+90，則手部到達G2若手臂不動，僅手部繞手腕Zl軸旋轉+90,則手部到達G 3。寫出手部坐標系G2及G3的矩陣表達式。