《離散數(shù)學(xué)》第9—11章 習(xí)題詳解!

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1、第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu) 第九章代數(shù)系統(tǒng) 內(nèi)容提要 1 二元運(yùn)算與一元運(yùn)算 二元運(yùn)算設(shè)S為集合，函數(shù)f：S S S稱(chēng)為S上的二元運(yùn)算這時(shí)也稱(chēng)S對(duì)f是封閉的 一元運(yùn)算設(shè)S為集合，函數(shù)f：S S稱(chēng)為S上的一元運(yùn)算這時(shí)也稱(chēng)S對(duì)f是封閉的 二元與一元運(yùn)算的算符 ，倡， ，等 二元與一元運(yùn)算的表示法表達(dá)式或者運(yùn)算表 2 二元運(yùn)算的性質(zhì) （）涉及一個(gè)二元運(yùn)算的算律 交換律：橙 x，y S，x y y x 結(jié)合律：橙 x，y，z S，（x y） z x （y z） 冪等律：橙 x S，x x x 消去律：橙 x，y S，x y x z且x癡 y z，y x z x且x癡 y z， （）涉及兩個(gè)不同二元運(yùn)算的算律 分

2、配律：橙 x，y，z S，x （y倡 z） （x y）倡（ x z）， （y倡 z） x （y x）倡（ z x） 吸收律：與倡可交換，橙 x，y S，x （x倡 y） x， x倡（ x y） x （）二元運(yùn)算的特異元素 單位元e：橙 x S，x e e x x 零元：橙 x S，x x 冪等元x：x x x 可逆元x及其逆元y（也記作x ）：x y y x e （）有關(guān)的重要結(jié)果 定理9 1 單位元如果存在，則是惟一的 定理9 2 零元如果存在，則是惟一的 定理9 3 如果S，則單位元不等于零元 定理9 4 對(duì)于可結(jié)合的二元運(yùn)算，可逆元素x只有惟一的逆元x 3 代數(shù)系統(tǒng) 代數(shù)系統(tǒng)非空集合S與

3、S上的k個(gè)一元或二元運(yùn)算f，f， fk組成的系統(tǒng)，記作S，f， f， fk 同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng)與同種的代數(shù)系統(tǒng) 子代數(shù)設(shè)V S，f，f， ， fk 是代數(shù)系統(tǒng)，B徹 S，如果B對(duì)f，f， ， fk都是封閉的，且 B和S含有相同的代數(shù)常數(shù)，則稱(chēng)B，f，f， ， fk 是V的子代數(shù) 平凡子代數(shù)與真子代數(shù) 積代數(shù)設(shè)V A， 和V B，倡 是同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng)，和倡為二元運(yùn)算，在集合 A B上如下定義二元運(yùn)算 ，橙 a，b ， a，b A B，有 a，b a，b a a，b倡 b 稱(chēng)V A B， 為V與V的積代數(shù)，記作V V這時(shí)也稱(chēng)V和V為V的因子代數(shù) 重要結(jié)果： 任何代數(shù)系統(tǒng)V都存在子代數(shù)，V是V的平凡

4、子代數(shù) V的子代數(shù)與V不僅是同類(lèi)型的，也是同種的 定理9 暢 5 積代數(shù)能夠保持因子代數(shù)的下述運(yùn)算性質(zhì)：交換律、結(jié)合律、冪等律、分配律、吸 收律、單位元、零元、可逆元素等 4 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu) 同態(tài)映射設(shè)V A， 和V B，倡 是同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng)，f：V V，且橙 x，y A有 f（x y） f（x）倡 f（y），則稱(chēng)f是V到V的同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱(chēng)同態(tài) 單同態(tài)、滿(mǎn)同態(tài)與同構(gòu) 基本要求 會(huì)判斷給定函數(shù)f是否為集合S上的二元或一元運(yùn)算 會(huì)判斷或者證明二元運(yùn)算的性質(zhì) 671第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu) 會(huì)求二元運(yùn)算的特異元素 掌握子代數(shù)的概念 掌握積代數(shù)的定義及其性質(zhì) 能夠判斷函數(shù)是否為同態(tài)并分析同態(tài)的性質(zhì) 習(xí)

5、題課 本章的習(xí)題主要有以下題型 題型一判斷運(yùn)算是否封閉（集合與運(yùn)算是否構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)），并對(duì)封閉的運(yùn)算確定其性質(zhì) 及特異元素 以下集合和運(yùn)算是否構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)？如果構(gòu)成，說(shuō)明該系統(tǒng)是否滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律？ 求出該運(yùn)算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元 （）有理數(shù)集Q，x倡 y x y （）自然數(shù)集N，x倡 y xy （）正整數(shù)集Z ，x倡 y （x，y），即求x與y的最大公約數(shù) （） A R，x倡 y x y （） A ， ， ， x倡 y y （） A Z，x倡 y x y xy， 為普通加法 對(duì)于下列集合和二元運(yùn)算，判斷在A上是否封閉，如果是封閉的，則指出它是否滿(mǎn)足交換 律、結(jié)合律，是否有零元

6、和單位元 （） A P （a，b），a倡 b a b （） SS，其中S為任意非空集合，運(yùn)算為函數(shù)合成 （） A是非空集合B上所有關(guān)系的矩陣集合，倡為關(guān)系矩陣乘法（相加采用邏輯加） （） A nZ nkk Z，n是正整數(shù)，倡為普通乘法 （） A P （a，b），橙 x，y A，x倡 y x磑 y，磑為集合的對(duì)稱(chēng)差 （）非空集合B上所有等價(jià)關(guān)系的集合，橙 x，y A，x倡 y x y 設(shè)A a，b，c，運(yùn)算倡 ， ，如表所示，說(shuō)明這些運(yùn)算是否滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律、冪等 律、消去律，求這些運(yùn)算的單位元、零元、冪等元和所有可逆元素的逆元 表9 1 倡 a b c a a a a b a b c c a

7、 c c a b c a a a a b b b b c c c c a b c a a b a b a a a c a a a 771第九章代數(shù)系統(tǒng) 解答與分析 （）構(gòu)成；交換，不結(jié)合，無(wú)單位元、零元、可逆元； （）構(gòu)成；交換，不結(jié)合，無(wú)單位元、零元、可逆元； （）構(gòu)成；交換，結(jié)合，無(wú)單位元和可逆元，零元； （）構(gòu)成；交換，不結(jié)合，無(wú)單位元、零元、可逆元； （）不構(gòu)成； （）構(gòu)成；交換、結(jié)合，單位元，零元，可逆元是和， ，（） 在討論運(yùn)算性質(zhì)時(shí)注意給定的是什么集合比如（）中的運(yùn)算不是定義在整數(shù)集Z上，而 是定義在有理數(shù)集Q上，那么除了零元以外，其他有理數(shù)x都是可逆元素，且x x x （）封閉

8、；交換、結(jié)合，單位元是碬，零元是a，b； （）封閉；可結(jié)合，僅當(dāng)S為單元集時(shí)可交換，單位元是恒等函數(shù)，S為單元集時(shí)單位元也是 零元； （）封閉；可結(jié)合，僅當(dāng)B為單元集時(shí)可交換；單位元為單位矩陣，零元為全矩陣； （）封閉；可交換、可結(jié)合；僅當(dāng)n 時(shí)有單位元，是零元； （）封閉；可交換、可結(jié)合；單位元是空集；沒(méi)有零元； （）當(dāng)B時(shí)B上的所有等價(jià)關(guān)系只有恒等關(guān)系和全域關(guān)系，運(yùn)算封閉；此時(shí)運(yùn)算具有 交換律和結(jié)合律，單位元是恒等關(guān)系，零元為全域關(guān)系當(dāng)B時(shí)兩個(gè)等價(jià)關(guān)系的并集不一 定具有傳遞性，運(yùn)算不封閉 注意：有的問(wèn)題中對(duì)所給定的集合或者參數(shù)沒(méi)有加以具體說(shuō)明如（）中的S集合，（）與 （）中的B集合，（）中

9、的正整數(shù)n等，當(dāng)這些集合或者參數(shù)取不同的值時(shí)，系統(tǒng)涉及交換律、單 位元、零元、可逆元等性質(zhì)有可能會(huì)發(fā)生改變，因此要針對(duì)不同取值進(jìn)行分析 倡運(yùn)算滿(mǎn)足交換、結(jié)合、冪等律，不滿(mǎn)足消去律單位元是b；零元是a；a，b，c都是冪等 元；可逆元只有b，b b 運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律，冪等律，不滿(mǎn)足交換律和消去律沒(méi)有單位元和零元，也沒(méi)有可逆元素， a，b，c都是冪等元 運(yùn)算不滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律、冪等律和消去律；沒(méi)有單位元、零元、可逆元素；只有a是冪 等元 通過(guò)運(yùn)算表可以判別運(yùn)算性質(zhì)，也可以求運(yùn)算的特異元素具體方法如下： 如果運(yùn)算表的元素關(guān)于主對(duì)角線成對(duì)稱(chēng)分布，那么運(yùn)算是可交換的，如例子的倡運(yùn)算 如果主對(duì)角線元素的排列

10、順序與表頭元素的排列順序（例子中的a，b，c）一樣，那么運(yùn)算是 冪等的，如例子中的倡和運(yùn)算 如果在運(yùn)算表中的某行或者某列（除了零元所在的行和列之外）有兩個(gè)相同的元素，那么運(yùn) 算不滿(mǎn)足消去律例如上述的倡運(yùn)算，由于a是零元，不考慮a所在的行與列，在c所在的行與 列中c都出現(xiàn)了次，這就意味著b倡 c c倡 c或者c倡 b c倡 c，但是顯然沒(méi)有b c因此，破壞 871第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu) 了消去律 如果一個(gè)元素所在的行和列的元素排列順序都與表頭元素排列順序（例子中的a，b，c）一 致，那么這個(gè)元素是單位元如倡運(yùn)算表中的b 如果一個(gè)元素的行和列的元素都是這個(gè)元素自身，那么這個(gè)元素是零元如倡運(yùn)算表中的 a，

11、其所在的行和列元素全是a，因此它是零元 如果元素x在主對(duì)角線中排列的位置與表頭中的位置一致，那么這個(gè)元素是冪等元如倡 運(yùn)算表中的a a在表頭中的位置是第一位，在主對(duì)角線也是排在第一位類(lèi)似的，b與c也滿(mǎn)足 要求 最后談?wù)剬?duì)結(jié)合律的判斷為判斷結(jié)合律是否成立應(yīng)該對(duì)A中所有元素x，y，z驗(yàn)證（xy）z x（yz）是否為真如果A中有n個(gè)元素，必須驗(yàn)證n個(gè)等式注意到以下事實(shí)：如果x，y，z中 存在單位元或者零元，那么等式一定成立因此驗(yàn)證只需對(duì)A中的非單位元和非零元進(jìn)行例 如對(duì)于倡運(yùn)算只需驗(yàn)證（c倡 c）倡 c c倡（ c倡 c）是否成立，顯然這是成立的，因此滿(mǎn)足結(jié)合律 對(duì)于運(yùn)算，既沒(méi)有單位元，也沒(méi)有零元，

12、這種簡(jiǎn)化驗(yàn)證的方法就不起作用了但是觀察到運(yùn)算具 有下述特征：每個(gè)元素都是左零元，即滿(mǎn)足x y x因此，無(wú)論是（x y） z還是x （y z）都等于 最左邊的元素x，從而證明了結(jié)合律對(duì)于運(yùn)算，上述方法都沒(méi)有用觀察運(yùn)算表只有a b b，其他都是a有可能在涉及a b的運(yùn)算中破壞結(jié)合律由于 （b b） b a b b a b a b （b b）， 因此運(yùn)算不滿(mǎn)足結(jié)合律 題型二確定代數(shù)系統(tǒng)的子集是否構(gòu)成子代數(shù) 設(shè)V Z， ，問(wèn)Z，V是否為V的子代數(shù)系統(tǒng)？為什么？如果是，說(shuō)明其中哪 些是平凡的，哪些是真子代數(shù) 設(shè)V A，磑 ，其中A P （，），磑為集合的對(duì)稱(chēng)差，試給出V的所有的子代數(shù)， 并說(shuō)明哪些是平凡

13、的子代數(shù)，哪些是真子代數(shù) 解答與分析 都構(gòu)成V的子代數(shù)，顯然和V關(guān)于運(yùn)算是封閉的，而對(duì)于任意i，j Z，i j （i j） Z，Z關(guān)于運(yùn)算也是封閉的和V是平凡的，和Z是真子代數(shù) 構(gòu)成V的子代數(shù) A 碬， 平凡的：B 碬， V 非平凡的： 元的：B 碬， B 碬， B 碬， B 碬， B 碬， B 碬， B 碬， 元的：B 碬， B 碬， B 碬， ， B 碬， B 碬， B 碬， 以上子代數(shù)中除了V之外，都是真子代數(shù) 971第九章代數(shù)系統(tǒng) 題型三確定積代數(shù)中的運(yùn)算 設(shè)V ， ，V ， ，其中 （x，y）表示x與y中較大的數(shù)， （x，y）表示x與y中較小的數(shù)，與可以看作二元運(yùn)算考慮積代數(shù)V V

14、（）設(shè)積代數(shù)中的二元運(yùn)算為運(yùn)算，給出它的運(yùn)算表； （）說(shuō)明積代數(shù)中的單位元和零元 解答與分析 （）運(yùn)算表如表所示 表9 2 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （）單位元是， ，零元是， 題型四判斷或證明函數(shù)是同態(tài)（同構(gòu)） 設(shè) C， ，V R， 是代數(shù)系統(tǒng)，為普通乘法下面哪個(gè)函數(shù)f是V到V 的同態(tài)？如果f是同態(tài)，指出f是否為單同態(tài)、滿(mǎn)同態(tài)和同構(gòu)，并求出V在f下的同態(tài)像；如果 不是，請(qǐng)說(shuō)明理由 （） f：C R，f （z） z，橙 z C；

15、（） f：C R，f （z） z，橙 z C； （） f：C R，f （z） ，橙 z C； （） f：C R，f （z） ，橙 z C 設(shè)V A， ，V B，倡 和V C， 都是含有一個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)， 證明 （） V碖 V； （）若V碖 V，則V碖 V； （）若V碖 V，V碖 V，則V碖 V 解答與分析 （）不是同態(tài)，因?yàn)閒（ ） ，f（） f（） ； （）是同態(tài)，不是單同態(tài)，也不是滿(mǎn)同態(tài)與同構(gòu)，同態(tài)像f（V） R ； （）是同態(tài)，不是單同態(tài)，也不是滿(mǎn)同態(tài)與同構(gòu)，同態(tài)像f（V） ； （）不是同態(tài)，因?yàn)閒（ ） ，f（） f（） 081第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu) （）恒等函數(shù)IA是從A到A的雙射函

16、數(shù)，且橙 x，x V有 IA（x x） x x IA（x） IA（x） 因此V碖 V （）若V碖 V，則存在同構(gòu)映射f ：V V，那么f ：V V為雙射下面證明f 為同態(tài) 橙 y，y V，存在x，x V使得f（x） y，f（x） y x f （y倡 y） 癡 f（x） f（f （y倡 y） y倡 y f（x）倡 f（x） f（x x） 癡 x x x f （y） f （y） 于是f （y倡 y） f （y） f （y），從而有V碖 V （）由已知存在同構(gòu)映射f ：V V，g V V，易見(jiàn)f g是V到V的雙射下面證明它也 是同態(tài)映射任取x，x V，則有 f g（x x） g（f（x x） g（f

17、（x）倡 f（x） g（f（x） g（f（x） f g（x） f g（x） 從而得到V碖 V 習(xí)題、解答或提示 習(xí)題九 列出以下運(yùn)算的運(yùn)算表： （） A ， ，橙 x A， x是x的倒數(shù)，即x x ； （） A ，橙 x，y A，有x y （x，y）， （x，y）是x和y之中較大的數(shù) 設(shè)A ，S AA， （）試列出S中的所有函數(shù)； （）給出S上合成運(yùn)算的運(yùn)算表 設(shè)A a，b，c，a，b，c R，能否確定a，b，c的值使得 （） A對(duì)普通乘法封閉； （） A對(duì)普通加法封閉 判斷下列集合對(duì)所給的二元運(yùn)算是否封閉： （）整數(shù)集合Z和普通的減法運(yùn)算； （）非零整數(shù)集合Z倡和普通的除法運(yùn)算； （）全體n

18、 n實(shí)矩陣集合Mn（R）和矩陣加法及乘法運(yùn)算，其中n； （）全體n n實(shí)可逆矩陣集合關(guān)于矩陣加法和乘法運(yùn)算，其中n； （）正實(shí)數(shù)集合R 和運(yùn)算，其中運(yùn)算定義為 181第九章代數(shù)系統(tǒng) 橙 a，b R ，a b ab a b （） n Z ，nZ nzz Z，nZ關(guān)于普通的加法和乘法運(yùn)算； （） A a，a， an，n 運(yùn)算定義如下： 橙 a，b A，a b b （） S x x Z 關(guān)于普通的加法和乘法運(yùn)算； （） S ，S關(guān)于普通的加法和乘法運(yùn)算； （） S xx n，n Z ，S關(guān)于普通的加法和乘法運(yùn)算 對(duì)于上題中封閉的二元運(yùn)算判斷是否適合交換律，結(jié)合律和分配律 對(duì)習(xí)題中封閉的二元運(yùn)算找出它

19、的單位元、零元和所有可逆元素的逆元 設(shè)倡為Z 上的二元運(yùn)算，橙 x，y Z ， x倡 y （x，y），即x和y之中較小的數(shù) （）求倡，倡； （） 倡在Z 上是否滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律和冪等律？ （）求倡運(yùn)算的單位元、零元及Z 中所有可逆元素的逆元 S Q Q，Q為有理數(shù)集，倡為S上的二元運(yùn)算，橙 a，b ， x，y S有 a，b 倡 x，y ax，ay b （） 倡運(yùn)算在S上是否可交換、可結(jié)合？是否為冪等的？ （） 倡運(yùn)算是否有單位元、零元？如果有，請(qǐng)指出，并求S中所有可逆元素的逆元 R為實(shí)數(shù)集，定義以下個(gè)函數(shù)f，f， f橙 x，y R有 f（ x，y ） x y， f（ x，y ） x y f（

20、 x，y ） x y， f（ x，y ） （x，y） f（ x，y ） （x，y）， f（ x，y ） x y （）指出哪些函數(shù)是R上的二元運(yùn)算； （）對(duì)所有R上的二元運(yùn)算說(shuō)明是否為可交換、可結(jié)合、冪等的； （）求所有R上二元運(yùn)算的單位元、零元以及每一個(gè)可逆元素的逆元 令S a，b，S上有個(gè)二元運(yùn)算：倡 ， ，和，分別由表確定 表9 3 倡 a b a a a b a a a b a a b b b a a b a b a b a a a b a a b b a b （）這個(gè)運(yùn)算中哪些運(yùn)算滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律、冪等律？ （）求每個(gè)運(yùn)算的單位元、零元及所有可逆元素的逆元 設(shè)S ，問(wèn)下面定義的運(yùn)算能

21、否與S構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)S，倡 ？如果能構(gòu)成 代數(shù)系統(tǒng)則說(shuō)明并運(yùn)算是否滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律，并求倡運(yùn)算的單位元和零元 281第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu) （） x倡 y （x，y），（x，y）是x與y的最大公約數(shù)； （） x倡 y （x，y），（x，y）是x與y的最小公倍數(shù)； （） x倡 y 大于等于x和y的最小整數(shù)； （） x倡 y 質(zhì)數(shù)p的個(gè)數(shù)，其中x p y 設(shè)S ff是a，b上的連續(xù)函數(shù)，a，b R，a b，問(wèn)S關(guān)于下面每個(gè)運(yùn)算是否構(gòu)成代 數(shù)系統(tǒng)？如果能構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)，說(shuō)明該運(yùn)算是否適合交換律和結(jié)合律，并求出單位元和零元 （）函數(shù)加法，即（f g）（x） f（x） g（x），橙 x a，b （）函數(shù)減法，即

22、（f g）（x） f（x） g（x），橙 x a，b （）函數(shù)乘法，即（f g）（x） f（x） g（x），橙 x a，b （）函數(shù)除法，即（ fg ）（x） f（x）g（x），橙 x a，b 設(shè)A a，b，試給出A上一個(gè)不可交換、也不可結(jié)合的二元運(yùn)算 下面各集合都是N的子集，它們能否構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)V N， 的子代數(shù)： （） xx N x的某次冪可以被整除； （） xx N x與互素； （） xx N x是的因子； （） xx N x是的倍數(shù) 設(shè)V Z， ， ，其中和分別代表普通加法和乘法，對(duì)下面給定的每個(gè)集合確 定它是否構(gòu)成V的子代數(shù)，為什么？ （） S nn Z； （） S n n Z； （

23、） S ， 設(shè)V ， ， ，其中x y表示取x和y之中較大的數(shù) V ，倡， ，其中x倡 y表示取x和y之中較小的數(shù)求出V和V的所有的子代數(shù)指出哪些是平凡的子 代數(shù)，哪些是真子代數(shù) V R倡 ， ，其中R倡為非零實(shí)數(shù)集合，為普通乘法，判斷下面的哪些函數(shù)是V的 自同態(tài)？是否為單自同態(tài)、滿(mǎn)自同態(tài)和自同構(gòu)？計(jì)算V的同態(tài)像 （） f（x） x；（） f（x） x；（） f（x） x； （） f（x） x ；（） f（x） x；（） f（x） x V Z， ， ， V Zn，磑，磗 ，其中Z為整數(shù)集， ，分別為普通加法與乘 法，Zn ， n ，磑與磗分別為模n加法和模n乘法令f ：Z Zn，f（x） （x

24、） n 證明f為V到V的滿(mǎn)同態(tài)映射 設(shè)V A， ，V B，倡 為同類(lèi)型代數(shù)系統(tǒng)，V V是積代數(shù)，定義函數(shù)f：A B A，f（ x，y ） x，證明f是V V到V的同態(tài)映射 381第九章代數(shù)系統(tǒng) 解答或提示 運(yùn)算表如表，表所示 表9 4 x x 表9 5 （） f ， ， ， ； f ， ， ， ； f ， ， ， ； f ， ， ， （）運(yùn)算表如表所示 （）可以，A ，； （）不可以 表9 6 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f （）封閉； （）不封閉； （）加法、乘法都封閉；（）加法不封閉，乘法封閉； （）不封閉；（）加法、乘法都封

25、閉； （）封閉； （）加法不封閉，乘法封閉（）加法不封 閉，乘法封閉； （）加法不封閉，乘法封閉 （）沒(méi)有交換律、結(jié)合律，對(duì)于一個(gè)運(yùn)算不能考慮分配律； （）加法滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律，乘法滿(mǎn)足結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律； （）乘法滿(mǎn)足結(jié)合律； （）加法和乘法都滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律； （）滿(mǎn)足結(jié)合律； （）乘法滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律； （）乘法滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律； （）乘法滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律 （）沒(méi)有單位元、零元，沒(méi)有可逆元素 481第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu) （） n階全矩陣是加法單位元，也是乘法的零元；n階單位矩陣是乘法單位元；加法沒(méi)有零 元任意n階矩陣M對(duì)于加法都是可逆元素，其逆元為

26、M；只有n階可逆矩陣（行列式不為） 對(duì)乘法是可逆元素，其逆元為M （）乘法單位元為n階單位矩陣，沒(méi)有零元每個(gè)矩陣M都有逆元M （）加法單位元，沒(méi)有零元，每個(gè)元素x都可逆，其逆元是它的相反數(shù) x當(dāng)n 時(shí)，乘 法有單位元，只有兩個(gè)可逆元素： ，（ ） 當(dāng)n 時(shí)乘法沒(méi)有單位元和可逆 元素 （）沒(méi)有單位元和零元，也沒(méi)有可逆元素 （）乘法單位元為，只有是可逆元素， （）乘法單位元為，只有是可逆元素， 乘法零元是 （）乘法沒(méi)有單位元、零元以及可逆元素 （） 倡 ，倡 ； （）滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律、冪等律； （）沒(méi)有單位元，是零元沒(méi)有可逆元素 （）不可交換反例： ， 倡 ， ， ， ， 倡 ， ， 可結(jié)合，因

27、為橙 a，b ， c，d ， g，f Q Q， （ a，b 倡 c，d ）倡 g，f ac，ad b 倡 g，f acg，acf ad b a，b 倡（ c，d 倡 g，f ） a，b 倡 cg，cf d acg，acf ad b 不是冪等的，因?yàn)椋?倡 ， ， （）容易驗(yàn)證， 為單位元，沒(méi)有零元當(dāng)a時(shí)， a，b 的逆元為a ， ba （）都是R上的二元運(yùn)算 （）除了f以外都是可交換的，除了f和f以外都是可結(jié)合的，f和f是冪等的 （） f的單位元是，沒(méi)有零元，每個(gè)實(shí)數(shù)x的逆元是 x f沒(méi)有單位元和零元，也沒(méi)有可 逆元素 f的單位元是，零元是，除了以外，實(shí)數(shù)x的逆元是x f，f和f沒(méi)有單位元和零

28、 元，也沒(méi)有可逆元素 （）交換律：倡 ， ， ；冪等律： ； 結(jié)合律：倡 ， ， ；由于（a a） b b b a，a （a b） a a b，運(yùn)算沒(méi)有結(jié)合律 （） 倡運(yùn)算無(wú)單位元，a是零元；運(yùn)算單位元是a，無(wú)零元，a a，b b；和運(yùn)算無(wú)單位 元和零元 （）能構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律，無(wú)單位元，零元是； （）不能構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)； （）能構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律，單位元是，零元是； （）不能構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng) 581第九章代數(shù)系統(tǒng) （）是代數(shù)系統(tǒng)滿(mǎn)足交換律與結(jié)合律單位元是常函數(shù)f，橙 x a，b，f （x） ，沒(méi) 有零元； （）是代數(shù)系統(tǒng)不滿(mǎn)足交換律，也不滿(mǎn)足結(jié)合律無(wú)單位元和零元； （）是

29、代數(shù)系統(tǒng)滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律單位元為常函數(shù)f，橙 x a，b，f（x） 零元為 （）中的f； （）不構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng) 如表所示，a b b a， （b a） b a b b， b （a b） b b a 表9 7 a b a b b b a a （）能； （）不能； （）不能； （）能 （）能，因?yàn)镾對(duì)加法和乘法都封閉； （）不能，因?yàn)閷?duì)加法不封閉； （）不能，因?yàn)閷?duì)加法不封閉 V的子代數(shù)為，；V的子代數(shù)為，其中平凡的子 代數(shù)為，；真子代數(shù)為， （）、（）和（）的函數(shù)f不是自同態(tài) （）是自同態(tài)，但不是單自同態(tài)，也不是滿(mǎn)自同態(tài)，不是自同構(gòu)，f（V） R ， ； （）是自同態(tài)，但不是單自同態(tài)，也不是滿(mǎn)自

30、同態(tài)，不是自同構(gòu)，f（V） R ， ； （）是自同態(tài)、單自同態(tài)、滿(mǎn)自同態(tài)、自同構(gòu) f（V） V 顯然f是滿(mǎn)射，且橙 x，y Z有 f（x y） （x y） n （x） n磑（ y） n f（x）磑 f（y） f（x y） （x y） n （x） n磗（ y） n f（x）磗 f（y） 設(shè)V V A B， ，橙 x，y ， x，y A B，有 f（ x，y x，y ） f（ x x，y倡 y ） x x f（ x，y ） f（ x，y ） 于是f是V V到V的同態(tài)映射 小測(cè)驗(yàn) 試題 填空題（每小題分，共分） 681第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu) （）設(shè)A ， ，則A關(guān)于普通加法、減法、乘法、除法中運(yùn)算是 封閉

31、的； （）設(shè)R倡為非零實(shí)數(shù)集，以下各式右邊的運(yùn)算為普通四則運(yùn)算， a b a b ，a倡 b ab ，a b ab，a b a b 則在R倡上不可結(jié)合的運(yùn)算是運(yùn)算； （）設(shè)Z ，磗為模乘法，即x磗 y （xy） 則Z，磗 的運(yùn)算表為 ； （）設(shè)Z為整數(shù)集，橙 a，b Z，a b a b ，橙 a Z，a的逆元a ； （）設(shè)代數(shù)系統(tǒng)V Z， ，其中Z為整數(shù)集合，Z kk Z， 為普通加法則V 的子代數(shù)是； （）設(shè)代數(shù)系統(tǒng)V A， ， A a b b a a，b Z ， 為矩陣加法則V中運(yùn)算的單位 元和矩陣a b b a的逆元分別是 簡(jiǎn)答題（每小題分，共分） （）判斷正整數(shù)集合Z 和下面的每個(gè)二元

32、運(yùn)算是否構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)如果是，則說(shuō)明這個(gè)運(yùn) 算是否適合交換律、結(jié)合律和冪等律，并求出單位元和零元 a b （a，b），a倡 b （a，b），a b ab，a b ab ba （）設(shè)A a，b，試給出A上所有的一元運(yùn)算，并找出一個(gè)既不可交換也不可結(jié)合的二元 運(yùn)算 （）設(shè)代數(shù)系統(tǒng)V，V，V中的運(yùn)算分別如表所示，說(shuō)明這些運(yùn)算是否滿(mǎn)足交換律、結(jié) 合律和冪等律，求出單位元、零元和所有可逆元素的逆元（如果存在的話） 表9 8 a b c a a a a b b b b c c c c 倡 a b c a a b c b b a c c c c c a b c a a b c b b b c c c c b

33、（）代數(shù)系統(tǒng)V P （a，b），磑 ，磑為集合的對(duì)稱(chēng)差運(yùn)算，求出V的所有子代數(shù)，并說(shuō) 明哪些是非平凡的真子代數(shù) 證明題（每小題分，共分） （）設(shè)V A， 是代數(shù)系統(tǒng)，V中適合結(jié)合律，存在單位元，且每個(gè)元素都有逆元，證明 橙 a，b，c A，a b a c癡 b c 781第九章代數(shù)系統(tǒng) （）設(shè)V Q倡 ， 和V Q， 是代數(shù)系統(tǒng)，其中Q是有理數(shù)集合，Q倡 Q 和分別代表普通乘法和加法證明不存在V到V的同構(gòu)映射 應(yīng)用題（分） 設(shè)是非空有窮字母表，是上的有限個(gè)字符構(gòu)成的序列序列中的字符個(gè)數(shù)稱(chēng)為串的 長(zhǎng)度，記作表示空串， 對(duì)任意的k N，令 k表示上的所有長(zhǎng)度為k的串的集 合，那么 倡 i i表示上

34、的所有串的集合在 倡定義連接運(yùn)算，橙 ， 倡 ， a a am， b b bn，那么 aa am b b bn回答下面的問(wèn)題： （）如果 n， 倡 等于什么？ （） 倡與連接運(yùn)算構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)，分析這個(gè)系統(tǒng)是否滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律、冪等律和消去 律，是否具有單位元和零元 （）令f： 倡 N，f（） ，證明f構(gòu)成 倡 ， 到N， 的滿(mǎn)同態(tài)映射 答案或解答 （）乘法和除法； （）和倡； （）運(yùn)算表如表所示 表9 9 磗 （） a； （） nZ nkk Z，n N； （） ， a bb a （ ） ，倡，運(yùn)算構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)和倡運(yùn)算滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律與冪等律倡運(yùn)算零元是 運(yùn)算的單位元是 （） 個(gè)一元運(yùn)算和所

35、要求的二元運(yùn)算的運(yùn)算表如表所示 表9 1 0 a a b a a a b b a b b a a b b b a b a b b b a a 881第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu) （b a） b a b b，b （a b） b b a，a b b a （）運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律、冪等律 倡運(yùn)算滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律，單位元為a，零元為c a a，b b 運(yùn)算滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律，單位元為a a a （）子代數(shù)為碬，碬， a，碬， b，碬， a，b，V除了碬和V以外都是非平凡 的真子代數(shù) （） 橙 a，b，c A，a b a c癡 a （a b） a （a c） 癡（ a a） b （a a） c癡 e b e c癡 b

36、c （）假設(shè)f是V到V的同構(gòu)，那么f（） ，于是有 f（ ） f（ ） f（ ）（ ） f（） 從而得f（ ） ，這與f的單射性矛盾 （） 倡 （）不滿(mǎn)足交換律和冪等律，滿(mǎn)足結(jié)合律和消去律，單位元是空串，沒(méi)有零元 （） 橙 ， 倡 ， aa am， bb bn f（ ） f（a a am bb bn） m n f（ ） f（ ） 因此f是同態(tài)下面證明f的滿(mǎn)射性由于非空，至少存在一個(gè)字符屬于，比如說(shuō)a對(duì)于任意 自然數(shù)k，令k個(gè)a構(gòu)成的串為x，那么f（x） k，因此 f N 981第九章代數(shù)系統(tǒng) 第十章群與環(huán) 內(nèi)容提要 1 半群與獨(dú)異點(diǎn) 半群設(shè)V S， 為代數(shù)系統(tǒng)，為二元運(yùn)算，如果是可結(jié)合的，則稱(chēng)

37、V為半群 獨(dú)異點(diǎn)設(shè)V S， 為半群，若e S是關(guān)于運(yùn)算的單位元，則稱(chēng)V是獨(dú)異點(diǎn)，記作V S， ，e 半群與獨(dú)異點(diǎn)的冪運(yùn)算 x e（只對(duì)獨(dú)異點(diǎn)成立）， x x， xn xnx， xmxn xm n， （xm）n xmn 子半群和子獨(dú)異點(diǎn)半群和獨(dú)異點(diǎn)的子代數(shù) 2 群的定義及實(shí)例 群設(shè)G ， 為代數(shù)系統(tǒng)，為二元運(yùn)算，如果運(yùn)算是可結(jié)合的，存在e G ，并且對(duì)于G中 的任何元素x都有x G ，則稱(chēng)G為群 群的實(shí)例整數(shù)加群Z， ，實(shí)數(shù)加群R， ，有理數(shù)加群Q， ，復(fù)數(shù)加群 C，模n整數(shù)加群Zn，磑 ， n階實(shí)矩陣的加群Mn（R）， ， 四元群G e，a，b，c， 平凡群e，有限群，無(wú)限群，交換群（群），循

38、環(huán)群a ，n元置換群 元素的冪a G ，n Z，則a的n次冪 an e， n an a， n （a ）m， n ，n m 元素的階設(shè)G是群，a G ，使得等式ak e成立的最小正整數(shù)k稱(chēng)為a的階，記作ak， 稱(chēng)a為k階元若不存在這樣的正整數(shù)k，則稱(chēng)a為無(wú)限階元 3 群的基本性質(zhì) （）定理10 1 群的冪運(yùn)算規(guī)則設(shè)G為群，則 橙 a G ，（a ） a 橙 a，b G ，（ab） b a 橙 a G ，anam an m，n，m Z 橙 a G ，（an）m anm，n，m Z 若G為交換群，則（ab）n anbn 推廣形式為（a a ar） a r a r a a （）定理10 2 G為群，則

39、G適合消去律，即橙 a，b，c G有ab ac癡 b c和ba ca癡 b c （）定理10 3 G為群，a G且ar設(shè)k是整數(shù)，則ak e騁 rk且有a a 4 子群 判定定理設(shè)G為群，H是G的非空子集， 判定定理一（定理）： H G 騁橙 a，b H有ab H且橙 a H有a H 判定定理二（定理）： H G 騁橙 a，b H有ab H 判定定理三（定理）： H是G的非空有窮子集，則H G 騁橙 a，b H有ab H 實(shí)例 元素a的生成子群a ak k Z 中心C aa G 橙 x G （ax xa） 重要結(jié)果 子群的交仍是子群，兩個(gè)子群的并一般不構(gòu)成子群 子群的結(jié)構(gòu)偏序集L（G ），徹

40、稱(chēng)為G的子群格，其中L（G ） HH是G的子群 5 群的分解 陪集設(shè)H G ，a G ，稱(chēng)Ha hah H是H在G中的右陪集，a為Ha的代表元素 陪集的性質(zhì)（定理定理）：設(shè)H是群G的子群 （） He H （） 橙 a G有a Ha （） a Hb騁 ab H騁 Ha Hb （）在G上定義關(guān)系R ：橙 a，b G ， a，b R 騁 ab H，則R是G上的等價(jià)關(guān)系，且aR Ha （） 橙 a G ，H Ha Lagrange定理（定理）設(shè)G是有限群，H是G的子群，則G H G H，其 中G H是H的陪集個(gè)數(shù)，稱(chēng)為H在G中的指數(shù) 重要推論 （）設(shè)G是n階群，則橙 a G ，a是n的因子，且有an

41、e （）階為素?cái)?shù)的群G一定是循環(huán)群 6 循環(huán)群 循環(huán)群G a ak k Z，其中a稱(chēng)為G的生成元 191第十章群與環(huán) n階循環(huán)群和無(wú)限循環(huán)群 重要結(jié)果 （）定理10 11 設(shè)G a 是循環(huán)群若G是無(wú)限循環(huán)群，則G只有兩個(gè)生成元，即a和 a 若G是n階循環(huán)群，則G含有矱（ n）個(gè)生成元對(duì)于任何小于n且與n互質(zhì)的自然數(shù)r，ar是 G的生成元 （）定理10 12 設(shè)G a 是循環(huán)群，則G的子群仍是循環(huán)群若G a 是無(wú)限循環(huán) 群，則G的子群除e以外都是無(wú)限循環(huán)群若G a 是n階循環(huán)群，則對(duì)n的每個(gè)正因子d， G恰好含有一個(gè)d階子群 7 置換群 n元置換設(shè)S ， n，S上的任何雙射函數(shù)： S S稱(chēng)為S上

42、的n元置換 三種表示法：置換符號(hào)表示、不相交的輪換表示、對(duì)換表示 奇置換與偶置換 n元置換群及其實(shí)例：n元對(duì)稱(chēng)群Sn，n元交錯(cuò)群An，n元置換群（Sn的子群） An Sn，An n！ ，Sn n！ 重要結(jié)果 Polya計(jì)數(shù)定理設(shè)N ， n是被著色物體的集合，G ， ， 是N上的置 換群用m種顏色對(duì)N中的元素進(jìn)行著色，則在G的作用下不同的著色方案數(shù)是 M G 鈔 g k mc（ k） 其中c（ k）是置換 k的輪換表示式中包含 輪換在內(nèi)的輪換個(gè)數(shù) 8 環(huán)的定義和性質(zhì) 環(huán)設(shè)R ， ， 是代數(shù)系統(tǒng)， 和是二元運(yùn)算如果滿(mǎn)足以下條件： （） R ， 構(gòu)成交換群， （） R ， 構(gòu)成半群， （） 運(yùn)算關(guān)于

43、運(yùn)算適合分配律 則稱(chēng)R ， ， 是一個(gè)環(huán) 環(huán)的實(shí)例整數(shù)環(huán)，有理數(shù)環(huán)，實(shí)數(shù)環(huán)，復(fù)數(shù)環(huán)，n階實(shí)矩陣環(huán)，模n的整數(shù)環(huán) 環(huán)的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)R ， ， 是環(huán)，則 （） 橙 a R ，a a （） 橙 a，b R ，（ a）b a（ b） ab （） 橙 a，b，c R ，a（b c） ab ac，（b c）a ba ca （） 橙 a，a， an，b，b， bm R （n，m） 鈔 n i ai 鈔 m j bj 鈔 n i 鈔 m j aibj 291第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu) 9 特殊的環(huán) 定義設(shè)R ， ， 是環(huán)， （）若環(huán)中乘法適合交換律，則稱(chēng)R是交換環(huán) （）若環(huán)中乘法存在單位元，則稱(chēng)R是含幺環(huán) （）若橙 a，

44、b R ，ab 癡 a b ，則稱(chēng)R是無(wú)零因子環(huán) （）若R既是交換環(huán)、含幺環(huán)，也是無(wú)零因子環(huán)，則稱(chēng)R是整環(huán) （）設(shè)R是整環(huán)，且R中至少含有兩個(gè)元素若橙 a R 倡 ，其中R 倡 R ，都有a R ， 則稱(chēng)R是域 整環(huán)和域的實(shí)例有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域，整數(shù)環(huán)是整環(huán)，不是域?qū)τ谀的整數(shù)環(huán) Zn，若n是素?cái)?shù)，則Zn是域 基本要求 判斷或者證明給定集合和運(yùn)算是否構(gòu)成半群、獨(dú)異點(diǎn)、群、環(huán)、域 會(huì)運(yùn)用群的基本性質(zhì)證明相關(guān)的命題 能夠證明G的子集構(gòu)成G的子群 熟悉陪集的定義和性質(zhì) 熟悉拉格朗日定理及其推論 會(huì)求循環(huán)群的生成元及其子群 熟悉n元置換的表示方法、乘法以及n元置換群 能夠運(yùn)用定理解決簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)

45、問(wèn)題 了解環(huán)的運(yùn)算性質(zhì)，能進(jìn)行環(huán)中的運(yùn)算 習(xí)題課 本章的習(xí)題主要有以下題型 題型一判別或驗(yàn)證給定集合和運(yùn)算構(gòu)成半群、獨(dú)異點(diǎn)、群、環(huán)、域 判斷下面集合關(guān)于給定運(yùn)算能否構(gòu)成半群、獨(dú)異點(diǎn)和群如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由 （） n n Z關(guān)于普通加法； （） m n m，n Z關(guān)于普通乘法； （）實(shí)數(shù)集R關(guān)于運(yùn)算，其中運(yùn)算定義為a b （a b）； （）設(shè)R為實(shí)數(shù)集， R R關(guān)于運(yùn)算，其中運(yùn)算定義為a， b c， d a c，b d 391第十章群與環(huán) 在整數(shù)環(huán)中定義倡和兩個(gè)運(yùn)算，橙 a，b Z有a倡 b a b ， a b a b ab，證明 Z，倡， 構(gòu)成環(huán) 解答與分析 （）構(gòu)成半群、獨(dú)異點(diǎn)和群； （）構(gòu)

46、成半群與獨(dú)異點(diǎn)，但不構(gòu)成群，因?yàn)闆](méi)有逆元； （）不構(gòu)成半群，運(yùn)算沒(méi)有結(jié)合律，例如 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （）構(gòu)成半群、獨(dú)異點(diǎn)和群 先驗(yàn)證封閉性橙 a，b Z有a倡 b，a b Z，下面驗(yàn)證結(jié)合律任取a，b，c Z （a倡 b）倡 c （a b ）倡 c （a b ） c a b c a倡（ b倡 c） a倡（ b c ） a （ b c ） a b c （a b） c （a b ab） c （a b ab） c （ a b ab）c a b c （ ab ac bc） abc a（ b c） a（ b c bc） a （ b c bc） a（b c bc） a b c

47、 （ ab ac bc） abc 為倡運(yùn)算的單位元 a為a關(guān)于倡運(yùn)算的逆元倡運(yùn)算滿(mǎn)足交換律，所以Z關(guān)于倡運(yùn)算 構(gòu)成交換群，關(guān)于運(yùn)算構(gòu)成半群最后證明關(guān)于倡運(yùn)算滿(mǎn)足分配律 a（ b倡 c） a（ b c ） a （ b c ） a（b c ） a b c ab ac （a b）倡（ a c） （a b ab） （ a c ac） a b a c ab ac a b c ab ac 綜合上述， Z，倡， 構(gòu)成環(huán) 求解這類(lèi)問(wèn)題的主要方法是根據(jù)定義進(jìn)行驗(yàn)證對(duì)于半群要驗(yàn)證封閉性和結(jié)合律；對(duì)于獨(dú)異 點(diǎn)要驗(yàn)證封閉性、結(jié)合律以及單位元；對(duì)于群，除了進(jìn)行以上驗(yàn)證之外，還必須驗(yàn)證每個(gè)元素都有 逆元；而對(duì)于環(huán)則除了驗(yàn)

48、證兩個(gè)運(yùn)算分別構(gòu)成交換群和半群之外，還要驗(yàn)證乘法對(duì)加法的分 配律 題型二群或環(huán)中簡(jiǎn)單的計(jì)算題 這些計(jì)算包括：計(jì)算元素的階、元素的冪、子群的陪集、循環(huán)群的生成元和子群、置換群中的 乘積和逆、同態(tài)像、環(huán)中公式的展開(kāi)式等 設(shè)Z為模整數(shù)加群，求所有元素的階 設(shè)G為群，x，y屬于G ，且yxy x，其中x不是單位元，y是階元求x的階 設(shè)G為模加群，求 在G中所有的左陪集 設(shè)G的運(yùn)算表如表所示，問(wèn)G是否為循環(huán)群？如果是，求出它所有的生成元和 子群 491第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu) 表10 1 abcdef a abcdef b bcdefa c cdefab d defabc e efabcd f fabcde 設(shè)

49、R ， ， 是環(huán)，a，b為環(huán)中任意元素，計(jì)算（a b）（b a） 在域Z中解下列方程組： x y x y 解答與分析 所有元素的階為： ， ， ， （ yxy ）（yxy ） x癡 yxy x yxy x癡 x y yx y是階元癡 y y 由上述三個(gè)結(jié)果得到 x yx y yx y yyx x癡 x e 因?yàn)閤，所以x 確定x的階的基本方法就是到出如下的等式：xk e然后在k的正因子中尋找x的階 ， 的不同左陪集有個(gè)，即 ， ， ， ， 對(duì)于有限群G ，子群H的不同的陪集數(shù)（右陪集數(shù)或左陪集數(shù)）為G H，一般采取枚舉的 方法計(jì)算H的所有的陪集，以右陪集為例求解步驟如下： 第一個(gè)右陪集就是H自

50、身 任選元素a G H，求Ha，作為第二個(gè)右陪集 任選元素b G （ H Ha），做第三個(gè)右陪集Hb 任選元素c G （ H Ha Hb），做第四個(gè)右陪集， 依次做下去，由于G是有限群，經(jīng)過(guò)有限步就可以得到G的全體右陪集 591第十章群與環(huán) 易見(jiàn)a為單位元由于生成元的階與群的階相等只要是階元就是生成元 b，所 以b為生成元，因而G是循環(huán)群 c，d，e，c，d，e不是生成元 f ，因而f也是 生成元子群有a a， c c，e，a， d d，a，G （ a b）（b a） （a ab ba b）（b a） ab ab bab b a aba ba b a 由第一個(gè)方程得到y(tǒng) x ，代入第二個(gè)方程得

51、到x 從而得到x ，y 題型三子群的證明與子群格結(jié)構(gòu) 設(shè)G為群，a是G中的階元，證明G中與a可交換的元素構(gòu)成G的子群 設(shè)為虛數(shù)單位，即 ，令 G ， ， ， 則G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成群找出G的所有子群，并畫(huà)出它的子群格 解答與分析 令H xx G xa ax，下面證明H是G的子群首先e屬于H，H是G的非空子集 任取x，y H，有 （xy ）a x（y a） x（a y） x（ay） x（ya） xa y xay axy a（xy ） 因此xy 屬于H由判定定理命題得證 證明子群可以用判定定理，特別是判定定理二證明的步驟是：首先驗(yàn)證H非空，然后對(duì)任 取的x，y H，證明xy H 令A(yù)，B，C，D分別

52、表示 ， ， ， ，G的運(yùn)算表如表所示 G的子群有個(gè)，即 平凡子群： A A，G 階子群： A A， A， 階子群： B A，B， A， B， C A，C， A， C， D A，D， A， D G的子群格如圖所示 對(duì)于較小的有限群G ，可以按照子群格的結(jié)構(gòu)從底層（平凡子群e）開(kāi)始，然后逐層向上， 從小到大枚舉它的子群，直到G本身為止，從而得到一個(gè)子群格目前還沒(méi)有高效的對(duì)每個(gè)群都 適用的枚舉算法可以嘗試計(jì)算每個(gè)元素的階，找到由每個(gè)元素生成的子群，然后按照它們之間 的包含關(guān)系做出一個(gè)偏序結(jié)構(gòu)接著從下層向上逐步檢查子群的并集，看看它們是否構(gòu)成新的更 大的子群如果能夠構(gòu)成，就把它加到這個(gè)偏序結(jié)構(gòu)中；否

53、則就需要把運(yùn)算所產(chǎn)生的新元素加到 其中，直到它關(guān)于運(yùn)算封閉為止由并集所產(chǎn)生的新子群需要加到偏序結(jié)構(gòu)中 691第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu) 表10 2 A A B B C C D D A A A B B C C D D A A A B B C C D D B B B A A D D C C B B B A A D D C C C C C D D A A B B C C C D D A A B B D D D C C B B A A D D D C C B B A A圖 題型四證明群中的簡(jiǎn)單性質(zhì) 設(shè)G為群，a G是有限階元，對(duì)于任意x G ，證明xax a 證明偶數(shù)階群必含階元（習(xí)題十第題） 解答與分析 設(shè)a

54、n，xax m由下式 （xax ）n xanx e 有mn由于a可以表示成 a x （xax ）（x ） 根據(jù)前面的結(jié)果，也有nm綜合上述有m n 證明元素a和b的階相等的基本方法是：設(shè)an，bm，然后證明nm和mn為此，只 要證明am e和bn e在化簡(jiǎn)am或bn時(shí)，使用的公式主要有：群中的結(jié)合律以及元素的冪運(yùn)算 規(guī)則，即 （ab）c a（bc） （a ） a，（a a an） an a a an am an m，（an）m anm 由x e騁 x或換句話說(shuō)，對(duì)于G中元素x，如果x，必有x x由于x x ，階大于的元素成對(duì)出現(xiàn)，共有偶數(shù)個(gè)那么剩下的階和階元總共應(yīng)該是偶數(shù)個(gè)階 元只有個(gè)，就是單

55、位元，從而證明了G中必有階元 以上證明題都涉及群的簡(jiǎn)單性質(zhì)這類(lèi)問(wèn)題通常要求證明以下命題： 群中的元素相等，這里的元素通常是若干元素運(yùn)算的結(jié)果； 群中的子集相等； 元素的階相等或者整除； 791第十章群與環(huán) 其他簡(jiǎn)單命題，如交換性等 基本的證明方法可以總結(jié)如下： 證明群中元素相等的基本方法就是用結(jié)合律、消去律、單位元及逆元的性質(zhì)、群的冪運(yùn)算 規(guī)則等對(duì)等式進(jìn)行變形和化簡(jiǎn) 證明子集相等的基本方法就是證明兩個(gè)子集相互包含 證明兩個(gè)元素的階r和s相等、r整除s、某個(gè)元素的階等于r等命題的基本方法是證明整 除在證明中可以使用結(jié)合律、消去律、冪運(yùn)算規(guī)則以及關(guān)于元素的階的性質(zhì)（定理）特別 地，可能用到a為階或

56、階元的充分必要條件a a 題型五定理的應(yīng)用 設(shè)H，H分別是群G的r，s階子群，若（r，s） ，證明H H e（習(xí)題十第題） 解答與分析 易見(jiàn)H H是H的子群，也是H的子群由定理，子群的階是群的階的因子，因 此H H 整除r，也整除s從而，H H 整除r與s的最大公因子由已知r與s的最大公因 子（r，s） ，這就得到H H 根據(jù)定理，可以給出一些與有限群相關(guān)的計(jì)數(shù)結(jié)果設(shè)H為G的子群，a是G中元 素，N（a） xx G ，xa ax為a的正規(guī)化子（可以證明N（a）也是G的子群并且C徹 N（a）， 那么有 HxHx C是N（a） 和G 的因子 aa 是N（a） 和G 的因子 an 是a的因子 圖 a

57、 e騁 a a 騁 a或 題型六定理的應(yīng)用 用種顏色涂色 的方格棋盤(pán)，每個(gè)方格一種顏色如果 允許棋盤(pán)任意旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)，問(wèn)有多少種不同的涂色方案？ 如圖， T是一棵七個(gè)結(jié)點(diǎn)的樹(shù)，我們用黑白兩色對(duì)T的 結(jié)點(diǎn)著色如果交換T的某個(gè)左子樹(shù)與右子樹(shù)以后，一種著色方案 變成另一種著色方案，則認(rèn)為這兩種方案是同樣的方案問(wèn)不同的 著色方案有多少種？ 解答與分析 群G的置換結(jié)構(gòu)為： 恒等置換： （瞯） （瞯） （瞯） （瞯） （瞯） （瞯） （瞯） （瞯） （瞯）個(gè) 繞中心旋轉(zhuǎn)度，度：（瞯 瞯 瞯 瞯） （瞯 瞯 瞯 瞯） （瞯） 個(gè) 繞中心旋轉(zhuǎn)度：（瞯 瞯） （瞯 瞯） （瞯 瞯） （瞯 瞯） （瞯） 個(gè) 翻轉(zhuǎn)度

58、：（瞯 瞯） （瞯 瞯） （瞯 瞯） （瞯） （瞯） （瞯） 個(gè) 891第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu) 根據(jù)定理，不同的著色方案數(shù)是 M （ ） 置換群G含有如下個(gè)置換： （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） 根據(jù)定理有 M （ ） 圖中有個(gè)對(duì)稱(chēng)軸，即過(guò)結(jié)點(diǎn)、的垂直線，所有的置換都可以用圍繞這些軸的翻 轉(zhuǎn)來(lái)表示需要注意的是，這些置換必須構(gòu)成群如果兩個(gè)置換合成以后得到一個(gè)新的置換，那么 就要把這個(gè)新的置換加到群中去，直到所

59、有置換的集合關(guān)于合成運(yùn)算封閉為止這里的合成恰好 產(chǎn)生個(gè)新的置換，因此群中共有個(gè)置換 習(xí)題、解答或提示 習(xí)題十 設(shè)A ，試給出半群AA， 的運(yùn)算表，其中為函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算 判斷下列集合關(guān)于指定的運(yùn)算是否構(gòu)成半群，獨(dú)異點(diǎn)和群： （） a是正實(shí)數(shù)，G an n Z，運(yùn)算是普通乘法； （） Q 為正有理數(shù)集，運(yùn)算是普通乘法； （） Q 為正有理數(shù)集，運(yùn)算是普通加法； （）一元實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的集合關(guān)于多項(xiàng)式的加法； （）一元實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的集合關(guān)于多項(xiàng)式的乘法； （） Un xx C xn ，n為某個(gè)給定的正整數(shù)，C為復(fù)數(shù)集合，運(yùn)算是復(fù)數(shù)乘法 在R中定義二元運(yùn)算倡使得橙 a，b R， a倡 b a b ab

60、證明R，倡 構(gòu)成獨(dú)異點(diǎn) 991第十章群與環(huán) S a，b，c，倡是S上的二元運(yùn)算，且橙 x，y S，x倡 y x， （）證明S關(guān)于倡運(yùn)算構(gòu)成半群； （）試通過(guò)增加最少的元素使得S擴(kuò)張成一個(gè)獨(dú)異點(diǎn) 設(shè)V a，b，倡 是半群，且a倡 a b，證明 （） a倡 b b倡 a； （） b倡 b b 設(shè)V S，倡 是可交換半群，若a，b是V中的冪等元，證明a倡 b也是V中的冪等元 設(shè)G a ba，b Z，為虛數(shù)單位，即 驗(yàn)證G關(guān)于復(fù)數(shù)加法構(gòu)成群 設(shè)S ，磗為模乘法，即 橙 x，y S，x磗 y （xy） 問(wèn)S，磗 構(gòu)成什么代數(shù)系統(tǒng)（半群，獨(dú)異點(diǎn)，群）？為什么？ 設(shè)Z為整數(shù)集合，在Z上定義二元運(yùn)算如下： 橙

61、 x，y Z，x y x y 問(wèn)Z關(guān)于運(yùn)算能否構(gòu)成群？為什么？ 設(shè)A xx R x，在A上定義個(gè)函數(shù)如下： f（x） x，f（x） x ，f（x） x， f（x） （ x） ， f（x） （x ） x ， f（x） x（x ） 令F為這個(gè)函數(shù)構(gòu)成的集合，運(yùn)算為函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算 （）給出運(yùn)算的運(yùn)算表； （）驗(yàn)證F ， 是一個(gè)群 設(shè)G ， ， ， ，證明G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成一個(gè)群 Zn ， n ，定義 T xx Zn且（x，n） 這里的（x，n）表示x與n的最大公約數(shù)，證明T關(guān)于模n乘法構(gòu)成群 證明定理的（）（）和（），即設(shè)為群，證明 （） 橙 a，b G ，（ab） b a ； （） 橙 a G ，

62、（an）m anm； （）若G為交換群，則（ab）n anbn 證明定理即證明群G中運(yùn)算適合消去律 設(shè)G為群，若橙 x G有x e，證明G為交換群 設(shè)G為群，證明e為G中惟一的冪等元 設(shè)G為群，a，b，c G ，證明 abcbcacab 證明偶數(shù)階群必含階元 002第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè)G為非群，證明G中存在非單位元a和b，a b，且ab ba 設(shè)G為Mn（R）上的加法群，n，判斷下述子集是否構(gòu)成子群 （）全體對(duì)稱(chēng)矩陣； （）全體對(duì)角矩陣； （）全體行列式大于等于的矩陣； （）全體上（下）三角矩陣 設(shè)G為群，a是G中給定元素，a的正規(guī)化子N（a）表示G中與a可交換的元素構(gòu)成的 集合，即 N（a）

63、 xx G xa ax 證明N（a）是G的子群 設(shè)H是群G的子群，x G ，令 xHx xhx h H 證明xHx 是G的子群，稱(chēng)為H的共軛子群 畫(huà)出群Z，磗 的子群格 設(shè)H和K分別為群G的r，s階子群，若r和S互素，證明H K e 對(duì)以下各小題給定的群G 和G ，以及f：G G ，說(shuō)明f是否為群G 到G 的同態(tài)，如果 是，說(shuō)明是否為單同態(tài)、滿(mǎn)同態(tài)和同構(gòu)求同態(tài)像f（G ） （） G Z， ， G R倡 ， ，其中R倡為非零實(shí)數(shù)集合， 和分別表示數(shù)的加法 和乘法 f：Z R倡 ，f（x） ， x是偶數(shù)， x是奇數(shù) （） G Z， ， G A， ，其中和分別表示數(shù)的加法和乘法，A xx C x，其

64、中C為復(fù)數(shù)集合 f：Z A，f（x） x x （） G R， ， G A， ， 和以及A的定義同（） f：R A，f（x） x x 證明循環(huán)群一定是阿貝爾群，說(shuō)明阿貝爾群是否一定是循環(huán)群，并證明你的結(jié)論 設(shè)G 為循環(huán)群，f是群G 到G 的同態(tài)，證明f（G ）也是循環(huán)群 設(shè)G a 是階循環(huán)群 （）求出G的所有生成元； （）求出G的所有子群 設(shè)，是元置換，且 ， ， （）計(jì)算， ， ， ； 102第十章群與環(huán) （）將， ， 表成不交的輪換之積； （）將（）中的置換表示成對(duì)換之積，并說(shuō)明哪些為奇置換，哪些為偶置換 如果允許立方體在空間任意轉(zhuǎn)動(dòng)，用n種顏色著色立方體的個(gè)面，證明不同的著色方 案數(shù)是（n

65、 n n n） 一個(gè)圓環(huán)上等距離地鑲有顆珠子，每顆珠子可以是紅、藍(lán)、黃三種顏色，問(wèn)有多少種不 同的鑲嵌方案？ 設(shè)A a ba，b Z， ，證明關(guān)于復(fù)數(shù)加法和乘法構(gòu)成環(huán)，稱(chēng)為高斯整數(shù)環(huán) 設(shè)f（x） a ax a x anxn，a，a， an為實(shí)數(shù)，稱(chēng)f（x）為實(shí)數(shù)域上的n次多 項(xiàng)式，令 A f（x） f（x）為實(shí)數(shù)域上的n次多項(xiàng)式，n N 證明A關(guān)于多項(xiàng)式的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán)，稱(chēng)為實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式環(huán) 判斷下列集合和給定運(yùn)算是否構(gòu)成環(huán)、整環(huán)和域，如果不能構(gòu)成，說(shuō)明理由 （） A a ba，b Q，其中 ，運(yùn)算為復(fù)數(shù)加法和乘法； （） A z z Z，運(yùn)算為實(shí)數(shù)加法和乘法； （） A zz Z，運(yùn)

66、算為實(shí)數(shù)加法和乘法； （） A xx x Z，運(yùn)算為實(shí)數(shù)加法和乘法； （） A a b a，b Q，運(yùn)算為實(shí)數(shù)加法和乘法 在域Z中解下列方程和方程組： （） x ； （） x z ， z x ， x y 設(shè)a和b是含幺環(huán)R中的兩個(gè)可逆元，證明： （） a也是可逆元，且（ a） a ； （） ab也是可逆元，且（ab） b a 設(shè)R是環(huán)，令 C xx R 橙 a R （xa ax） C稱(chēng)作R的中心，證明C是R的子環(huán) 證明定理 （），即設(shè)R是環(huán)，則橙 a，b，c R ，有 a（b c） ab ac，（b c）a ba ca 答案或提示 f ， ， ， ，f ， ， ， ，f ， ， ， ，f ， ， ， ，運(yùn)算表如表所示 202第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu) 表10 3 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f （）構(gòu)成半群、獨(dú)異點(diǎn)和群； （）構(gòu)成半群、獨(dú)異點(diǎn)和群； （）構(gòu)成半群，不構(gòu)成獨(dú)異點(diǎn)，也不構(gòu)成群； （）構(gòu)成半群、獨(dú)異點(diǎn)和群； （）構(gòu)成半群和獨(dú)異點(diǎn)，不構(gòu)成群； （）構(gòu)成半群、獨(dú)異點(diǎn)和群 顯然運(yùn)算是封閉的，下面證明結(jié)合律橙 a，b，c R， （