《南京理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第八章正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《南京理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第八章正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（56頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、1 第 八 章 正交 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) (experiment design ) 8.1 因素 (factor)與水平 (level) 因此如何合理地安排試驗(yàn) ， 如何對試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行科 學(xué)的分析 ， 就成為人們十分關(guān)心的問題 。 在工農(nóng)業(yè)生 產(chǎn)的推動下 ， 這方面的實(shí)踐和研究形成了統(tǒng)計(jì)學(xué)的一 個(gè)重要分支 試驗(yàn)設(shè)計(jì) ， 并得到了廣泛的應(yīng)用 。 我們遇到的實(shí)際問題 ， 一般都是比較復(fù)雜的 ， 包含有 多種因素 ， 各個(gè)因素又有不同的狀態(tài) ， 它們互相交織 在一起 。 為了尋求合適的生產(chǎn)條件 ， 就要對各種因素 以及各個(gè)因素的不同狀態(tài)進(jìn)行試驗(yàn) 。 2 例 8 1 1 提高某種農(nóng)藥收率的試驗(yàn) 某農(nóng)藥廠生產(chǎn)某
2、種農(nóng)藥 ， 根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn) ， 發(fā)現(xiàn)影響 農(nóng)藥收率的因素有 4個(gè) ， 每個(gè)因素都有兩種狀態(tài) ， 具 體如下： A反應(yīng)溫度： 60 80 B反應(yīng)時(shí)間： 2.5小時(shí) 3.5小時(shí) C配比 （ 某兩種原料之比 ） : D真空度 : 500毫米汞柱 600毫米汞柱 1A 2 A 1B 2 B 121 . 1 1 1 . 2 1CC 1D 2 D 3 我們通常稱影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素為因子， 用大寫字母 A， B， C， 表示； 可能處于的狀態(tài)稱為水平，用該字母加上足標(biāo) 表示。 例如， ， 表示因子 A的第一，第二， 水平等。 我們把實(shí)驗(yàn)中需要考慮多個(gè)因子，而每個(gè)因子 又有多個(gè)水平有待考查的試驗(yàn)問題稱為多因子
3、試驗(yàn)問題。 1A 2A 例 8.1.1就是四個(gè)兩水平的因子試驗(yàn)問題。 4 我們希望通過試驗(yàn)解決的問題是： （ 1） 找出各因子對指標(biāo)的影響規(guī)律 ， 哪個(gè)因子是主 要的 ， 哪個(gè)是次要的 ？ 哪些因子除了各自的單獨(dú)作 用外 ， 它們之間還產(chǎn)生綜合效果 ？ 這種綜合效果有 多大 ？ 對指標(biāo)的影響 ， 綜合效果是主要的 ， 還是因 子的單獨(dú)作用是主要的 ？ （ 2） 選出各因子的一個(gè)水平來組合成比較合適的 生產(chǎn)條件 ， 以下通稱最優(yōu)生產(chǎn)條件 ， 這里的最優(yōu)是 對試驗(yàn)所考察的因子和水平而言 。 5 上面的問題對例 8.1.1來說，從四個(gè)因子的每個(gè)因 子的兩個(gè)水平中選一個(gè)水平的所有搭配共有 種，顯然，所
4、有 16種可能搭配都進(jìn)行試驗(yàn)，再經(jīng) 過試驗(yàn)結(jié)果的處理就可以獲得問題的圓滿解決。 能否只作其中一小部分試驗(yàn)，通過分析就可以 獲得問題的圓滿解決呢？在比較復(fù)雜的多因子 試驗(yàn)中，這個(gè)問題就更突出了。 例如考查的因子有九個(gè)，每個(gè)因子有三個(gè)水平， 則這一試驗(yàn)問題中，所有可能的搭配有 種，要逐個(gè)進(jìn)行試驗(yàn)，顯然是不可能實(shí)現(xiàn)。 196 8 33 9 6 (1)所有可能搭配的試驗(yàn)次數(shù)與實(shí)際可行的試驗(yàn)次數(shù)之 間的矛盾 。 (2)實(shí)際所作少數(shù)試驗(yàn)與要求全面掌握內(nèi)在規(guī)律之間的 矛盾 。 為 了解決第一類矛盾，要求必須合理地設(shè)計(jì)和安排試 驗(yàn)，以便通過盡可能少的試驗(yàn)次數(shù)，就可抓住主要矛 盾。 為解決第二類矛盾，要求我們對
5、試驗(yàn)結(jié)果作科學(xué)的分 析，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，認(rèn)識內(nèi)在的規(guī)律，為解決問題 提供可靠的依據(jù)。 因此多因子試 驗(yàn)問題的突出矛盾是： 7 下面介紹的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法就是一種研究多因子試 驗(yàn)問題的重要數(shù)學(xué)方法。它主要使用正交表這一工具 來進(jìn)行整體設(shè)計(jì)、綜合比較、統(tǒng)計(jì)分析。 它使用正交表從所有可能搭配中一下就挑出若 干必需的試驗(yàn)，然后再用統(tǒng)計(jì)分析方法對試驗(yàn) 結(jié)果進(jìn)行綜合處理，解決問題。目前試驗(yàn)設(shè)計(jì) 已在冶金、化工、橡膠、紡織、醫(yī)藥衛(wèi)生等方 面得到了有效的應(yīng)用。 8 若被考查的 n個(gè)因子都取三個(gè)水平 ， 則稱為 因子試驗(yàn)問題 。 n2 n3 mn 32 多因子試驗(yàn)的分類 。 在考查 A， B， C， D， 等
6、n個(gè)因子對指標(biāo) y的 作用時(shí) ， 若每個(gè)因子都取兩個(gè)水平 ， 則稱為 因子試驗(yàn)問題 。 若被考查的因子有 n+m個(gè) ， 其中 ， 其中 n個(gè)因子 取兩水平 ， m個(gè)因子取三水平 ， 則稱為 因子試驗(yàn)問題 。 9 8.2 正交表 正交表是試驗(yàn)設(shè)計(jì)中合理安排試驗(yàn) ， 并對數(shù)據(jù) 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的主要工具 。 正交表用符號 表示 。 “ L ” 代表正交表 ， “ p ” 表示表中的行數(shù) ， 即要作的試驗(yàn)次數(shù) ， “ m ” 表示表中有 m列 ， 即最多允許安排的因 子個(gè)數(shù) ， “ n ” 表示水平數(shù) 。 可以證明： n， m， p滿足 )( mp nL 1)1( pnm 10 列號 試驗(yàn)號 1 2 3
7、 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1 2 4 2 2 1 )2( 34L 11 表稱為正交表是因?yàn)樗哂幸韵聝蓚€(gè)性質(zhì)： （ 1） 整齊可比性 每一列中 ， 不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等 。 （ 2） 均衡搭配性 任意兩列中 ， 將同一橫行的兩個(gè)數(shù)字看成有序數(shù)對 時(shí) ， 每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相等 。 這里有序數(shù)對共有四 種： （ 1， 1） ， （ 1， 2） （ 2， 1） ， （ 2， 2） ， 且它 們各出現(xiàn)一次 。 凡滿足上述兩個(gè)性質(zhì)的表就稱為正交表 。 )2( 34L 正交表還有如下性質(zhì)： （ 3）正交表的任兩行（或任兩列）交換，它仍是正交表。 （ 4）某一列中各數(shù)碼作對換或輪換，它
8、仍是正交表。 12 8.3 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì) 1、 試驗(yàn)計(jì)劃的制訂 表 8.3.1 正交表 )2( 78L 列號 試驗(yàn) A 1 B 2 3 C 4 5 6 D 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2 13 在表 8.3.1的各因子列中 ， 在數(shù)字 “ 1” 和 “ 2” 中的位 置分別填上各該因子的 1水平和 2水平 ， 就得到一張?jiān)囼?yàn) 計(jì)劃表 ， 如下： 列號 試驗(yàn) A 1 B小
9、時(shí) 2 C 3 D 4 Result y 1 60 2.5 1.1/1 500 86 2 60 2.5 1.2/1 600 95 3 60 3.5 1.1/1 600 91 4 60 3.5 1.2/1 500 94 5 80 2.5 1.1/1 600 91 6 80 2.5 1.2/1 500 96 7 80 3.5 1.1/1 500 83 8 80 3.5 1.2/1 600 88 14 在測得 8個(gè)數(shù)據(jù)后 ， 如何科學(xué)地分析這些數(shù)據(jù) ， 從而得出正確的結(jié)論 ， 這是試驗(yàn)設(shè)計(jì)的重要步驟 。 在 比較中要鑒別的內(nèi)容是： （ 1） 在 4個(gè)因子中 ， 那些因子對收率的影響大 ， 那 些因子
10、對收率的影響小 ？ （ 2） 如果某個(gè)因子對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響大 ， 那么它 取哪個(gè)水平對提高收率最有利 ？ 第一個(gè)問題要在比較 4個(gè)因子中獲得解決 ， 第二個(gè) 問題要在比較每個(gè)因子的兩個(gè)水平中獲得解決 。 先解 決第二個(gè)問題 。 2、綜合比較 直觀分析法 15 例如 ， 對因子 A（ 反應(yīng)溫度 ） ， 怎樣比較它的兩 個(gè)水平對收率的影響 ？ 這里做了 8次試驗(yàn) ， 直接從這 8個(gè)數(shù)據(jù)中兩兩比較 是不行的 ， 因?yàn)檫@ 8個(gè)試驗(yàn)條件沒有兩個(gè)是相同 的 ， 沒有比較的基礎(chǔ) 。 如果把這 8個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)適當(dāng)組合起來 ， 便會發(fā)現(xiàn) 某種可比性 ， 這就是正交設(shè)計(jì)特具的綜合可比性 。 1A 以因子 A為例。
11、A的 1水平 出現(xiàn)在上表中的第 14號試驗(yàn)中，這四個(gè)試驗(yàn)收率的平均數(shù)是 5.91)94919586( 4 1 )( 4 1 43211 yyyyA 16 2A 5.89)88839691( 4 1 )( 4 1 87652 yyyyA A的 2水平 出現(xiàn)在上表中的第 58號試驗(yàn)中， 這四個(gè)試驗(yàn)收率的平均數(shù)是 和 就具有可比性，因?yàn)樵跅l件 下的四 次試驗(yàn)中，因子 B、 C、 D皆取遍兩種水平，而且 兩種水平出現(xiàn)的次數(shù)相同，各為 2次；同樣，在條 件 下的四次試驗(yàn)中，因子 B、 C、 D也皆取遍兩 種水平，而且兩種水平出現(xiàn)的次數(shù)相同，各為 2次。 1A 2A 1A 2A 17 即對于在 下的四次試
12、驗(yàn)和 下的四次試驗(yàn)來說 ， 雖然其它條件 （ B、 C、 D） 在變動 ， 但這種變動是 “ 平等的 ” ， 所以 和 之間差異反映了 A的兩 個(gè)水平的不同 ， 由于 1A 2A 1A 2 A 025.895.9121 AA 所以說因子 A 取 時(shí)平均收率較高 。 同樣可以比較因子 B、 C、 D的兩個(gè)水平的好壞 ， 各項(xiàng)計(jì)算都可以在正交表上進(jìn)行 ， 十分簡便 。 1A 18 表頭 設(shè)計(jì) A B C D 試驗(yàn) 結(jié)果 列號 試驗(yàn) 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 86 2 1 1 1 2 2 2 2 95 3 1 2 2 1 1 2 2 91 4 1 2 2 2 2 1
13、 1 94 5 2 1 2 1 2 1 2 91 6 2 1 2 2 1 2 1 96 7 2 2 1 1 2 2 1 83 8 2 2 1 2 1 1 2 88 366 368 351 359 358 356 373 365 91.5 92.0 87.75 89.75 89.5 89.0 93.25 91.25 2.0 3.0 -5.5 -1.5 jj TT 21 iy 411 jj TT jT2 422 jj TT jT1 19 我們從表的最后一行的正負(fù)可以看出 , 1A 2A 1B 2 B 2C 1C 2D 1D 2211 DCBA 因子 A取 比 時(shí)收率高； 因子 B取 比 時(shí)收率高；
14、 因子 C取 比 時(shí)收率高； 因子 D取 比 時(shí)收率高； 因此在只考慮因子單獨(dú)作用的情況下 ， 可選擇 作為最優(yōu)生產(chǎn)條件 。 20 直觀上容易看出 ， 一個(gè)因子對實(shí)驗(yàn)的結(jié)果影響大 ， 就是主要的 。 所謂影響大 ， 就是這因子的不同水平 的平均收率之間的差異大 。 相反 ， 一個(gè)因子對試驗(yàn) 的影響小 ， 就是次要的 。 即這因子的不同水平的平 均收率之間的差異小 。 從表的最后一行的絕對值的 大小可見 ， 因子 C的兩個(gè)水平之間的差異最大 ， 是 主要矛盾 。 其次是因子 B和因子 A， 再次是因子 D。 注意：當(dāng)試驗(yàn)范圍或試驗(yàn)條件發(fā)生改變時(shí) ， 矛盾的 主要和非主要方面可以相互轉(zhuǎn)化 。 現(xiàn)在
15、，我們在 A、 B、 C、 D四個(gè)因子中，來分清主 次，抓住主要矛盾，即解決開始時(shí)提出的 問題 。 21 8.4 交互作用 (interaction) 一 、 交互作用定義 一般在一個(gè)試驗(yàn)里 ， 不僅各個(gè)因子在起作用 ， 而且因子之間有時(shí)會聯(lián)合起來影響某一指標(biāo) ， 這種作用稱為交互作用 。 例 8 4 1 某生產(chǎn)隊(duì)對土地大體相同的四塊大豆 試驗(yàn)田 ， 用不同的方式施用氮肥 （ N） 和磷肥 （ P） ， 結(jié)果第一塊不加氮 、 磷肥 ， 平均畝產(chǎn) 400 斤；第二塊只加 6斤氮肥 ， 平均畝產(chǎn) 430斤；第三 塊只加 4斤磷肥 ， 平均畝產(chǎn) 450斤；第四塊只加 6 斤氮肥 ， 4斤磷肥 ， 平
16、均畝產(chǎn) 560斤 。 列表如下： 22 01 P 42 P 01 N 62 N P磷肥 N氮肥 400 450 430 560 從表中看出 ， 只加 4斤磷肥 ， 畝產(chǎn)增加 50斤 ， 只加 6斤 氮肥 ， 畝產(chǎn)增加 30斤 ， 而氮 、 磷肥都加 ， 畝產(chǎn)增加 160 斤 。 這說明 ， 增產(chǎn)的 160斤除了氮肥的單獨(dú)效果 30斤和 磷肥的單獨(dú)效果 50斤以外 ， 還有它們聯(lián)合起來所發(fā)生的 影響 ， 而 （ 560 400） （ 430 400） （ 450 400） =160 30 50=80（ 斤 ） 就反映了這種聯(lián)合起來的影響 。 在正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)中 ， 把 這個(gè)值的一半稱為 N和 P的
17、交互作用 ， 記為 N P。 即 23 在正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)中 ， 把這個(gè)值的一半稱為 N和 P的交互 作用 ， 記為 N P。 即 408021 PN 24 按此方法 ， 我們可以計(jì)算出例 8.1.1中因子 A和 B的 交互作用 ， 計(jì)算如下： 601 A 802 A hB 5.21 2 21 yy 2 65 yy hB 5.32 2 43 yy 2 87 yy A B 25 1 2 7 8 3 4 5 6 11( ) ( ) 22y y y y y y y y 7 8 5 6 3 41 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 y y y y y yy y y y y y 因子 A 和因子 B
18、的交互作用 A B就等于將上式乘以 1/2 ， 即 1 2 7 8 3 4 5 6 11( ) ( ) 5 .0 44A B y y y y y y y y 1 3 6 8 2 4 5 7 11( ) ( ) 0 .5 44A C y y y y y y y y 1 4 5 8 3 2 7 6 11( ) ( ) 1 .5 44B C y y y y y y y y 同樣可以算出 A C， B C如下： 26 二、 交互作用列 因子間的交互作用可在正交表 上直接算出 。 例如 A B的值 ， 可看出恰好是表第 3列 “ 1” 對應(yīng)的 y值減去 “ 2” 對應(yīng)的 y值的平均 。 也就是說 ， 如
19、果因子 A放在第 1列 ， 因子 B放在第 2列 ， 那么第 3列就是它們的交互作用 A B。 參照上面的算式和正交表 ， 可見 A與 C的交 互作用 A C就是第 5列 ， B與 C的交互作用 B C就是 第 6列 。 8.4.1就是對應(yīng)于 的交互作用表 。 )2( 78L )2( 78L )2( 78L 27 表 8.4.1 兩列間的交互作用表 7 8 (2 )L 列 號 列號 1 2 3 4 5 6 7 （ 1） 3 2 5 4 7 6 （ 2） 1 6 7 4 5 （ 3） 7 6 5 4 （ 4） 1 2 3 （ 5） 3 2 （ 6） 1 28 從 8.4.2 可看出因子 A、 B
20、的交互作用很大 ， 超過 A、 B單獨(dú)對收率的影響 ， 我們應(yīng)著重考慮 A B， 為此 ， 根據(jù)表 8.4.2算出 A、 B之間四種搭配下的 平均值如下表 8.4.3 1A 2 A 1B 218 12 9586 21872 9691 2B 2 18 5 2 9491 2 171 2 8883 A B 29 從上表可見 ， A、 B之間的最好搭配是 。 前面我們只根據(jù)各因子對收率的單獨(dú)作用而選定 最優(yōu)生產(chǎn)條件 ， 根據(jù)上面的分析 ， 應(yīng) 改成 。 這個(gè)試驗(yàn)條件在所安排的 8次試驗(yàn)中是沒有的 。 但 通過分析 ， 好的生產(chǎn)條件將不會漏掉 。 這是我們利用了正交表特具的綜合可比性 ， 選做 一組 （
21、 8次 ） 有代表性的試驗(yàn) ， 對每個(gè)因子的所有 水平全面進(jìn)行了優(yōu)選的緣故 。 12BA 2211 DCBA 2212 DCBA 30 iy jT1 jT2 jj TT 21 表頭設(shè)計(jì) A B A B C A C B C D 試驗(yàn) 結(jié)果 列號 試驗(yàn) 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 86 2 1 1 1 2 2 2 2 95 3 1 2 2 1 1 2 2 91 4 1 2 2 2 2 1 1 94 5 2 1 2 1 2 1 2 91 6 2 1 2 2 1 2 1 96 7 2 2 1 1 2 2 1 83 8 2 2 1 2 1 1 2 88 366 368 3
22、52 351 361 359 359 358 356 372 373 363 365 365 2.0 3.0 -5.0 -5.5 -0.5 -1.5 -1.5 31 三、 正交表設(shè)計(jì)和直觀分析的優(yōu)缺點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn) : 利用正交表挑選一部分有代表的試驗(yàn) ， 減少試 驗(yàn)次數(shù)；利用正交表進(jìn)行整體設(shè)計(jì) ， 可以同時(shí)做 一批試驗(yàn) ， 縮短了試驗(yàn)的周期； 只需作少量的計(jì)算 ， 就可獲得重要的信息 ， 可 直接比較各因子 ， 還可比較因子間交互作用對指 標(biāo)的影響 ， 從而選出最優(yōu)條件 。 缺點(diǎn)：不能給出誤差的估計(jì) ， 從而也就無法知 道分析的精度 。 32 四、自由度和正交表的選用原則 1選表和表頭設(shè)計(jì) 正交試驗(yàn)
23、設(shè)計(jì)在制定試驗(yàn)計(jì)劃中 ， 首先必須根據(jù)實(shí)際情況 ， 確定因子 、 因子的水 平以及需 要考察的交互作用； 選取一張適當(dāng)?shù)恼槐?， 把因子和需要考察的交 互作用合理安排到正交表的表頭上 。 正交表的選用是很靈活的 ， 沒有嚴(yán)格的規(guī)定 ， 必須 具體問題具體分析 。 可遵循的一條原則是：要考察 的因子及交互作用的自由度總和必須不大于所選正 交表的總自由度 。 33 2、自由度的計(jì)算 （ 1） 正交表的總自由度 =試驗(yàn)次數(shù) 1； 正交表每列的自由度 =此列水平數(shù) 1 （ 2） 因子 A的自由度 =因子 A的水平數(shù) 1； 因子 A、 B間的交互作用的自由度 總f 列f Af BABA fff 34
24、3、一般表頭設(shè)計(jì)的基本步驟 （ 1） 首先考慮交互作用不可忽略 （ 包括一時(shí)不知 能否忽略 ） 的因子 ， 按不可混雜的原則 ， 將這些 因子及交互作用在表頭上排妥 。 （ 2） 再將其余可以忽略交互作用的那些因子任意 安排在剩下的各列上 。 顯然同一個(gè)試驗(yàn)問題，即使用同一張正交表，表 頭設(shè)計(jì)也可以不一樣，對例 8.1.1 35 如下的表頭設(shè)計(jì)：表 8.4.3 表頭 設(shè)計(jì) A C A C B A B B C D 列 號 1 2 3 4 5 6 7 盡管和前面的表頭設(shè)計(jì)不一樣 ， 實(shí)踐證明這將不 影響最終的分析結(jié)果 ， 即判別因子和交互作用所 起影響的大小以及最優(yōu)生產(chǎn)條件的選取是一樣的 。 36
25、 8.5 水平數(shù)相等的多因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)和分析 一、 因子的試驗(yàn)設(shè)計(jì)及其直觀分析法 例 8 5 1 在例 8.1.1中在實(shí)踐基礎(chǔ)上明確要考 察四個(gè)因子 A、 B、 C、 D和交互作用 A B， 而交互 作用 A C和 B C希望在不增加試驗(yàn)次數(shù)的情況下 能照顧考慮 。 計(jì)算一下自由度 ， 總的自由度為 4 1+1 1=5， 即最少需用 來安排試驗(yàn)計(jì)劃 ， 做 8次試驗(yàn) 。 )2( 78L n2 （ 1）首先考慮要考察交互作用的因子 A 和 B， 將 A 放在第 1列， B放在第 2列，由 的 交互作用表得 A B占第 3列。 )2( 78L 37 （ 2） 再考慮要照顧到交互作用的因子 C， 我們
26、將 C放在第 4列 ， 這時(shí) A C占第 5列 ， B C占第 6 列 ， 仍有 7列空著可以放因子 D， 于是得表 8.4.3 的表頭設(shè)計(jì) 。 將 A、 B、 C、 D所在列抽出來就是 試驗(yàn)計(jì)劃 。 如果在例 8.1.1中，交互作用 A B， A C， A D， B C， B D， C D都要通過試驗(yàn)考察 ，我們還是選用表 ，并將 A放第 1列， B 放第 2列， C放第 4列， D放第 7列。 )2( 78L 38 表頭 設(shè)計(jì) C D B D A D A B A B C A C B C D 列 號 1 2 3 4 5 6 7 交互作用間產(chǎn)生混雜 ， 這 種 表頭設(shè)計(jì)是不合理的 。 能不能重
27、新設(shè)計(jì)以避免這種混雜現(xiàn)象發(fā)生呢 ？ 計(jì)算 一下自由度可知 ， 共 有 8-1=7個(gè)自由度 ， 現(xiàn) 在要考察 4個(gè)因子和 6對交互作用 ， 故自由度的總和 為 4 1+6 1=10， )2( 78L 39 表 頭 設(shè) 計(jì) A B A B C A C B C D A D B D C D 列 號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 顯然 ,我們是用增加試驗(yàn)次數(shù)為代價(jià)來避免混雜的。 凡是 可以 忽略的交互作用要盡量剔除，以便用較小 的正交表來制定試驗(yàn)計(jì)劃。而那些交互作用可以忽 略必須依賴實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和專業(yè)知識來判斷。 )2( 1516L 可見 容納不了這個(gè)多因子試驗(yàn)問題
28、 ， 只有選 用更大的正交表如 才能避免這種混雜現(xiàn)象 ， 所做的表頭設(shè)計(jì)如下： )2( 1516L )2( 78L 40 二、 因子的試驗(yàn)設(shè)計(jì)及其直觀分析法 n3例 8 5 1 研究氯乙醇膠在各種硫化系統(tǒng)下的性能 ， 需要考察的因子及水平如下： 水平 因子 一 二 三 A 補(bǔ)強(qiáng)劑 耐磨碳黑 噴霧碳黑 50 50 25 25 B 防老劑 NBC RD 4010 2 2 2 C 硫化系 統(tǒng) 二鹽基亞磷 酸鉛 四氧化三鉛 HMDAC#1 3 5 1.5 5 5 1.5 41 根據(jù)專業(yè)知識，交互作用可全部忽略。 （ 1） 根據(jù)正交表 ， 進(jìn)行表頭設(shè)計(jì) 。 由于 A、 B、 C都是三水平因子 ， 故選用
29、三水平正 交表 ， 三水平正交表與二水平正交表的重要區(qū)別： 它的每兩列的交互作用是另外兩列 ， 而不是一列 。 這是因?yàn)?， 三水平正交表每列的自由度為 2， 而兩 列的交互作用的自由度等于兩列的自由度相乘 ， 即 2 2=4所以要占兩個(gè)三水平列 。 有表可查 。 在本例中 ， 選三個(gè)三水平因子在正交表中占三列 ， 將 A、 B分別放在第 1， 2列 ， 由于 A B可忽略 ， 所 以改放其它因子 ， 將因子 C放在第 3列上 ， 得： 表頭設(shè) 計(jì) A B C 列 號 1 2 3 4 )3( 49L 42 （ 2） 試驗(yàn)設(shè)計(jì)與試驗(yàn)結(jié)果 試驗(yàn)計(jì)劃如下 ， 試驗(yàn)結(jié)果一列數(shù)值越接近零越好 。 列 號
30、 試驗(yàn)號 A 1 B 2 C 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 具體計(jì)算在正交表上直接進(jìn)行，見表 8.5.1 43 333jjTT 322 jj TT 113jjTT jR 表頭設(shè)計(jì) A B C 實(shí)驗(yàn)結(jié)果 列號 試驗(yàn)號 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 3 1 -7.25 -5.48 -5.35 -5.40 -4.42 -5.90
31、 -4.68 -5.90 -5.63 T1j -18.08 -17.33 -19.05 T=-50.01 T2j -15.72 -15.80 -16.51 T3j -16.21 -16.88 -14.45 -6.03 -5.78 -6.35 -5.24 -5.27 -5.50 -5.40 -5.63 -4.82 (極差 ) 2.36 1.53 4.6 44 8.6 方差分析 對于多因子試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果差異是： 由于各因子水平變化所引起 試驗(yàn)誤差（包括未加控制或無法控制的因子的 變化）所引起。 方差分析的目的就在于將試驗(yàn)誤差所引起的結(jié)果與 試驗(yàn)條件的改變（即各因子不同的水平變化）所引 起的結(jié)果差異
32、區(qū)分開來，以便能抓住問題的實(shí)質(zhì)。 還要將影響試驗(yàn)結(jié)果的主要因子和次要因子區(qū)分開 來，以便集中研究幾個(gè)主要因子。 45 例 8 6 1某一種抗菌素的發(fā)酵培養(yǎng)基由黃豆餅粉、 蛋白、葡萄糖、碳源 1號、 、 、無機(jī)鹽 1號等組成?，F(xiàn)打算對其中 五 個(gè)成分的最適配比，以及 最適裝量，按三種水平進(jìn)行試驗(yàn)，并將其中兩個(gè)成分 （黃豆餅粉與蛋白）合并為一個(gè)因子，這樣構(gòu)成一個(gè)五 因子三水平試驗(yàn)。 A黃豆餅粉蛋白（） ： 0.5+0.5, ： 1+1, : 1.5+1.5 B葡萄糖（） ： 4.5 ： 6.5 ： 8.5 C ( ) ： 0. ： 0.01 ： 0.03 D碳源 1號 ( ) ： 0.5 ： 1.
33、5 ： 2.5 E裝量 (毫升 /250毫升三角瓶 ) ： 30 ： 60 ： 90 42 POKH 3CaCO 1A 2 A 3A 1B 2B 3B 42 POKH 1C 2C 3C 1D 2D 3D 1E 2E 3E 46 表頭 設(shè)計(jì) A B AB AB C AC AC E AE AE D 列 號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 此外還需考察交互作用 A B、 A C、 A E。 總自由度為 5（ 3-1） +3（ 3-1）（ 3-1） =22， 為此查表 ，它有 26個(gè)自由度，可選它 來進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)的嘗試。得到了一張實(shí)現(xiàn)這一計(jì) 劃的試驗(yàn)結(jié)果。 )3( 1327
34、L 47 表 8.6.1 試驗(yàn)計(jì)劃與結(jié)果 42POKH 列 號 1 2 5 8 11 試 驗(yàn) 結(jié) 果 （） 因子 試驗(yàn)號 黃豆餅粉蛋白（） A 葡萄糖（） B （） C 裝量 (毫升 /250毫升 ) E 碳源 1號 ( ) D 1 0.5+0.5 4.5 0 30 0.5 68.9 2 0.5+0.5 4.5 0.01 60 1.5 54.0 3 0.5+0.5 4.5 0.03 90 2.5 37.0 4 0.5+0.5 6.5 0 60 2.5 65.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 0.5
35、+0.5 0.5+0.5 0.5+0.5 0.5+0.5 0.5+0.5 1+1 1+1 1+1 1+1 1+1 1+1 1+1 1+1 1+1 1.5+1.5 1.5+1.5 1.5+1.5 1.5+1.5 1.5+1.5 1.5+1.5 1.5+1.5 1.5+1.5 1.5+1.5 6.5 6.5 8.5 8.5 8.5 4.5 4.5 4.5 6.5 6.5 6.5 8.5 8.5 8.5 4.5 4.5 4.5 6.5 6.5 6.5 8.5 8.5 8.5 0.01 0.03 0 0.01 0.03 0 0.01 0.03 0 0.01 0.03 0 0.01 0.03 0 0.0
36、1 0.03 0 0.01 0.03 0 0.01 0.03 90 30 90 30 60 30 60 90 60 90 30 90 30 60 30 60 90 60 90 30 90 30 60 0.5 1.5 1.5 2.5 0.5 0.5 1.5 2.5 2.5 0.5 1.5 1.5 2.5 0.5 0.5 1.5 2.5 2.5 0.5 1.5 1.5 2.5 0.5 75.0 47.6 80.5 68.4 3806 92.5 115.0 90.0 86.3 97.1 117.0 98.5 113.0 79.5 69.0 110.0 91.2 85.8 115.5 129.5 65
37、.5 137.5 73.3 48 表 8.6.2 計(jì)算表 )3( 1327L 表頭 設(shè)計(jì) A B AB AB C AC AC E AE AE D 試驗(yàn)結(jié)果 y 列號 試驗(yàn) 號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.69 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 0.54 3 1 1 1 1 3 3 3 3 3 0.37 4 1 2 2 2 1 1 1 2 2 0.66 5 1 2 2 2 2 2 2 3 3 0.75 6 1 2 2 2 3 3 3 1 1 0.48 7 1 3 3 3 1 1 1 3 3 0.81 8 1 3 3
38、 3 2 2 2 1 1 0.68 9 1 3 3 3 3 3 3 2 2 0.39 10 2 1 2 3 1 2 3 1 0.93 11 2 1 2 3 2 3 1 2 1.15 12 2 1 2 3 3 1 2 3 0.90 13 2 2 3 1 1 2 3 2 0.86 14 2 2 3 1 2 3 1 3 0.97 15 2 2 3 1 3 1 2 1 1.17 16 2 3 1 2 1 2 3 3 0.99 49 17 2 3 1 2 2 3 1 1 1.13 18 2 3 1 2 3 1 2 2 0.80 19 3 1 3 2 1 3 2 1 0.69 20 3 1 3 2 2 1
39、 3 2 1.10 21 3 1 3 2 3 2 1 3 0.91 22 3 2 1 3 1 3 2 2 0.86 23 3 2 1 3 2 1 3 3 1.16 24 3 2 1 3 3 2 1 1 1.30 25 3 3 2 1 1 3 2 3 0.66 26 3 3 2 1 2 1 3 1 1.38 27 3 3 2 1 3 2 1 2 0.73 50 如果還用直觀分析法，就有以下兩個(gè)問題： 由于沒有對試驗(yàn)的誤差進(jìn)行估計(jì)，故無法分清某個(gè)因子的三 水平所對應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果的差異； 由于三水平因子的交互作用要占兩列，根據(jù)直觀分析就無法 考察交互作用影響的大小。 (1)計(jì)算各因子水平變化引起的差異
40、 ， 化簡得 23 1 )9(9 yTS ij i j 279 223222 TTTT S jjijj 由于三水平因子間的交互作用占兩列，所以因子間交互作用 的偏差平方和應(yīng)為兩列的偏差平方和相加。例： 43 SSS BA 51 (2)誤差的偏差平方和的計(jì)算 對于正交表中誤差的偏差平方和的計(jì)算，可以利用正交表中未排 因子的空白列的偏差平方和來計(jì)算； 如果其它列的偏差平方和與空白列的偏差平方和相接近，那也以 合并起來作為 5誤差估計(jì)。 ， 及 原是考察 A B、 A E的，經(jīng)計(jì)算其數(shù)值與 空白列相近，說明 A與 B、 A與 E之間不存在交互作用。 2.0109431312 SSSSSSS e 43
41、 SS 109 SS 52 因子及其交互作用的顯著性檢驗(yàn) 分別計(jì)算因子的 F比如下： 47.26 122.0 29.0 ee AA A fS fSF 47.1 122.0 205.0 ee BB B fS fSF 76.6122.0 223.0 ee CC C fS fSF 71.4122.0 432.0 ee CACA CA fS fSF 53 9.01 SS A 05.02 SS B 23.05 SS c 11.08 SS E 07.011 SS D 32.076 SSS CA 2.0eS 方差來源 偏差平方和 自由度 平均偏差 平方和 F比 顯著性 A 2 0 45 26 47 * B
42、2 0 025 1 47 C 2 0 115 6 76 * E 2 0 055 3 24 D 2 0 035 2 06 A C 4 0 08 4 71 * 誤 差 12 0 017 方差分析表 54 對于顯著的交互作用 A C作如下的交互作用表： 交互作用表 1A 2 A 3A 1C 2C 3C C A 2.149 2.773 2.203 1.974 3.251 3.630 1.232 2.865 2.940 注 :要區(qū)分各因子對指標(biāo)影響是否顯著 ,須先求出誤差的估計(jì) ,而是通 過正交表中的空白列獲得的 ,我們在今后的表頭設(shè)計(jì)中需留出一些空 白列 ,供方差分析用。 eS 55 一般所用的計(jì)算公式 (1) 各列偏差平方和 的計(jì)算 jS CT mp l S jjj 222 )(21 水平對應(yīng)的數(shù)據(jù)和第 其中 分別為第列中與水平 “ 1” ,“ 2” , 對應(yīng)的數(shù) 據(jù) 之和 (在重復(fù) m 次試驗(yàn)時(shí) , 表示同一號試驗(yàn)的 m個(gè) 數(shù) 據(jù)的合計(jì) ),p為列中水平的重復(fù)數(shù) ,m為重復(fù)取樣數(shù) ,CT為不 變項(xiàng) 22 21 jj jy jy n i m k ikyGmn GCT 1 1 2 ,)( 試驗(yàn)總次數(shù) 所有數(shù)據(jù)總和 56 9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的分布 C3 C2 C1 A 1 A2 A3 B1 B2 B3 1 2 3 4 5 6 7 8 9
南京理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第八章正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)
