《任意角和弧度制》教案

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1、《任意角和弧度制》教案 篇一：人教A版高中數(shù)學(xué)必修四 1.1《任意角和弧度制》教案 1.1 《任意角和弧度制》教案 【教學(xué)目標(biāo)】 1.理解任意角的概念. 2.學(xué)會(huì)建立直角坐標(biāo)系討論任意角，判斷象限角，掌握終邊相同角的集合的書寫. 3.了解弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的換算. 4.認(rèn)識(shí)弧長公式，能進(jìn)行簡單應(yīng)用.對(duì)弧長公式只要求了解，會(huì)進(jìn)行簡單應(yīng)用，不必在應(yīng)用方面加深. 5.了解角的集合與實(shí)數(shù)集建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)分析、解決問題. 【導(dǎo)入新課】 復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)過的知識(shí)：角的度量、圓心角的度數(shù)與弧的度數(shù)及弧長的關(guān)系 提出問題： 1．初中所學(xué)角的概念.

2、 2．實(shí)際生活中出現(xiàn)一系列關(guān)于角的問題. 3.初中的角是如何度量的？度量單位是什么？ 4.1的角是如何定義的？弧長公式是什么？ 5.角的范圍是什么？如何分類的？ 新授課階段 一、角的定義與范圍的擴(kuò)大 1．角的定義：一條射線繞著它的端點(diǎn)O，從起始位置OA旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，形成 一個(gè)角?，點(diǎn)O是角的頂點(diǎn)，射線OA,OB分別是角?的終邊、始邊. 說明：在不引起混淆的前提下，“角?”或“??”可以簡記為?． 2．角的分類： 正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角； 負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角； 零角：如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它為零角. 說明：零角的始邊和終邊重

3、合. 3．象限角： 在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)軸重合，則 （1）象限角：若角的終邊（端點(diǎn)除外）在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角. 例如：30?,390?,?330?都是第一象限角；300?,?60?是第四象限角. （2）非象限角（也稱象限間角、軸線角）：如角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限.例如：90?,180?,270?等等. 說明：角的始邊“與x軸的非負(fù)半軸重合”不能說成是“與x軸的正半軸重合”.因?yàn)? x軸的正半軸不包括原點(diǎn)，就不完全包括角的始邊，角的始邊是以角的頂點(diǎn)為其端點(diǎn)的 射線. 4．終邊相同的角的集合：由特

4、殊角30看出：所有與30角終邊相同的角，連同30角自身在內(nèi)，都可以寫成30?k?360 ? ?? ? ? ?k?Z? 的形式；反之，所有形如 30??k?360??k?Z?的角都與30?角的終邊相同.從而得出一般規(guī)律： 所有與角?終邊相同的角，連同角?在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合 S???|????k?360?,k?Z?， 即：任一與角?終邊相同的角，都可以表示成角?與整數(shù)個(gè)周角的和. 說明：終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同. 例1在0與360范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限角？ （1）?120；（2）640；（3）?95

5、012?. ? ?? ?? 解：（1）?120?240?360， 所以，與?120角終邊相同的角是240，它是第三象限角； （2）640?280?360， 所以，與640角終邊相同的角是280角，它是第四象限角； （3）?95012??12948??3?360， ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? 所以，?95012?角終邊相同的角是12948?角，它是第二象限角. ? ? 例2 若??k?360??1575?,k?Z，試判斷角?所在象限. 解：∵??k?360??1575?(k?5)?360??225?

6、, (k?5)?Z ∴?與225終邊相同， 所以，?在第三象限. ? 例3 寫出下列各邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式?360????720?的元素? 寫出來：（1）60；（2）?21；（3）36314?． ? ? ? ?? 解：（1）S??|??60?k?360,k?Z， ?? S中適合?360????720?的元素是 60??1?360???300?, 60??0?360??60?, ?60??1?360??420. ?? （2）S??|???21?k?360,k?Z， ?? S中適合?360????720?的元素是

7、 ?21??0?360???21?, ?21??1?360??339?, ?21??2?260??699? ?? （3）S??|??36314??k?360,k?Z ?? S中適合?360????720?的元素是 363?14??2?360???356?46?, 363?14??1?360??3?14?, ?363?14??0?360??363?14.例4 寫出第一象限角的集合M． 分析：（1）在360內(nèi)第一象限角可表示為0???90； （2）與0,90終邊相同的角分別為0?k?360,90?k?360,(k?Z)； （3）第一象限角的集合就

8、是夾在這兩個(gè)終邊相同的角中間的角的集合，我們表示為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? M???|k?360????90??k?360?,k?Z?． 學(xué)生討論，歸納出第二、三、四象限角的集合的表示法： P???|90??k?360????180??k?360?,k?Z?； N???|90??k?360????180??k?360?,k?Z?； Q???|270??k?360????360??k?360?,k?Z?． 說明：區(qū)間角的集合的表示不唯一. 例5寫出y??x(x?0)所夾區(qū)域內(nèi)的角的集合. ?? 解：當(dāng)?終邊落在y?x(x

9、?0)上時(shí)，角的集合為?|??45?k?360,k?Z； ?? ?? 當(dāng)?終邊落在y??x(x?0)上時(shí)，角的集合為?|???45?k?360,k?Z； ?? ???? 所以，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)有集合：S??|?45?k?360???45?k?360,k?Z． ?? 二、弧度制與弧長公式 1.角度制與弧度制的換算： ∵360?=2?（rad）， ∴180?=? rad. ∴ 1?= ? 180 rad?0.01745rad. ? ?180??? 1rad????57.30?5718. ??? o S l 2．弧長公式：

10、l?r?. 由公式：? ln?r?l?r??.比公式l?簡單. r180 1 lR，其中l(wèi)是扇形弧長，R是圓的半徑. 2 弧長等于弧所對(duì)的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對(duì)值與半徑的積 3．扇形面積公式 S?注意幾點(diǎn)： 1． 今后在具體運(yùn)算時(shí)，“弧度”二字和單位符號(hào)“rad”可以省略，如：3表示3rad ， sin?表示?rad角的正弦； 2．一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)值應(yīng)該記?。? 3．應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實(shí)數(shù)的集合之間建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 任意角的集合 實(shí)數(shù)集R 例6 把下列各角從度化為弧度：

11、 (1)252?；（2）1115；(3) 30；(4)67?30. 解：(1) / 71 ? （2）0.0625? (3) ? (4) 0.375? 56 變式練習(xí)：把下列各角從度化為弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o. 解：(1) ?；（2）? 18720?；(3)?. 63 例7 把下列各角從弧度化為度： （1）?；(2) 3.5；(3) 2；(4) 3 5?. 4 解：（1）108 o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o. 變式練習(xí)：把下列各角從弧度化為度： （1） ?4?3? ；（2）

12、-；（3）.12310 解：（1）15 o；（2）-240o；（3）54o. 例8 知扇形的周長為8cm，圓心角?為2rad，，求該扇形的面積. 解：因?yàn)?R+2R=8,所以R=2,S=4. 課堂小結(jié) 1．弧度制的定義； 2．弧度制與角度制的轉(zhuǎn)換與區(qū)別； 3．牢記弧度制下的弧長公式和扇形面積公式，并靈活運(yùn)用； 篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 教學(xué)目標(biāo)：要求學(xué)生掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解任意角的概念，學(xué)會(huì)在平面內(nèi)建立 適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來討論角；并進(jìn)而理解“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。 教學(xué)重點(diǎn)：理解“正角”“負(fù)

13、角”“象限角”“終邊相同的角”的含義 教學(xué)難點(diǎn)：“旋轉(zhuǎn)”定義角 課標(biāo)要求：了解任意角的概念 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí) 師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了角的概念的推廣，推廣后的角分為正角、負(fù)角和零角；另外還學(xué)習(xí)了象限角的概念，下面請(qǐng)一位同學(xué)敘述一下它們的定義。 生：略 師：上節(jié)課我們還學(xué)習(xí)了所有與α角終邊相同的角的集合的表示法，[板書] 0S={β|β=α+k360，k∈Z} 這節(jié)課我們將進(jìn)一步學(xué)習(xí)并運(yùn)用角的概念的推廣，解決一些簡單問題。 二、例題選講 00例1寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式-360≤β<720的元素β 寫出來：

14、000，（1）60； （2）-21； （3）36314 0000解：（1）S={β|β=60+k360，k∈Z}S中適合-360≤β<720的元素是 00000000060+（-1）360=-30060+0360=6060+1360=420. 0000（2）S={β|β=-21+k360，k∈Z} S中適合-360≤β<720的元素是 000 000 000 -21+0360=-21 -21+1360=339-21+2360=699 0000說明：-21不是0到360的角，但仍可用上述方法來構(gòu)成與-21角終邊相同的角的集合。 0，000（3）S={β|β

15、=36314+k360，k∈Z} S中適合-360≤β<720的元素是 0，00， 0，00，0，00，36314+（-2）360=-3564636314+（-1）360=31436314+0360=36314 說明：這種終邊相同的角的表示法非常重要，應(yīng)熟練掌握。 例2．寫出終邊在下列位置的角的集合 (1)x軸的負(fù)半軸上；（2）y軸上 分析：要求這些角的集合，根據(jù)終邊相同的角的表示法，關(guān)鍵只要找出符合這個(gè)條件的一個(gè) 0角即α，然后在后面加上k360即可。 ○○0解：（1）∵在0～360間，終邊在x軸負(fù)半軸上的角為180，∴終邊在x軸負(fù)半軸上 00的所有角構(gòu)成

16、的集合是{β|β=180+k360，k∈Z } ○○000（2）∵在0～360間，終邊在y軸上的角有兩個(gè)，即90和270，∴與90角終邊相 00同的角構(gòu)成的集合是S1={β|β=90+k360，k∈Z } 000同理，與270角終邊相同的角構(gòu)成的集合是S2={β|β=270+k360，k∈Z } 提問：同學(xué)們思考一下，能否將這兩條式子寫成統(tǒng)一表達(dá)式？ 師：一下子可能看不出來，這時(shí)我們將這兩條式子作一簡單變化： 0000S1={β|β=90+k360，k∈Z }={β|β=90+2k180，k∈Z }??????（1） 00000S2={β|β=270+k360，k∈

17、Z }={β|β=90+180+2k180，k∈Z } 00={β|β=90+（2k+1）180，k∈Z } ???????（2） 0師：在（1）式等號(hào)右邊后一項(xiàng)是180的所有偶數(shù)（2k）倍；在（2）式等號(hào)右邊后一項(xiàng)是 00180的所有奇數(shù)（2k+1）倍。因此，它們可以合并為180的所有整數(shù)倍，（1）式和（2）式 可統(tǒng)一寫成90+n180（n∈Z），故終邊在y軸上的角的集合為 0000S= S1∪S2 ={β|β=90+2k180，k∈Z }∪{β|β=90+（2k+1）180，k∈Z } 00={β|β=90+n180，n∈Z } 處理：師生討論，教師板演。

18、提問：終邊落在x軸上的角的集合如何表示？終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合如何表示？ 00（思考后）答：{β|β=k180，k∈Z },{β|β=k90，k∈Z } 進(jìn)一步：終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合如何表示？ 00答：{β|β=45+n180，n∈Z } 0推廣：{β|β=α+k180，k∈Z }，β，α有何關(guān)系？（圖形表示） 處理：“提問”由學(xué)生作答；“進(jìn)一步”教師引導(dǎo)，學(xué)生作答；“推廣”由學(xué)生歸納。 例1 若?是第二象限角，則2?，00??，分別是第幾象限的角？ 23 師：?是第二象限角，如何表示？ 0000解：（1）∵?是第二象限角，∴90+k360&

19、lt;?<180+k360（k∈Z） 0000∴ 180+k720<2?<360+k720 ∴2?是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上。 ．．．．．．．． （2）∵k?180??45??? 2?k?180??90(k?Z)， 處理：先將k取幾個(gè)具體的數(shù)看一下（k=0，1，2，3?），再歸納出以下規(guī)律： ?是第一象限的角； 22 ??????當(dāng)k?2n?1(n?Z)時(shí)，n?360?225??n?360?270(k?Z)，是第三象限的22當(dāng)k?2n(n?Z)時(shí)，n?360??45????n?360??90?(k?Z)， 角。 ∴?是第

20、一或第三象限的角。 2 ?是第一或第二或第四象限的角） 3說明：配以圖形加以說明。 （3）學(xué)生練習(xí)后教師講解并配以圖形說明。（ 進(jìn)一步求??是第幾象限的角（??是第三象限的角），學(xué)生練習(xí)，教師校對(duì)答案。 三、例題小結(jié) 1． 要注意某一區(qū)間內(nèi)的角和象限角的區(qū)別，象限角是由無數(shù)各區(qū)間角組成的； 2． 要學(xué)會(huì)正確運(yùn)用不等式進(jìn)行角的表述同時(shí)要會(huì)以k取不同的值討論型如 0θ=a+k120（k∈Z）所表示的角所在的象限。 四、課堂練習(xí) 練習(xí)2 若?的終邊在第一、三象限的角平分線上，則2?的終邊在y軸的非負(fù)半軸上. 練習(xí)3 若?的終邊與60角的終邊相同，試寫出在（0，360

21、）內(nèi)，與000?角的終邊相同的3 角。 （20，140，260） （備用題）練習(xí)4 如右圖，寫出陰影部分（包括邊界）的角 0，的集合，并指出-95012是否是該集合中的角。 000 （{α| 120+k360≤α≤250+k360，k∈Z}；是） 0000 探究活動(dòng) 經(jīng)過5小時(shí)又25分鐘，時(shí)鐘的分針、時(shí)針各轉(zhuǎn)多少度？ 五、作業(yè) A組: 1．與 終邊相同的角的集合是___________，它們是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大負(fù)角是___________． 2．在0o~360o范圍內(nèi)，找出下列各角終邊相同的

22、角，并指出它們是哪個(gè)象限的角： （1）－265? （2）－1000o （3）－843o10’ （4）3900o B組 3．寫出終邊在x軸上的角的集合。 4．寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－360o≤β＜360o的元素寫出來： (1)60o (2)－75o (3) －824o30’ (4) 475o (5) 90o (6) 270o (7) 180o (8) 0oC組：若 是第二象限角時(shí)，則 ， ， 分別是第幾象限的角？ 篇三：1.1 任意角和弧度制 教學(xué)設(shè)計(jì) 教案 教學(xué)準(zhǔn)備 1.教學(xué)目標(biāo) 1、知識(shí)與技能 （

23、1）推廣角的概念、引入正角和負(fù)角；（2）理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義； （3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法；（5）樹立運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)，深刻理解推廣后的角的概念. 2、過程與方法 通過創(chuàng)設(shè)情境：“轉(zhuǎn)體，逆（順）時(shí)針旋轉(zhuǎn)2周”，角有正角、零角和旋轉(zhuǎn)方向不同所形成的角等，引入正角、負(fù)角和零角的概念；角的概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標(biāo)系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出幾個(gè)終邊相同的角，畫出終邊所在的位置，找出它們的關(guān)系，探索具有相同終邊的角的表示. 3、情態(tài)與價(jià)值 通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)角的概念有了

24、一個(gè)新的認(rèn)識(shí)，即有正角、負(fù)角和零角之分.角的概念推廣以后，知道角之間的關(guān)系.學(xué)會(huì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事物. 2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn) 重點(diǎn): 理解正角、負(fù)角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法. 難點(diǎn): 終邊相同的角的表示. 3.教學(xué)用具 多媒體 4.標(biāo)簽 任意角 教學(xué)過程 【創(chuàng)設(shè)情境】 思考:你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準(zhǔn)的？假如你的手表快了1.25小時(shí)，你應(yīng) 當(dāng)如何將它校準(zhǔn)？當(dāng)時(shí)間校準(zhǔn)以后，分針轉(zhuǎn)了多少度？ [取出一個(gè)鐘表,實(shí)際操作]我們發(fā)現(xiàn)，校正過程中分針需要正向或反向旋轉(zhuǎn)，有時(shí)轉(zhuǎn)不到一周，有時(shí)轉(zhuǎn)一周以上,這就是說角已不僅僅局限于之間，這正是我

25、們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容——任意角. 【探究新知】 1．初中時(shí)，我們已學(xué)習(xí)了角的概念，它是如何定義的呢？ [展示投影]角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.如圖1.1-1，一條射線由原來的位置，繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，就形成角.旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線叫做角的始邊， 叫終邊，射線的端點(diǎn)叫做叫的頂點(diǎn). 2.如上述情境中所說的校準(zhǔn)時(shí)鐘問題以及在體操比賽中我們經(jīng)常聽到這樣的術(shù)語：“轉(zhuǎn)體” （即轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)體”（即轉(zhuǎn)體3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角.同學(xué)們思考一下:能否再舉出幾個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中“大于的角或按不同方向旋轉(zhuǎn)而

26、成的角”的例子,這些說明了什么問題?又該如何區(qū)分和表示這些角呢? [展示課件]如自行車車輪、螺絲扳手等按不同方向旋轉(zhuǎn)時(shí)成不同的角, 這些都說明了我們研究推廣角概念的必要性. 為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角(positive angle),按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角(negative angle).如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角(zero angle). [展示課件]如教材圖1.1.3(1)中的角是一個(gè)正角,它等于；圖1.1.3(2)中，正角，負(fù)角；這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（any angle）,包括正角、負(fù)角和零角. 為了

27、簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可簡記為. 3.在今后的學(xué)習(xí)中，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此我們必須了解象限角這個(gè)概念. 角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角(quadrant angle).如教材圖1.1-4中的角、角分別是第一象限角和第二象限角.要特別注意:如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限,稱為非象限角. 4.[展示投影]練習(xí): (1)(口答)銳角是第幾象限角?第一象限角一定是銳角嗎?再分別就直角、鈍角來回答這兩個(gè)問題. (2)(回答)今天是星期三，那么天后

28、的那一天是星期幾? 天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾? 5.探究:將角按上述方法放在直角坐標(biāo)系中后,給定一個(gè)角,就有唯一的一條終邊與之對(duì)應(yīng).反之,對(duì)于直角坐標(biāo)系中任意一條射線(如圖1.1-5),以它為終邊的角是否唯一?如果不惟一,那么終邊相同的角有什么關(guān)系?請(qǐng)結(jié)合4.(2)口答加以分析. [展示課件]不難發(fā)現(xiàn),在教材圖1.1-5中,如果 角的終邊都是,而 . 的終邊是,,那么 設(shè),則角都是的元素,角也是的元素.因此,所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),都是集合的元素；反過來，集合的任一元素顯然與角終邊相同. 一般地,我們有:所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合 ,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角 與整數(shù)個(gè)周角的和. 6.[展示投影]例題講評(píng) 例1.在范圍內(nèi)，找出與角 象限角.（注：是指 例2.寫出終邊在軸上的角的集合. 上的角的集合,并把中適合不等式終邊相同的角，并判定它是第幾） 例3.寫出終邊直線在 的元素寫出來. 課堂小結(jié) (1) 你知道角是如何推廣的嗎? (2) 象限角是如何定義的呢? (3) 你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎?會(huì)寫終邊落在 上的角的集合. 課后習(xí)題 軸、軸、直線 板書 《《任意角和弧度制》教案》