高考沖刺 三角函數(shù)的概念圖像與性質(提高)

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1、高考沖刺 三角函數(shù)的概念圖象和性質 編稿：孫永釗 審稿：張林娟 【高考展望】 近幾年高考降低了對三角變換的考查要求，而加強了對三角函數(shù)的圖象與性質的考查，因為函數(shù)的 性質是研究函數(shù)的一個重要內(nèi)容，是學習高等數(shù)學和應用技術學科的基礎，又是解決生產(chǎn)實際問題的工具， 因此三角函數(shù)的性質是本章復習的重點。在復習時要充分運用數(shù)形結合的思想，把圖象與性質結合起來， 即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質，或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質，同時也要 能利用函數(shù)的性質來描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質，又能熟練地運用數(shù)形結合的 思想方

2、法 三角函數(shù)是傳統(tǒng)知識內(nèi)容中變化最大的一部分，新教材處理這一部分內(nèi)容時有明顯的降調傾向，突出 正、余弦函數(shù)的主體地位，加強了對三角函數(shù)的圖象與性質的考查，因此三角函數(shù)的性質是本章復習的重 點。第一輪復習的重點應放在課本知識的重現(xiàn)上，要注重抓基本知識點的落實、基本方法的再認識和基本 技能的掌握，力求系統(tǒng)化、條理化和網(wǎng)絡化，使之形成比較完整的知識體系；第二、三輪復習以基本綜合 檢測題為載體，綜合試題在形式上要貼近高考試題，但不能上難度。當然，這一部分知識最可能出現(xiàn)的是 “結合實際，利用少許的三角變換（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的應用）來考查三角函數(shù)性

3、 質”的命題，因此，建議三角函數(shù)的復習應控制在課本知識的范圍和難度上，這樣就能夠適應未來高考命 題趨勢。 從近幾年高考試題來看，對三角函數(shù)的考查：一是以選擇填空的形式考查三角函數(shù)的性質及公式的應 用，一般占兩個小題；二是以解答題的形式綜合考查三角恒等變換、y =A sin(wx +j) 與向量等其他知識綜合及三角函數(shù)為背景的實際問題等.  的性質、三角函數(shù) 預測今年，考查形式不變，選擇、填空題以考查三角函數(shù)性質及公式應用為主，解答題將會以向量為 載體，考查三角函數(shù)的圖象與性質或者與函數(shù)奇偶性、周期性、最值等相結合，以小型綜合題形式出現(xiàn). 【知識升華】

4、 方法技巧： 1.八大基本關系依據(jù)它們的結構分為倒數(shù)關系、商數(shù)關系、平方關系，用三角函數(shù)的定義反復證明強化記 憶，這是最有效的記憶方法。誘導公式用角度制和弧度制表示都成立，記憶方法可概括為“奇變偶不變， 符號看象限”，變與不變是相對于對偶關系的函數(shù)而言的 2.三角函數(shù)值的符號在求角的三角函數(shù)值和三角恒等變換中，顯得十分重要，根據(jù)三角函數(shù)的，可簡記為 “一全正，二正弦，三兩切，四余弦”，其含義是：在第一象限各三角函數(shù)值皆為正；在第二象限正弦值 為正；在第三象限正余切值為正；在第四象限余弦值為正 第 1 頁 共 21 頁 ． ．．．．．．．．．．．．

5、左 ( >0)或向右( 橫 坐標伸長(01) 3.在利用同角三角函數(shù)的基本關系式化簡、求值和證明恒等關系時，要注意用是否“同角”來區(qū)分和選用 公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等數(shù)學思想方法的運用，在利用誘導公式進行三角式的化簡、 求值時，要注意正負號的選取 4.求三角函數(shù)值域的常用方法： 求三角函數(shù)值域除了判別式、重要不等式、單調性等方法之外，結合三角函數(shù)的特點，還有如下方法： （1）將所給三角函數(shù)轉化為二次函數(shù)，通過配方法求值域； （2）利用  sin x ,cos x  的有界性求值域； （3）換元法，利用

6、換元法求三角函數(shù)的值域，要注意前后的等價性，不能只注意換元，不注意等價性 5. 三角函數(shù)的圖象與性質 （一）列表綜合三個三角函數(shù) ⑴最值的情況；  y =sin x ， y =cos x ， y =tan x  的圖象與性質，并挖掘： ⑵了解周期函數(shù)和最小正周期的意義．會求  y =A sin(wx +j)  的周期，或者經(jīng)過簡單的恒等變形可化為上 述函數(shù)的三角函數(shù)的周期，了解加了絕對值后的周期情況； ⑶會從圖象歸納對稱軸和對稱中心； y =sin x  的對稱軸是  x =kp+ p 2  ( k ?Z

7、)  ，對稱中心是  ( kp  ,0) ( k ?Z )  ； y =cos x  的對稱軸是  x =kp ( k ?Z )  ，對稱中心是  ( kp+ p 2  ,0) ( k ?Z ) y =tan x  的對稱中心是  ( kp 2  ,0)( k ?Z ) 注意加了絕對值后的情況變化. ⑷寫單調區(qū)間注意  w >0  . （二）了解正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象的畫法，會用“五點法”畫正弦、余弦函數(shù)和函數(shù) 的簡圖，并能由圖象寫出解析式．

8、⑴“五點法”作圖的列表方式；  y =A sin(wx +j) ⑵求解析式  y =A sin(wx +j)  時處相  j  的確定方法：代（最高、低）點法、公式  x =- 1 j w  . （三）正弦型函數(shù) 先平移后伸縮  y =A sin(wx +j)  的圖象變換方法如下： y =sin x 的圖象  ?向??j???j?<0)? 平移 j個單位長度 得 y =sin( x +j)的圖象  ????????? ? 1 到原來的 ( 縱坐標不變) w 第 2

9、 頁 共 21 頁 向 ( k ( k 0) 標 長 或 短 向 左 ( 得 y =sin(wx +j)的圖象 ?縱?坐?標伸?長(?A>1)?或縮?短(?00)?或?下?1)?縮?(?0

10、 x 的圖象  ???橫坐標伸?長(0?????1)? 1 到原來的 ( 縱坐標不變) w 得 y =A sin(wx ) 的圖象  ???j>?0)或????向右(j<0) j 平移 個單位 w 得 y =A sin x (wx +j)的圖象 【典型例題】 類型一、三角函數(shù)的概念  ?向?上(?k>0)?或向?下?(k<0)?? 平移 k 個單位長度  得 y =A sin(wx +j)+k 的圖象． 【例 1】在平面直角坐標系 xOy 中，將點 A(1， 3 )繞原點 O 順時針旋轉 90°到點 B，那

11、么點 B 的坐標為 ________；若直線 OB 的傾斜角為 α，則 sin 2α 的值為________． 【思路點撥】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出點 B 的坐標，進而求出角α，可求 sin 2α. 【答案】( 3 ，－1) － 【解析】如圖所示，  3 2 ∵點 A 的坐標為( 3 ，1)， ∴∠AOx＝60°，又∠AOB＝90°，∴∠BOx＝30°， 過 B 作 BC⊥x 軸于 C， ∵OB＝2， ∴OC＝ 3 ，BC＝1， ∴點 B 的坐標為(  3  ，－1)， 則直線 OB 的傾斜角為  5

12、 6  p  ，即 α＝  5 6  p  ， ∴sin 2α＝sin  5 3  p  2 3 ＝－sin p＝－ 3 2  . 【總結升華】三角函數(shù)的定義與誘導公式的應用 (1)三角函數(shù)的定義是推導誘導公式及同角三角函數(shù)基本關系式的理論基礎，應用三角函數(shù)的定義求三角 函數(shù)值有時反而更簡單． 第 3 頁 共 21 頁 (2)應用誘導公式化簡三角函數(shù)式，要注意正確地選擇公式，注意公式的應用條件． 舉一反三： 【變式】在(0,2π)內(nèi)，使sin x＞cos x 成立的 x 的取值范圍為

13、 A.  ( p p 5p p p 5p p 5p 3p , ) è (p, ) B. ( , p) C. ( , ) D. ( , p) è ( , ) 4 2 4 4 4 4 4 4 2 答案 C 【解析】在單位圓中畫三角函數(shù)線，如圖所示，要使在(0,2π)內(nèi)，sin x＞cos x，則 x∈  ( p 5p , ) 4 4  . 【例 2】已知角α的終邊落在直線 3x+4y=0 上，求 sinα,cosα,tanα的值。 【思路點撥】本題求α的三角函數(shù)值，依據(jù)三角函數(shù)的定義，可在角α的終邊上任意一點 P（4t,-

14、3t）(t ≠0)，求出 r，由定義得出結論。 【解析】∵角α的終邊在直線 3x+4y=0 上，∴在角α的終邊上任取一點 P（4t,-3t）(t≠0)，則 x=4t,y=-3t., r=  x  2 +y 2 = (4t ) 2 +( -3t ) 2  =5|t|, 當 t>0 時，r=5t,sinα=  y -3t = r 5t  3 x 4t 4 y -3t 3 =- , cos a = = = ， tan a = = =- 5 r 5t 5 x 4t 4  ； y -3t 3 當 t<0 時，r=-5t，sinα

15、= = = ， cos r -5t 5 x 4t 4 a = = =- ， tan r -5t 5 y -3t 3 a = = =- x 4t 4  。 綜上可知，sinα=  - 3 4 3 3 4 3 ， cos a = ， tan a =- ；或 sinα= , cos a =- , tan a =- 5 5 4 5 5 4  . 【總結升華】已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離， 然后用三角函數(shù)的定義來求相關問題，若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的α值。若角α的終邊 落在某條直線

16、上，一般要分類討論。 舉一反三： 【變式】 已知角q的終邊上的一點p（- 3，m） 且 sin q=  2 4  m, 求 cos q+tan q的值。 第 4 頁 共 21 頁 ì ? ? ? ? ? ? ? ? 【解析】由三角函數(shù)的定義得sin q= m 3+m  2 = 2 m 4 , 所以 m =0,或m = ± 5 . 當m =0時，cosq+tanq= -1 ； 當m = 5時，cos q+tanq=-  6 15 - ； 4 3

17、 當m =- 5時，cos  q+tanq=- 6 15 + 4 3  . 類型二、同角三角函數(shù)基本關系 【例 3】已知 α 是三角形的內(nèi)角，且 sinα+cosα=  1 5  .（1）求 tanα的值；（2）把  cos  2 1 a-sin  2  a  用 tan α表示出來，并求其值。 【思路點撥】（1）由 sinα+cosα= 1 及 sin2α+cos2α=1,可求 sinα, cosα的值； 5 （2）sin2α+cos2α=1，分子、分母同除以 cos2α即

18、可。 ?sin 【解析】（1）方法一：聯(lián)立方程 í  a+cos  a =  1 5 sin 2 a+cos 2 a =1 整理得  25sin 2 a-5sin a-12 =0 ∵α是三角形內(nèi)角， ì 4 sin a = ? 5 ∴ í 3 cos a =- ?? 5  ∴tanα=  -  4 3 方法二：∵sinα+cosα=  1 5  ，∴(sinα+cosα)2=( 1 )2 5 即  1 +2sin acos a = 

19、1 24 ，∴ 2sin acos a =- 25 25 ∴(sinα-cosα)2= 49 25 ∵  sin  acos  a =- 12 25  <0且0 0,cosα<0,∴sinα- cosα>0, ∴sinα- cosα= 7 5  , ì 1 ì 4 sin a+cos a = sin a = ? 5 ? 5 由 í 得 í 7 3 sin a-cos a = cos a =- ?? 5 ?? 5 第 5 頁 共 21 頁 弓 扇

20、D 扇 ∴tanα=  - 4 3 sin  2  a+cos  2  a （2）  cos  2 1 sin 2 = a-sin 2 a cos 2 a+cos 2 a-sin 2 a = a cos  2 cos 2 a a-sin  2 tan 2 a+1 = a 1 -tan 2 a cos 2 a ∵tanα=  -  4 3 ∴  cos  2  1 tan 2 a+1 = a-sin 2 a

21、 1 -tan 2 a  = 4 ( - ) 2 +1 3 4 1 -( - ) 2 3  25 =- . 7 【總結升華】（1）對于 sinα+cosα，sinαcosα，sinα-cosα這三個式子，已知其中一個式子的值，其 余二式的值可求。轉化的公式為(sinα±cosα)2=1±2 sinαcosα;（2）關于 sinα，cosα的齊次式， 往往化為關于 tanx 的式子。 【例 4】已知一扇形的圓心角是α，所在圓半徑是 R。 （1） 若α=600，R=10cm,求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積。 （2） 若扇形的周長是一定值

22、 C（C>0），當α是多少弧度時，該扇形有最大面積？ 【思路點撥】（1）利用弧長、面積公式求解；（2）把扇形面積用α表示出來，或用弧長表示出來，然后求 出函數(shù)的最值。 【解析】（1）設弧長為 l ，弓形面積為 S ， 弓 a =60  0  =  p 3  , R =10, 10 p(cm), \ l = 3 1 10 1 S =S -S = ′ p′10 - ′10 2 3 2 p 3 )( cm2 ). =50( - 3 2  2  ′sin 60  0  , （2）方法一：∵扇

23、形周長 C=2R+ 1 1 C 2 S = a×R2 = a( ) 2 2 2 +a  l  =2R+φR,∴R= C 2 +a = C 2 1 C 2 a× = × 2 4 +4a+a2 2 1 4 +4a+ C 2 ￡ 4 16 a  . ∴當且僅當  a =  4 a  ，即α=2（α=-2 舍去）時，扇形面積有最大值  C 2 16  。 第 6 頁 共 21 頁 max 方法二：由已知 2R+ l =C, C -l \ R = (l

24、 S = 1 1 C -l 1 Rl = × ×l = (Cl -l 2 2 2 4  2  ) 1 C C 2 =- (l - ) 2 + 4 2 16 ∴當  l -  C C 2 時， S = ， 2 16 C 此時 l a = = R 2 C -  C 2  =2. 2 C 2 ∴當α=2 弧度時，扇形面積有最大值 。 16 【總結升華】合理選擇變量，把扇形面積表示出來，體現(xiàn)了函數(shù)的思想，針對不同的函數(shù)類型，采用不同 的方法求最值，這是解決問題的關鍵。

25、 舉一反三： 【變式】若  cos  a+2sin  a =- 5,  則  tan  a  =( ) （A）  1 1 （B）2 （C） - 2 2  （D）  -2 【解析】由  cos a+2sin a =- 5  可得：由  cos a =- 5 -2sin a  ， 又由  sin  2  a+cos  2  a =1 ，可得： sin 2 a ＋（ - 5 -2sin  a  ）2＝1 2 5 5 a

26、sin ， cos a =- 5 -2sin a＝－ 可得 ＝－ ， 5 5 sin a a tan 所以， ＝ ＝2。 cos a 【總結升華】 對于給出正弦與余弦的關系式的試題，要能想到隱含條件：  sin  2  a+cos  2  a =1  ，與它聯(lián)系 成方程組，解方程組來求解。 第 7 頁 共 21 頁 2 類型三、誘導公式 【例 5】化簡：  sin( k p-a)cos[( k -1)p-a] sin[( k +1)p+a]cos( k p+a)  (

27、k ?Z ) 【思路點撥】化簡時注意觀察題設中的角出現(xiàn)了 k p ，需討論 k 是奇數(shù)還是偶數(shù)。 【解析】當  k =2 n ( n ?Z )  時， 原式 =  sin(2 np-a)cos[(2 n -1)p-a] sin( -a)cos( -p-a) = sin[(2 n +1)p+a]cos(2 np-a) sin(p+a)cos a = -sin a( -cos a) -sin a cos a  =-1 當  k =2 n +1(n ?Z )  時 原式 =  sin[(2

28、n +1)p-a]cos[(2 n +1 -1)p-a] sin(p-a)cos a = sin[(2 n +1 +1)p+a]cos[(2 n +1)p+a] sin a cos(p+a) = sin a cos a sin a ( -cos a)  =-1 綜上，原式=-1 【總結升華】誘導公式用角度和弧度制表示都成立，記憶方法可以概括為“奇變偶不變，符號看象限”， “變”與“不變”是相對于對偶關系的函數(shù)而言的，sinα與 cosα對偶，“奇”、“偶”是對誘導公式中  k ? p 2  + α的整數(shù) k 來講的，

29、象限指  k ? p p +α中，將α看作銳角時， k ? 2 2  +α所在象限，如將 cos( 3p 2  +α)寫成 p 3p 3p cos（ 3 ? +α），因為 3 是奇數(shù)，則“cos”變?yōu)閷ε己瘮?shù)符號“sin”，又 +α看作第四象限角，cos( + 2 2 2 3p α)為“+”，所以有 cos( +α)=sinα。 2 例 6.（2015 宜賓縣模擬） ABC 中，角 A 為銳角，且 +cos A． （1）求 f（A）的最大值； （2）若 ，求△ABC 的三個內(nèi)角和 AC 邊的長． 【思路點撥】（1）先利用誘導

30、公式化簡 f（A），根據(jù) A 為銳角，確定 f（A）的最大值． （2）利用 f（A）=1 求出 A、B、C 三個角，再用正弦定理求出 AC 邊的長. 【解析】（I） 由已知得 f（A） = ∴  取值最大值，其最大值為 第 8 頁 共 21 頁 ? （II）由 f（A）=1 得 sin（2A+  ）= 在△ABC 中，由正弦定理得： 【總結升華】三角恒等變換與解三角形的綜合問題，是近幾年高考的熱點問題.此類型題目要先化簡，再求 值。另外要特別注意角的取值范圍問題. 舉一反三： 【變式】（2015 春 湛江期末）

31、若 cosα= ，α 是第四象限角，求 的值． 【解析】∵α 是第四象限角，cosα= ， ∴sinα=﹣  =﹣  =﹣ ， ∴tanα=﹣ 則原式= = =﹣tanα =  ， ． 類型四、三角函數(shù)的圖象和性質 【例 7】求下列函數(shù)的定義域： （1）求 y=lg(sinx-cosx)的定義域； （2）求函數(shù)  y =lg(2sin x -1) + 1 -2cos x  的定義域。 【思路點撥】（1）第（1）小題實際就是求使 sinx>cosx 的 x 的集合，可用圖象或

32、三角函數(shù)線解決；（2） ì2sin x -1 >0 第（2）小題實際就是求使 í 1 -2cos x 30  成立的 x 的值，可用圖象或三角函數(shù)線解決。 【解析】（1）要使函數(shù)有意義，必須使 sinx-cosx>0 方法一：利用圖象。在同一坐標系中畫出 [0 ，2 π] 上 y=sinx 和 y=cosx 的圖象，如圖所示： 第 9 頁 共 21 頁 ? ? ? ? ? ? ÷ 1 1 ? ? ? ? 在[0，2π]內(nèi)，滿足 sinx=cosx 的 x 為 p 5p ， ，再

33、結合正弦、余弦函數(shù)的周期是 2π，所以定義域 4 4 為  {x | p 4  +2 k 5p pcosx, 即 MN>OM，則 p 4  0

34、,將 x- 視為一個整體，由正弦函數(shù) 4 4 y=sinx 的圖象和性質可知 2k π < x- p p 5p < π +2k π , 解得 2k π + 0 （2）要使函數(shù)有意義，必須有 í 1 -2cos x 30  ì 1 ìp sin x > ? 2 ?6 ，即 í ，解得 í 1 p cos x ￡ ?? 2 ??3  +2 k +2 k  5

35、 p

36、反三 【變式 1】求函數(shù)的定義域： （1） y =  2 +log x + tan x ； （2） y = 2  p tan( x - ) sin x 4 lg(2 cos x -1)  . 【答案】 ì2+log x 30 ì0

37、 ) [p, 4] . 第 10 頁 共 21 頁 ? ? sin x 30 ? ÷ ì p p x - 1k p+ 4 2 ? （2）要使得函數(shù)有意義，需滿足 í ? ? ?? 2cos x -1 >0 2cos x -1 11 解得  2k  p

38、 -2 x ), x ?[ -p,  p]  的單調遞減區(qū)間； （2）求  y =3tan( p x - ) 6 4  的周期及單調區(qū)間。 【思路點撥】題目所給解析式中 x 的系數(shù)都為負，把 x 的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，解相應不等式求單調區(qū)間。 【解析】（1）由  y =sin( p p -2 x ), 得 y =-sin(2 x - ) 3 3  ， 由  - p 2  +2 k p￡2 x - p p ￡ +2 k p 3 2 得  - p 5p +k p￡x ￡

39、 12 12  +k  p, k ?Z , 又 x∈[-π,π],∴-π≤x≤  - 7 p 5p 11 p, - ￡x ￡ , - p￡x ￡p 12 12 12 12  . ∴函數(shù)  y =sin( p 3  -2 x ),  x∈[-π,π]的單調遞減區(qū)間為 [-π，  - 7 p 5 11 p]，[ - ， p]，[ p ，π]。 12 12 12 12 （2）函數(shù)  y =3tan(  p x - ) 6 4  的周期 T=  p 1 - 4

40、 =4p  。 由  y =3tan(  p x x p - ) 得 y =-3tan( - ), 6 4 4 6 由  - p x p p 4 8 +kp< - < +k p得 - p+4kp

41、確記憶三角函數(shù)的單調區(qū)間是求復合三角函數(shù)單調區(qū)間的基礎； （2 ）形如 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)的單調區(qū)間，基本思路是把ω x+φ看作一個整體，由 - p 2  +2 k  p￡wx+f￡ p 2  +2 k  p(k ?Z )  求得函數(shù)的增區(qū)間，由 p 2  +2 k  p￡wx+f￡ 3p 2  +2 k  p(k ?Z )  求得 函數(shù)的減區(qū)間。 第 11 頁 共 21 頁 （3 ）形如 y=Asin(-ωx+ φ)(A>0, ω>0)

42、的函數(shù)，可先利用誘導公式把 x 的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，得到 y=-Asin( ω x- φ ) ， 由 -  p 2  +2 k  p￡wx-f￡  p 2  +2 k  p(k ?Z )  得 到 函 數(shù) 的 減 區(qū) 間 ， 由 p 2  +2 k  p￡wx-f￡ 3p 2  +2 k  p(k ?Z )  得到函數(shù)的增區(qū)間。 【例 9】已知函數(shù)  y =sin 2 x + 3 cos 2 x （1）用五點法作出它的圖象； （2）指出這個函數(shù)的振幅、周期、頻率、初相

43、和單調區(qū)間； （3）說明該函數(shù)的圖象可由 【解析】  y =sin x  的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到？ （1）  1 y =2( sin 2 x + 2  3 p p p cos 2 x) =2(sin 2 x ×cos +cos 2 x ×sin ) =2sin(2 x + ) 2 3 3 3  . 列表描點繪圖如下: 3p 2 x + p 3  0 p 2 p 2  2  p x  -  p 6  p 12  p 3  7p

44、12  5 6  p y 0  2  0  -2  0 （2）如圖可知，此函數(shù)的振幅是2，周期為 p ，頻率為  1 p ，初相為 . p 3 單調增區(qū)間為 單調減區(qū)間為  [kp- [kp+ 5p p , kp+ ] 12 12 p 7 , kp+ p] 12 12  k?Z ， k?Z. 第 12 頁 共 21 頁 π 3 橫 坐標擴大為原來的2倍 π 3 1 縱 坐標擴大到原來的3倍 π 6 1 y = sin x

45、 a = - ,0 6 （3）  y =sin x  圖象向左平移 個單位 ???????????? 縱坐標不變  p y =sin( x + ) 3 橫坐標縮短為原來的0.5倍 ???????????? ?? 縱坐標不變  p y =sin(2 x + ) 3 縱坐標擴大到原來的2倍 ??????????? ?? 橫坐標不變 【總結升華】 p y =2sin(2 x + ) 3 ①五點法作  y =A sin(wx +j)( A >0 ,  w >0  )的簡圖時，五點取法是設 

46、t =wx +j，由 t 取 0、  p 2  、 p  、 3p 2  、  2p  來求相應的  x  值及對應的  y  值，再描點作圖； ②由  y =sin x  的圖象變換出  y =A sin(wx +j)  的圖象一般先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出 現(xiàn)，無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母 “角變化”多少；  x  而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是 ③此處的難點是函數(shù)圖象的平移，可以選擇畫出圖象后觀察；也可以直接

47、由函數(shù)式子利用特殊位置點 （如：首點、波峰、波谷等）的坐標判定，但其前提是兩個函數(shù)的名稱以及x 的系數(shù)是相同的. 舉一反三： 【變式 1】由  y =sin( x + p 3  )  的圖象得到  y =cos x  的圖象需要向  平移  個單位. 【答案】左， p 6  ； 【解析】∵  y =cos x =sin( x + p 2  )  ， ∴由  y =sin( x + p p p ) 的圖象得到 y =cos x =sin( x + ) 的圖

48、象需要向左平移 個單位. 3 2 6 【變式 2】試述如何由  y = 1 p sin(2 x + ) 3 3  的圖象得到  y =sin x  的圖象. 【解析】 方法一：  y =  1 p 1 p sin(2 x + ) ??????????? ?? y = sin( x + ) 3 3 縱坐標不變 3 3 圖象向右平移 個單位 ???????????? 縱坐標不變  y = sin x ?????????????y =sin x 3 橫坐標不變  . 方法二：  1 p 1

49、 圖象向右平移 個單位 y = sin(2 x + ) y = sin 2 x ???????????? 3 3 3 縱坐標不變 橫坐標擴大為原來的2倍 縱坐標擴大到原來的3倍 ??????????? ?? ????????????? 縱坐標不變 3 橫坐標不變  y =sin x  . 【變式 3】將函數(shù)  y =sin  wx (w >0)  的圖象按向量 ? p ? ? ÷ è ?  平移，平移后的圖象如圖所示，則平 第 13 頁 共 21 頁 max 移后的圖象所對應函數(shù)的解析式是（ ）

50、 A．  y =sin( x +  p p p p ) B． y =sin( x - ) C． y =sin(2 x + ) D． y =sin(2 x - 6 6 3 3  ) 【答案】C；把點  (  7p 12  , -1)  代入選項即得。 【例 10】求下列函數(shù)的值域. （1）  y =  3 sin x +cos x x ?[0,  p]  ；（2）  y = 2 -cos x 3 +sin x  ；（3）  y =sin x +cos x +2sin x

51、cos x 【思路點撥】 三角式確定的函數(shù)求解值域 .一般可從兩個途徑入手 .一是將三角式化為一個三角函數(shù)的形 式，從而利用三角函數(shù)性質求解值域，二是將三角式化為相同形，通過換元轉化為代數(shù)函數(shù)求解值域. 【解析】 (1)  p y = 3 sin x +cos x =2sin( x + ) 6  ， ∵  x ?[0, p]  ， ∴ p p 7 x + ?[ , p] 6 6 6  . 由正弦函數(shù)圖象可知： 當  x + p p p p 7 = 即 x = 時， y =2 ；當 x + = p

52、 6 2 3 6 6  即  x =p  時，  y =-1 min  . 所以函數(shù)值域為  [-1,2]  . (2) 由  y =  2 -cos x 3 +sin x  去分母得：  3 y +y sin x =2 -cos x  , 移項整理  y sin x +cos x =2 -3 y  ， 由輔助角公式得：  y 2 +1sin( x +q) =2 -3 y （ cos q=  y  y 2  +1  ,sin q=

53、  1 y 2  +1  ） ∴  sin( x +q)=  2 -3 y y 2 +1  , ∵  -1 ￡sin( x +q)￡1  , ∴  |  2 -3 y y 2 +1  |￡1  , 即  | 2 -3 y |￡  y 2 +1  . 平方整理得:  8 y  2  -12 y +3 ￡0  , 解出：  3 - 3 3 + 3 ￡y ￡ 4 4  ， 第 14 頁 共 21 頁 2 2 2

54、 2 max 所以函數(shù)值域為  [  3 - 3 3 + 3 , ] 4 4  . （3）由  (sin x +cos x)  2  =1 +2sin x cos x 得 2sin x cos x =(sin x +cos x )  2  -1 ∴  y =sin x +cos x +2sin x cos x =(sin x +cos x) 2 +(sin x +cos x) -1 令  t =sin x +cos x =  p 2 sin( x + ) ，則 t ?[ - 2,

55、2] 4 ∴  y =t  2 1 5 +t -1 =(t + ) 2 - 2 4  ,  t ?[ - 2, 2] 當  t =- 1 2  時，  y =- min 5 4  ， 當  t = 2  時，  y = 2 +1 max  . 所以函數(shù)值域為  [- 5 4  , 2 +1]  . 舉一反三 的  a  x 【變式 1】設關于 的函數(shù) a y 的值，并對此時的 值求  y =2cos

56、 x -2a cos x -(2 a +1) 的最大值。  的最小值為  f (a )  ，試確定滿足  f ( a) = 1 2 【答案】令 則  cos x =t ， t ?[ -1,1]， a a 2 y =2t -2 at -(2 a +1) =（2t - ) -( +2 a +1) 2 2  ， 開口向上，對稱軸  t =  a 2  ， 當 a 2  <-1，即 a <-2時，函數(shù) y 在 t ?[ -1,1]  上遞增，  y =1 1 min

57、1 2  ； 當 a 2  >1  ，即  a >2  時，函數(shù)  y  在  t ?[ -1,1]  上遞減，  y =-4a +1 = min 1 1 ，得 a = 2 8  與  a >2  矛盾； 當  a -1￡ ￡1 2  ，即  -2 ￡a ￡2  時，  a 2 y =-( +2 a +1) = min  1 2  ，解得  a =-1  或  a =-3  （舍）， ∴  a

58、 =-1，此時 y =-4a +1 =5  . 【變式 2】已知函數(shù)  f ( x ) =a cos 2 x +2 3a sin x cos x +2 a +b  的定義域為  [0,  p 2  ]  ，值域為  [-1,5]  ， 求常數(shù) a 、 b 的值． 【答案】  f ( x) =a cos 2x + 3a sin 2 x +2 a +b =2 a sin(2 x +  p 6  ) +2 a +b ∵  x ?[0, p 2  ] ， ∴ 2 x +

59、p p 7p ?[ , ] 6 6 6 （1）若 a =0  ，不符合題意. 第 15 頁 共 21 頁 p p = 2 ( ) ( ) ( ) p p p 7p （2）若 a >0 ，有 2 x + = 時， 4a +b =5 ； 2 x + = 6 2 6 6  時 a +b =-1，∴ a =2 ， b =-3  . （3）若  a <0  ，有 p p p 7p 2x + = 時， 4a +b =-1； 2 x + = 6 2 6 6  時  a +b =

60、5  ，∴  a =-2  ，  b =7  . 故 a =2  ， b =-3  或 a =-2  ， b =7  . 類型五、函數(shù) y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質的綜合應用 【例 11】已知函數(shù) f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的圖象與 x 軸的交點中，相鄰兩個 2 2p 交點之間的距離為 ，且圖象上一個最低點為 M( ,-2). 3 2 (1)求 f(x)的解析式； (2)當 x∈［ p p , ］時，求 f(x)

61、的值域. 12 2 p T p 【思路點撥】由與 x 軸的交點中相鄰兩交點的距離為 可得 ，從而得 T=π，即可得ω.由圖象最 2 2 低點得 A 及 的值，從而得函數(shù) f(x)的解析式，進而得 f(x)的值域. 2p p 【解析】(1)由最低點為 M( ,-2),得 A=2.由 x 軸上相鄰兩個交點之間的距離為 ,得 3 2  T p = 2 2  ,即 T=π, ∴ω= 2p 2p = T p 2p 2p 4p =2.由點 M( ,-2)在圖象上得 2sin(2× +φ)=-2,即 sin( +φ)=-1, 3 3 3

62、 故 4p p 11p +j=2kp- k ?Z , \j=2kp- k ?Z . 3 2 6 p p p 又j?(0, ),\j= , 故f x =2sin(2x + ). 2 6 6 （2） p p p p 7p x ?［ , ］,\2x + ?［ , ］. 12 2 6 3 6 p p p 當 2x+ = ,即 x= 時，f(x)取得最大值 2; 6 2 6 p 7p p 當 2x+ = ,即 x= 時,f(x)取得最小值-1,故 f(x)的值域為［-1,2］. 6 6 2 【總結升華】確定  y =A sin(wx

63、+j)  +b 的解析式的步驟： （1）求 A，b 確定函數(shù)的最大值 M 和最小值 m，則 A=  M -m M +m ，b= 。 2 2 （2）求ω，確定函數(shù)的周期 T，則  w = 2p T  ； （3）求 j ，常用方法有： ⅰ、代入法：把圖象上的一個已知點代入（此時，A、ω、b 已知）或代入圖象與直線 y=b 的交點求解。 （此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上）； 第 16 頁 共 21 頁 ? ? ÷ ? ÷ ? ? ÷ ? ? ÷ 向 左平移 個單位

64、 橫 坐標縮短到原來的 倍 ⅱ、五點法：確定j值時，往往以尋找“五點法”中的第一零點（- j w  ，0）作為突破口。具體如下： 第一點（即圖象上升時與 x 軸的交點）為  wx +f=0  ；第二點（即圖象的“峰點”）為  wx +f= p 2  ； 第三點（即圖象下降時與 x 軸的交點）為  wx +f=p  ；第四點（即圖象的“谷點”）為  wx +f= 3 2  p  ；第 五點為  wx +f=2p 舉一反三： 【變式 1】把函數(shù)  y =sin

65、x ( x ?R )  p 的圖象上所有的點向左平行移動 個單位長度，再把所得圖象上所有 3 點的橫坐標縮短到原來的 1 2  倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（ ） A．  y =sin 2 x - è  p? 3 ?  ，x ?R  B．  y =sin  ?x p? + ，x ?R è2 6 ? C．  y =sin 2 x + è  p? 3 ?  ，x ?R  D．  y =sin 2 x + è  2p? 3 ?  ，x ?R

66、 【解析】 y=  sin x  p ????3???  p y =sin( x + ) 3  1 ???????2 ?  p y =sin(2 x + ) 3  ，故選（C）。 【變式 2】在同一平面直角坐標系中，函數(shù)  y =cos( x 3p 1 + )( x ?[0，2p]) 的圖象和直線 y = 2 2 2  的交點個數(shù) 是( ) （A）0  （B）1  （C）2  （D）4 【解析】原函數(shù)可化為： x 3p x y =cos( + )( x ?[0，2p]) = sin , x ?[0, 2p]. 2 2 2  作出原函數(shù)圖像， 截取  x ?[0,2  p  ] 1 部分，其與直線 y = 的交點個數(shù)是 2 個 2 【例 12】已知函數(shù)  f ( x) =sin 2 ( p 3 +x ) - 4 2  cos 2 x （1）求函數(shù) f ( x )  的最