《2020中考數學 壓軸專題 動態(tài)幾何之“雙動點”問題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020中考數學 壓軸專題 動態(tài)幾何之“雙動點”問題（32頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
1.
2020 中考數學 壓軸專題 動態(tài)幾何之“雙動點”問題（含答案）
已知，如圖， ABC 中，已知 AB=AC=5 cm，BC=6 cm．點 P 從點 B 出發(fā)，沿 BA 方向勻速運動， 速度為 1 cm/s；同時，直線 QD 從點 C 出發(fā)，沿 CB 方向勻速運動，速度為 1 cm/s，且 QD⊥BC，與
AC，BC 分別交于點 D，Q；當直線 QD 停止運動時，點 P 也停止運動．連接 PQ，設運動時間為 t（0 ＜t＜3）s．解答下列問題：
（1）當 t 為何值時，PQ//AC？
（2）設
2、四邊形 APQD 的面積為 y（cm2），求 y 與 t 之間的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻 t，使 S 由．
： =23：45？若存在，求出 t 的值；若不存在，請說明理 四邊形 APQD ABC
第 1 題圖
解：（1）當 t s 時,PQ//AC，
∵點 P 從點 B 出發(fā)，沿 BA 方向勻速運動，速度為 1 cm/s；同時，直線 QD 從點 C 出發(fā)，沿 CB 方向勻速運 動，速度為 1 cm/s，
∴BP＝t，BQ＝6?t．
∵PQ//AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴
第 1 題解圖
BP B
3、Q t 6 -t 30 = ，即 = ，解得 t＝ s．
AB BC 5 6 11
∴當 t 為
30
11
s 時，PQ//AC；
1 / 21
t
23
=
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
（2）過點 A、P 作 AN⊥BC，PM⊥BC 于點 N、M，
∵AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，
∴BN＝CN＝3cm，
∴AN＝
AB 2 -BN 2 = 52 -32
＝4cm．
∵AN⊥BC，PM⊥BC， ∴△BPM∽△BAN，
∴
BP P
4、M t PM 4 = ，即 = ，解得 PM＝
AB AN 5 4 5
t
，
∴S
＝
△BPQ
1 1 4 2t 2 12
BQ·PM＝ （6?t）· ＝ - + 2 2 5 5 5
t
，
∵AB＝AC＝5cm，AN=4cm,CN=3cm,DQ//AN, ∴△CDQ∽△CAN，
∴
DQ CQ DQ t = ，即 = ，
AN CN 4 3
∴DQ=
4
3
t,
∴S
△CDQ
＝
1 2 CQ·DQ＝ t2．
2 3
5、∵S
＝
△ABC
1 1
BC·AN= ×6×4＝12， 2 2
∴y＝S
四邊形 APQD
＝S
?S
△ABC
△ CDQ
?S
2 2t 2 12
△BPQ＝12? t2?（ - +
3 5 5
t
）＝12?
4 12
t 2 - t
15 5
（0＜t＜3）；
（3）存在．
∵由（2）知，S
四邊形 APQD
＝
?S
ABC
△CDQ
?S
1 2t 2 12
△BPQ＝12? t2?（ -
6、 +
2 5 5
t
）＝12?
4 12
t 2 - t
15 5
，S
＝12，
△ABC
∴
12 -
4 12
t 2 - t
15 5
12 45
，
2 / 21
2
四 邊形 APQD △ABC
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
解得 t
1
＝
-12 +
4 114 4 114
，t ＝ -12 - 3 3
（舍去）．
∴當 t＝ -12 +
4 114
3
s 時，S
7、
： S ＝23：4 ．
5
2.
如圖①，在 ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，點 P 從點 A 出發(fā)，沿折線 AB?BC 向終點 C 運 動，在 AB 上以每秒 5 個單位長度的速度運動，在 BC 上以每秒 3 個單位長度的速度運動，點 Q 從點 C
4
出發(fā)，沿 CA 方向以每秒 個單位長度的速度運動，P、Q 兩點同時出發(fā)，當點 P 停止時，點 Q 也隨之
3
停止．設點 P 運動的時間為 t 秒．
（1）求線段 AQ 的長；（用含 t 的代數式表示）
（2）連接 PQ，當 PQ ABC 的一邊平行時，求 t 的值；
8、
（3）如圖②，過點 P 作 PE⊥AC 于點 E，以 PE，EQ 為鄰邊作矩形 PEQF，點 D 為 AC 的中點，連接 DF．設矩形 PEQF 與△ABC 重疊部分圖形的面積為 S．
①當點 Q 在線段 CD 上運動時，求 S 與 t 之間的函數關系式；②直接寫出 DF 將矩形 PEQF 分成兩部分的面 積比為 1：2 時 t 的值．
第 2 題圖
解：（1）在 ABC 中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝
AB
2
-BC
2
= 10
2
-6
2
＝
9、
8，
4
∵點 Q 在 CA 上，以每秒 個單位移動，
3
∴CQ＝
4
3
t，
∴AQ＝AC-CQ=8?
4
3
t．
3 / 21
3
t
3
t
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
10 6
（2）∵P 點從 AB-BC 總時間 +
5 3
=4s,
∵點 P 在 AB 或 BC 上運動，點 Q 在 AC 上， ∴PQ 不可能與 AC 平行，
①當點 P 在 AB 上，則 PQ//BC，
4
8 - t
AP
10、AQ 5t
此時 = ，即 = AB AC 10 8
②當點 P 在 BC 上,此時 PQ//AB，
3 ，解得 t= s ;
2
∴
4
CP CQ 6-3（t -2） = ，即 =
BC CA 6 8
，解得 t＝3s，
綜上所述，t＝
3
2
s 或 3s 時，PQ 與△ABC 的一邊平行；
（3）①∵點 D 是 AC 的中點，
∴CD=4，當點 Q 運動到點 D 時，
4
3
t
＝4，解得 t ＝3，
16 3
點 Q 與點 E 重合時， ＝AC＝8，得
11、t＝
3 2
，分三種情況討論如下：
（i）點 Q 與點 E 重合時，
所示，
16 3 3
t＝AC＝8，得 t＝ ，當 0≤t≤ ，此時矩形 PEQF ABC 內，如解圖① 3 2 2
∵AP＝5t，易得 AE＝4t，PE＝3t，∴EQ＝AQ－AE＝8－
4 16 t－4t＝8－ t，
3 3
∴S＝PE×EQ＝3t（8－
16
3
t）＝－16t２＋24t；
第２題解圖
4 / 21
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
（ii）點 P 與點 B 重
12、合時，5t＝10，得 t＝2，當
分是矩形 PEQF 的面積減 PFT 的面積．
3
2
≤t≤2 時，如解圖②所示，設 QF 交 AB 與 T，則重疊部
∵AQ＝8－
4 3 3 4
t，∴QT＝ AQ= （8－ t）=6-t， 3 4 4 3
∴FT=PE-QT=3t-(6-t)=4t-6,
EQ=AE-AQ=4t-(8-
4 16 t)= t-8,
3 3
∴S=PE·EQ-
1
2
EQ·Ft
=3t·（
16 1 16
t-8)- ·（
3 2 3
t-
13、8)（4t-6）
=
16
3
t2
+8t-24；
(iii)當 2
14、
＝（12－3t）·
4 1 8
t－ ·（8－ 3 2 3
t）·（6－2t）
20
＝－ t２+32t－24； 3
第２題解圖
5 / 21
②
3.
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
3 6
， .
5 5
如圖，在 ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．動點 P 從點 A 出發(fā)沿 AC 向終點 C 運動，同時 動點 Q 從點 B 出發(fā)沿 BA 向點 A 運動，到達 A 點后立刻以原來的速度沿 AB 返回．點 P，Q 運動速度均 為每秒 1 個單位長度，當點 P 到
15、達 C 時停止運動，點 Q 也同時停止．連接 PQ，設運動時間為 t（0＜t ≤5）秒．
（1）當點 Q 從 B 點向 A 點運動時（未到達點 A）求 與 t 的函數關系式；寫出 t 的取值范圍；
APQ
（2）在（1）的條件下，四邊形 BQPC 的面積能否 ABC 面積的
13
15
？若能，求出相應的 t 值；若不
能，說明理由；
（3）伴隨點 P、Q 的運動，設線段 PQ 的垂直平分線為 l，當 l 經過點 B 時，求 t 的值．
第 3 題圖
解：（1）在 ABC 中，由勾股定理得：AC＝
AB
2
16、
+BC
2
= 32
+4
2
＝5；
如解圖①，過點 P 作 PH⊥AB 于點 H，AP＝t，AQ＝3?t，
第 3 題解圖①
則∠AHP＝∠ABC＝90°，
∵∠PAH＝∠CAB，∴△AHP∽△ABC，
∴
AP PH
=
AC BC
，
∵AP＝t，AC＝5，BC＝4，
∴PH＝
4
5
t，
6 / 21
△ APQ
t
t
2
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
∴S
17、1 4 ＝ （3?t）·
2 5
t，
2 6 即 S＝? t 2 ＋
5 5
t
，t 的取值范圍是：0＜t＜3．
13
（2）在（1）的條件下，四邊形 BQPC 的面積能 ABC 面積的 ．理由如下：
15
2 6 2 1 2 6 4
依題意得：? t 2 ＋ = ×3×4，即? t 2 ＋ = ．
5 5 15 2 5 5 5
整理，得（t?1）（t?2）＝0，
解得 t
＝1，t ＝2，
1
又 0＜t＜3，
∴當 t＝1 或 t＝2 時，四邊形 BQPC 的面積能 ABC 面積的
（3）①
18、如解圖②，當點 Q 從 B 向 A 運動時 l 經過點 B，
13
15
；
第 3 題解圖②
BQ＝BP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP，
∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90° ∴∠PBC＝∠PCB，∴CP＝BP＝AP＝t
∴CP＝AP＝
1 1
AC＝ ×5＝2.5， 2 2
∴t＝2.5；
②如解圖③，當點 Q 從 A 向 B 運動時 l 經過點 B，
第 3 題解圖③
BP＝BQ＝3?（t?3）＝6?t，AP＝t，PC＝5?t，
7 / 21
知識像燭光，能
19、照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
過點 P 作 PG⊥CB 于點 G，
則 PG//AB，
∴△PGC∽△ABC，
∴
PC PG GC
= =
AC AB BC
，
∴PG＝
PC 3
·AB＝ （5?t）， AC 5
CG＝
PC 4
·BC＝ （5?t）， AC 5
∴BG＝4?
4 4 (5?t）＝
5 5
t，
由勾股定理得 BP2＝BG2＋PG2，
即（6?t）2
＝（
4 3
t）2＋[ （5?t）]2 5 5
，
20、
45
解得 t＝ ．
14
綜上所述，伴隨點 P、Q 的運動，線段 PQ 的垂直平分線為 l，經過點 B 時，t 的值是 2.5 或
45
14
．
4.
如圖，在 ABC 中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，D、E 分別是 AC、AB 的中點，連接 DE，點
P 從點 D 出發(fā)，沿 DE 方向勻速運動，速度為 1cm/s；同時，點 Q 從點 B 出發(fā)，沿 BA 方向勻速運動， 速度為 2cm/s，當點 P 運動到點 E 停止運動，點 Q 也停止運動．連接 PQ，設運動時間為 t（s）（0＜t ＜4）．解答下列問題：
21、
（1）當 t 為何值時，PQ⊥AB？
（2）當點 Q 在 BE 之間運動時，設五邊形 PQBCD 的面積為 y（cm2），求 y 與 t 之間的函數關系式； （3）在（2）的情況下，是否存在某一時刻 t，使 PQ 分四邊形 BCDE 兩部分的面積之比為 S ：S
△PQE 五
＝1：29？若存在，求出此時 t 的值以及點 E 到 PQ 的距離 h；若不存在，請說明理由． 邊形 PQBCD
8 / 21
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
解：（1）如解圖①，在 ABC 中，
AC＝6，BC＝8，
∴AB＝ 6 2
22、 +82
＝10．
∵D、E 分別是 AC、AB 的中點．，
AD＝DC＝3，AE＝EB＝5，DE//BC 且 DE＝ ∵PQ⊥AB，∴∠PQB＝∠C＝90°，
又∵DE//BC，∴∠AED＝∠B，
1
2
第 4 題解圖
BC＝4，
∴△PQE∽△ACB，∴
PE QE
=
AB BC
.
由題意得：PE＝4?t，QE＝2t?5，
即
4 -t 2t -5 41 = ，解得 t＝ ；
10 8 14
（2）如解圖②，過點 P 作 PM⊥AB 于 M，
PM PE
由△
23、PME∽△ACB，得 =
AC AB
，
∴
PM 4 - t 3 = ，得 PM＝
6 10 5
（4?t）．
9 / 21
2
2
2
)
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
S
＝
△PQE
1 1 3 3 39
EQ·PM＝ （5?2t）· （4?t）＝ t2? 2 2 5 5 10
t＋6，
S
＝
梯形 DCBE
1
2
×（4＋8）×3＝18，
∴y＝S
-
梯形 DCBE
=18?（
24、
PQE
3 39 3 39
t2? t＋6）＝? t2+
5 10 5 10
t＋12．
（3）假設存在時刻 t，使 ：S ＝1：29，
PQE 五邊形 PQBCD
則此時 S
＝
△PQE
1
30
S
，
梯形 DCBE
∴
3 39 1
t2? t＋6＝ ×18，即 2t2?13t＋18＝0， 5 10 30
解得 t
1
＝2，t ＝
9
2
（舍去）．
當 t＝2 時，
PM＝
3 6 4 8 ×（4?2）= ，ME＝
25、 ×（4?2）＝
5 5 5 5
，
EQ＝5?2×2＝1，MQ＝ME＋EQ＝
8 13
＋1＝
5 5
，
∴PQ＝ PM
2
+MQ
2
?6 ? ?13 ? ＝ ? ÷ +? ÷ =
è5 ? è5 ?
205
5
．
∵
1 3 PQ· h＝S△PQE= ，
2 5
6 5 6 205 6 ∴h＝ · = (或 .
5 205 205 205
5.
如圖，在 ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB 于點 D．點 P
26、 從點 D 出發(fā)，沿線段 DC 向點 C 運動，點 Q 從點 C 出發(fā)，沿線段 CA 向點 A 運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒 1 個單位長度， 當點 P 運動到 C 時，兩點都停止．設運動時間為 t 秒．
（1）求線段 CD 的長；
（2） CPQ 的面積為 S，求 S 與 t 之間的函數關系式，并確定在運動過程中是否存在某一時刻 t，使得 S
△CPQ
：S =9：100？若存在，求出 t 的值；若不存在，則說明理由； △ABC
10 / 21
- t
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
（3）是否存在某一時刻
27、 t，使 CPQ 為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的 t 的值；若不存在， 則說明理由．
解：（1）如解圖①，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10．∵CD⊥AB，∴
＝
ABC
1 1
BC?AC＝ AB?CD． 2 2
∴CD＝
BC ′AC 6 ′8 =
AB 10
＝4.8，
∴線段 CD 的長為 4.8；
（2）①過點 P 作 PH⊥AC，垂足為 H，如解圖②所示． 由題可知 DP＝t，CQ＝t，則 CP＝4.8?t．
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠HCP＝90°?∠D
28、CB＝∠B． ∵PH⊥AC，∴∠CHP＝90°,∴∠CHP＝∠ACB，
∴△CHP∽△BCA，
∴
PH PC PH 4.8 -t = ,∴ =
AC AB 8 10
，
∴PH＝
96 4 1 1 96 4 2 48 ，∴S△CPQ＝ CQ·PH＝ t（ - t ）＝? t2+
25 5 2 2 25 5 5 25
t；
②存在某一時刻 t，使得 S ： ＝9：100．
△CPQ ABC
∵S ＝
△ABC
1
2
×6×8＝24，且 S ： ＝9：100，
△CPQ ABC
29、∴（?
2 48
t2+
5 25
t）：24＝9：100．
整理得：5t2?24t＋27＝0．
11 / 21
5
2
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
即（5t?9）（t?3）＝0．
9
解得：t＝ 或 t＝3．
5
∵0≤t≤4.8，
9
∴當 t＝ 秒或 t＝3 秒時， ：S ＝9：100；
CPQ △ABC
（3）①若 CQ＝CP，如解圖①，則 t＝4.8?t；
解得：t＝2.4；
②若 PQ＝PC，如解圖②所示，
∵PQ＝PC，PH⊥QC，∴QH
30、＝CH＝
1 1
QC＝ t．
2 2
∵△CHP∽△BCA．∴
CH CP
=
BC AB
,
∴
1
t
4.8 -t
=
6 10
144 ，解得：t＝ ；
55
③若 QC＝QP，過點 Q 作 QE⊥CP，垂足為 E，如解圖③所示．
24
同理可得：t＝ ．
11
綜上所述：當 t 為 2.4 秒或
144 24
秒或 秒時 CPQ 為等腰三角形． 55 11
6.
第 5 題解圖
如圖， ABC 中，AB=AC=10 cm，BD⊥AC 于點 D，且
31、 BD=8cm．點 M 從點 A 出發(fā)，沿 AC 的方向
勻速運動，速度為 2 cm/s；同時直線 PQ 由點 B 出發(fā)，沿 BA 的方向勻速運動，速度為 1cm/s，運動過 程中始終保持 PQ//AC，直線 PQ 交 AB 于點 P、交 BC 于點 Q、交 BD 于點 F．連接 PM，設運動時間
12 / 21
2
t
ABC
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
為 t（0＜t＜5）．
（1）當 t 為何值時，PM//BC？
（2）設四邊形 PQCM 的面積為 y cm ，求 y 與 t 之間的函數關系式；
（3）
32、已知某一時刻 t，有 S
=
四邊形 PQCM
3
4
ABC
成立，請你求出此時 t 的值.
解：（1）∵當 ∴AP＝AM， ∴10?t＝2t，
第 6 題圖
PM//BC 時，△APM∽△ABC，
∴t＝
10
3
；
1
（2）∵四邊形 PQCM 為梯形，y＝ （PQ＋MC）DF，
2
∵PQ＝PB＝t，MC＝10?2t，BF：BD＝BP：AB,
∴BF＝
8t 4
10 5
t，
∴DF＝8?
4
5
t
,
33、
1 4 2 ∴y＝ (t＋10?2t)·(8? ）= t
2 5 5
2
?8t＋40；
2 3
（3）由（2）知， t 2?8t＋40=40× ，
5 4
3
， 解得 t＝10±5
又∵0
34、 B 出發(fā)沿 BD 方向勻速運動，速度為 1cm/s；同時，線段 EF 由 DC 出發(fā)沿 DA 方向勻速運動，速度為 1cm/s，交 BD 于 Q，連接 PE．若設運動時間為 t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：
（1）當 t 為何值時，PE//AB；
（2） PEQ 的面積為 y（cm2），求 y 與 t 之間的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻 t，使
＝
PEQ
2
25
BCD
？若存在，求出此時 t 的值；若不存在，說明理由；
（4）連接 PF，在上述運動過程中，五邊形 PFCDE 的面積是否發(fā)生變化？
35、說明理由．
第 7 題圖
解：（1）當 PE//AB 時，
∴
DE DP
=
DA DB
．
而 DE＝t，DP＝10?t，
∴
t 10 -t
=
6 10
，
∴t＝
15
4
，
∴當 t＝
15
4
s 時，PE//AB；
（2）∵AD//BC,線段 EF 由 DC 出發(fā)沿 DA 方向勻速運動， ∴EF//CD，
∴四邊形 CDEF 是平行四邊形,
∴∠DEQ＝∠C，∠DQE＝∠BDC．
∵BC＝BD＝10，
36、∴△DEQ∽△BCD,
14 / 21
10 2 100 4 96 4 6
t
-
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
∴
DE EQ t EQ
= , =
BC CD 10 4
,
∴EQ＝
2
5
t,
如解圖，過 B 作 BM⊥CD 交 CD 于 M，過 P 作 PN⊥EF 交 EF 于 N， ∵BC＝BD，BM⊥CD，CD＝4cm，
∴CM＝
1
2
CD＝2cm，
∴BM＝ 2 - 2 = - = = ∵EF//CD，
∴∠B
37、QF＝∠BDC，∠BFG＝∠BCD， 又∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴∠BQF＝∠BFG，
∵ED//BC，
∴∠DEQ＝∠QFB，
又∵∠EQD＝∠BQF，
∴∠DEQ＝∠DQE，
∴DE＝DQ，
∴ED＝DQ＝BP＝t，
∴PQ＝10?2t．
又 PNQ∽△BMD，
cm，
∴
PQ PN
=
BD BM
，
∴
10 -2t PN =
10 4 6
，
∴PN＝4
6(1 )
5
，
∴S
＝
△PEQ
38、
1 1 2 t EQ·PN＝ ′ t ′4 6(1 - )
2 2 5 5
=
-
4 6 4 6
t 2 + t
25 5
；
15 / 21
6
2
2
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
第 7 題解圖
（3）存在.此時 t 的值為 1s 或 4s.
S
△BCD
＝
1 1
CD·BM＝
2 2
×4×4
6
＝8
6
，
若 S
=
△PEQ
2
25
S
39、
△BCD
，
則有 -
4 6 4 6 2
t + t = ×8 , 25 5 25
解得 t
1
＝1，t ＝4，
∴當 t=1 或 4 時，S
=
△PEQ
2
25
S
△BCD
；
（4）五邊形 PFCDE 的面積不發(fā)生變化.理由如下： 在△PDE FBP 中，
∵DE＝BP＝t，PD＝BF＝10?t，∠PDE＝∠FBP， ∴△PDE≌△FBP（SAS）．
∴S
＝S ＋S ＝S ＋S ＝S ＝8 五邊形 PFCDE △ PDE 四邊形 PF
40、CD △FBP 四邊形 PFCD △BCD
6
,
∴在運動過程中，五邊形 PFCDE 的面積不變．
8.
如圖． ABC 中．AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm，AD 是 BC 邊上的高．點 P 由 C 出發(fā)沿 CA 方向勻速
運動．速度為 1 cm/s．同時，直線 EF 由 BC 出發(fā)沿 DA 方向勻速運動,速度為 1 cm/s，EF//BC，并且 EF
分別交 AB、AD、AC 于點 E，Q，F，連接 PQ．若設運動時間為 t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：
（1）當 t 為何值時，四邊形 BDFE 是平行四邊形？
41、
（2）設四邊形 QDCP 的面積為 y（cm2
），求出 y 與 t 之間的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻 t，使 S
： ＝9：20？若存在，求出此時 t 的值；若不存在，說明理 四邊形 QDCP ABC
由；
（4）是否存在某一時刻 t，使點 Q 在線段 AP 的垂直平分線上？若存在，求出此時點 F 到直線 PQ 的距離 h；若不存在，請說明理由．
16 / 21
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
第 8 題圖
解：（1）如解圖①中，連接 DF，
第 8 題解圖①
∵A
42、B＝AC＝5，BC=6，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝3，
在 ABD 中，AD＝ 52 - 32 ∵EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
＝4，
∴
∴
EF AQ
=
BC AD
EF 4 -t
=
6 4
，
，
3
∴EF＝ （4?t），
2
∵EF//BD，
∴EF＝BD 時，四邊形 EFDB 是平行四邊形， 3
∴ （4?t）＝3，
2
∴t＝2，
17 / 21
t
t
2
2
t
2
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的
43、人。--培根
∴t＝2s 時，四邊形 EFDB 是平行四邊形；
（2）如解圖②中，作 PN⊥AD 于 N，
第 8 題解圖②
∵PN//DC，
∴
∴
PN AP
=
DC AC
PN 5 -t
=
3 5
，
，
3
∴PN＝ （5-t）， 5
∴y＝
1 1 1 3 3 27 3 27 DC·AD? AQ·PN＝6? （4?t） · （5?t）＝6?（ - ＋6）= - t + t
2 2 2 5 10 10 10 10
（0＜t＜4）；
（3）存在.理由：
44、由題意（ -
3 27
+
10 10
t
）：12＝9：20，
解得 t＝3 或 6（舍去）；
∴當 t＝3s 時，S
： ＝9：20； 四邊形 QDCP ABC
（4）存在．理由如下：
如解圖③，作 QN⊥AC 于 N，作 FH⊥PQ 于 H．
第 8 題解圖③
∵QA＝QP，QN⊥AP，
∴AN＝NP＝
1 1
AP＝ （5?t）， 2 2
18 / 21
4
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
AD AN
由題意 cos∠CA
45、D＝ =
AC AQ
，
∴
1
2
(5-t) =
4 -t 5
，
∴t＝
∴t＝
7
3
7
3
，
s 時，點 Q 在線段 AP 的垂直平分線上．
∵sin∠FPH＝
FH 3
=
PF 5
，
∵PA＝5?
7 8 4 25
＝ ，AF＝AQ ? = 3 3 5 12
，
∴PF＝
7
12
，
∴FH＝
7
20
．
∴點 F 到直線 PQ 的距離 h＝
7
46、
20
．
9. 如圖，BD 是正方形 ABCD 的對角線，BC＝2，動點 P 從點 B 出發(fā)，以每秒 1 個單位長度的速度沿射線 BC 運動，同時動點 Q 從點 C 出發(fā)，以相同的速度沿射線 BC 運動，當點 P 出發(fā)后，過點 Q 作 QE⊥BD， 交直線 BD 于點 E，連接 AP、AE、PE、QE，設運動時間為 t（秒）．
（1）請直接寫出動點 P 運動過程中，四邊形 APQD 是什么四邊形？
（2）請判斷 AE，PE 之間的數量關系和位置關系，并加以證明；
（3） EPB 的面積為 y，求 y 與 t 之間的函數關系式；
（4）直接寫 EPQ
47、 的面積 EDQ 面積的 2 倍時 t 的值．
19 / 21
t
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
第 9 題圖
解：（1）四邊形 APQD 是平行四邊形；
【解法提示】∵四邊形 ABCD 是正方形，P、Q 速度相同，
∴∠ABE＝∠EBQ＝45°，AD∥BQ，AD＝BC＝2，BP＝CQ，
∴BC＝AD＝PQ，∴四邊形 APQD 是平行四邊形.
（2）AE＝PE，AE⊥PE；理由如下：
∵EQ⊥BD，∴∠PQE＝90°?45°＝45°，
∴∠ABE＝∠EBQ＝∠PQE＝45°，
∴BE＝QE，
48、
在△AEB EPQ 中，
ìAB =PQ
?
íDABE =DPQE
，
?
?
BE =QE
∴△AEB≌△EPQ（SAS）， ∴AE＝PE，∠AEB＝∠PEQ， ∴∠AEP＝∠BEQ＝90°， ∴AE⊥PE；
（3）過點 E 作 EF⊥BC 于點 F， 如解圖①所示：
BQ＝t＋2，EF＝
t +2
2
，
∴y＝
1 t +2 1 1 × ×t，即 y＝ 2 +
2 2 4 2
t
；
第 9 題解圖①
（4 EPQ 面積 EDQ 面積的 2 倍時 t 的
49、值為 1 或 3. 【解法提示】分兩種情況：
① 當 P 在 BC 延長線上時，作 PM⊥QE 于 M，如解圖②所示：
20 / 21
知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數的人。--培根
第 10 題解圖②
∵PQ＝2，∠BQE＝45°，
∴PM＝
2 2 2
PQ＝ 2 ，BE＝QE＝ BQ＝ （t＋2）， 2 2 2
∴DE＝BE? BD＝
2 2
（t＋2）? 2 2 ＝ t- 2 , 2 2
∵△EPQ 的面積是△EDQ 面積的 2 倍，
∴
1 2 1 2 × （t＋2）×
50、 2 ＝2× （ t?
2 2 2 2
2
）×
2
2
（t＋2），
解得 t＝3 或 t＝? 2（舍去），
∴t＝3；
②當 P 在 BC 邊上時，解法同①，此時 DE＝ 2 -
∵△EPQ 的面積是△EDQ 面積的 2 倍，
2
2
t，
∴
1 2
× （t＋2）× 2 2
2
1 2 2
＝2× （ 2 - t）× （t＋2）， 2 2 2
解得：t＝1 或 t＝? 2（舍去），
∴t＝1；
綜上所述，△EPQ 的面積是△EDQ 面積的 2 倍時 t 的值為：1 或 3．
21 / 21
2020中考數學 壓軸專題 動態(tài)幾何之“雙動點”問題
