2013年全國(guó)高考數(shù)學(xué) 試題分類匯編3 三角函數(shù)

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1、2013年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編3：三角函數(shù) 一、選擇題 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知,則 A. B. C. D. 【答案】C ．（2013年高考陜西卷（理））設(shè)△ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c, 若, 則△ABC的形狀為 (A) 銳角三角形 (B) 直角三角形 (C) 鈍角三角形 (D) 不確定 【答案】B ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））在△ABC中, 則 = (A) (

2、B) (C) (D) 【答案】C ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后,得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象,則的一個(gè)可能取值為 (A) (B) (C)0 (D) 【答案】B ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））在,內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為且,則 A. B. C. D. 【答案】A ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)））已知函數(shù)

3、,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 (A)的圖像關(guān)于中心對(duì)稱 (B)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 (C)的最大值為 (D)既奇函數(shù),又是周期函數(shù) 【答案】C ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））函數(shù)的圖象大致為 【答案】D ．（2013年高考四川卷（理））函數(shù)的部分圖象如圖所示,則的值分別是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A ．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】

4、B ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）） ( ) A. B. C. D. 【答案】C ．（2013年高考湖南卷（理））在銳角中,角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.若 A. B. C. D. 【答案】D ．（2013年高考湖北卷（理））將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位后,所得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱,則的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 二、填空題 ．（2013年普通高等

5、學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））中,,是的中點(diǎn),若,則________. 【答案】 ．（2013年高考新課標(biāo)1（理））設(shè)當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,則______ 【答案】. ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖中,已知點(diǎn)D在BC邊上,ADAC,則的長(zhǎng)為_______________ 【答案】 ．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）函數(shù)的最小正周期是_____________ 【答案】 ．（2013年高考四川卷（理））設(shè),,則的值是_________.

6、 【答案】 ．（2013年高考上海卷（理））若,則 【答案】. ．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c,若,則角C的大小是_______________(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示) 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)））已知是第三象限角,,則____________. 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題））函數(shù)的最小正周期為___________. 【答案】 ．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(

7、含答案)）在中,角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為,若,則_______ 【答案】7 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為.若,則則角_____. 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））設(shè)為第二象限角,若,則________. 【答案】 ．（2013年高考江西卷（理））函數(shù)的最小正周期為為_________. 【答案】 ．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）函數(shù)的最大值是_______________ 【答案】5 三、

8、解答題 ．（2013年高考北京卷（理））在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A. (I)求cosA的值; (II)求c的值. 【答案】解:(I)因?yàn)閍=3,b=2,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得.所以.故. (II)由(I)知,所以.又因?yàn)椤螧=2∠A,所以.所以. 在△ABC中,. 所以. ．（2013年高考陜西卷（理））已知向量, 設(shè)函數(shù). (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值. 【答案】解:(Ⅰ) =. 最小正周期. 所以最小正周期為. (Ⅱ) . . 所以,f (x) 在上的最大值和最

9、小值分別為. ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別是,且. (1)求; (2)設(shè),求的值. 【答案】 由題意得 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））已知函數(shù). (Ⅰ) 求f(x)的最小正周期; (Ⅱ) 求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））設(shè)向量 (I)若 (II)設(shè)函數(shù) 【答案】 ．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函數(shù),其中常數(shù); (1)若在上單

10、調(diào)遞增,求的取值范圍; (2)令,將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,得到函數(shù)的圖像,區(qū)間(且)滿足:在上至少含有30個(gè)零點(diǎn),在所有滿足上述條件的中,求的最小值. 【答案】(1)因?yàn)?根據(jù)題意有 (2) , 或, 即的零點(diǎn)相離間隔依次為和, 故若在上至少含有30個(gè)零點(diǎn),則的最小值為. ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)））設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,. (I)求 (II)若,求. 【答案】 ．（2013年高考四川卷（理））在中,角的對(duì)邊分別為,且. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 【答案

11、】解:由,得 , 即, 則,即 由,得, 由正弦定理,有,所以,. 由題知,則,故. 根據(jù)余弦定理,有, 解得或(舍去). 故向量在方向上的投影為 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））設(shè)△的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,且,,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值. 【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理,得, 又,,,所以,解得,. (Ⅱ)在△中,, 由正弦定理得 , 因?yàn)?所以為銳角,所以 因此 . ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知函數(shù)的最小正周期為. (Ⅰ)求的值;

12、(Ⅱ)討論在區(qū)間上的單調(diào)性. 【答案】解: (Ⅰ) .所以 (Ⅱ) 所以 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知函數(shù)的周期為,圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為,將函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),在將所得圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像. (1)求函數(shù)與的解析式; (2)是否存在,使得按照某種順序成等差數(shù)列?若存在,請(qǐng)確定的個(gè)數(shù);若不存在,說明理由. (3)求實(shí)數(shù)與正整數(shù),使得在內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn). 【答案】解:(Ⅰ)由函數(shù)的周期為,,得 又曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為, 故,得,所以 將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)

13、伸長(zhǎng)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)后可得的圖象,再將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù) (Ⅱ)當(dāng)時(shí),, 所以 問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解 設(shè), 則 因?yàn)?所以,在內(nèi)單調(diào)遞增 又, 且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,故可知函數(shù)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn), 即存在唯一的滿足題意 (Ⅲ)依題意,,令 當(dāng),即時(shí),,從而不是方程的解,所以方程等價(jià)于關(guān)于的方程, 現(xiàn)研究時(shí)方程解的情況 令, 則問題轉(zhuǎn)化為研究直線與曲線在的交點(diǎn)情況 ,令,得或 當(dāng)變化時(shí),和變化情況如下表 當(dāng)且趨近于時(shí),趨向于 當(dāng)且趨近于時(shí),趨向于

14、當(dāng)且趨近于時(shí),趨向于 當(dāng)且趨近于時(shí),趨向于 故當(dāng)時(shí),直線與曲線在內(nèi)有無交點(diǎn),在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn); 當(dāng)時(shí),直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn),在內(nèi)無交點(diǎn); 當(dāng)時(shí),直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn),在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn) 由函數(shù)的周期性,可知當(dāng)時(shí),直線與曲線在內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn),從而不存在正整數(shù),使得直線與曲線在內(nèi)恰有個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),直線與曲線在內(nèi)有個(gè)交點(diǎn),由周期性,,所以 綜上,當(dāng),時(shí),函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn) ．（2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題））本小題滿分14分.已知,. (1)若,求證:;(2)設(shè),若,求的值. 【答案】解:(1)∵ ∴ 即, 又∵,∴

15、∴∴ (2)∵ ∴即 兩邊分別平方再相加得: ∴ ∴ ∵ ∴ ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））已知函數(shù),. (Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 若,,求. 【答案】(Ⅰ); (Ⅱ) 因?yàn)?,所以, 所以, 所以. ．（2013年高考湖南卷（理））已知函數(shù). (I)若是第一象限角,且.求的值; (II)求使成立的x的取值集合. 【答案】解: (I). (II) ．（2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題））本小題滿分16分.如圖,游客從某旅游

16、景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑.一種是從沿直線步行到,另一種是先從沿索道乘纜車到,然后從沿直線步行到.現(xiàn)有甲.乙兩位游客從處下山,甲沿勻速步行,速度為.在甲出發(fā)后,乙從乘纜車到,在處停留后,再?gòu)膭蛩俨叫械?假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為,山路長(zhǎng)為,經(jīng)測(cè)量,,. (1)求索道的長(zhǎng); (2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短? (3)為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)? C B A 【答案】解:(1)∵, ∴∴, ∴ 根據(jù)得 (2)設(shè)乙出發(fā)t分鐘后,甲.乙距離為d,則 ∴ ∵即 ∴時(shí),即乙出發(fā)分鐘后,乙在纜車上與甲的距

17、離最短. (3)由正弦定理得(m) 乙從B出發(fā)時(shí),甲已經(jīng)走了50(2+8+1)=550(m),還需走710 m 才能到達(dá)C 設(shè)乙的步行速度為V ,則 ∴∴ ∴為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在范圍內(nèi) 法二:解:(1)如圖作BD⊥CA于點(diǎn)D, 設(shè)BD=20k,則DC=25k,AD=48k, AB=52k,由AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m. (2)設(shè)乙出發(fā)x分鐘后到達(dá)點(diǎn)M, 此時(shí)甲到達(dá)N點(diǎn),如圖所示. 則:AM=130x,AN=50(x+2), 由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400

18、 x2-14000 x+10000, 其中0≤x≤8,當(dāng)x=(min)時(shí),MN最小,此時(shí)乙在纜車上與甲的距離最短. (3)由(1)知:BC=500m,甲到C用時(shí):=(min). 若甲等乙3分鐘,則乙到C用時(shí):+3= (min),在BC上用時(shí): (min) . 此時(shí)乙的速度最小,且為:500÷=m/min. 若乙等甲3分鐘,則乙到C用時(shí):-3= (min),在BC上用時(shí): (min) . 此時(shí)乙的速度最大,且為:500÷=m/min. 故乙步行的速度應(yīng)控制在[,]范圍內(nèi). C B A D M N ．（2013年高考湖北卷（理））在中,角,,對(duì)應(yīng)的邊分別是,,.已

19、知. (I)求角的大小; (II)若的面積,,求的值. 【答案】解:(I)由已知條件得: ,解得,角 (II),由余弦定理得:, ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））△在內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知. (Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求△面積的最大值. 【答案】 ．（2013年高考新課標(biāo)1（理））如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠BPC=90° (1) 若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA (2) 【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=3

20、0o,在△PBA中,由余弦定理得==,∴PA=; (Ⅱ)設(shè)∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得,,化簡(jiǎn)得,, ∴=,∴=. ．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）本題共有2個(gè)小題,第一小題滿分4分,第二小題滿分9分. 在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在軸正半軸上,點(diǎn)在軸上,其橫坐標(biāo)為,且 是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列,記,. (1)若,求點(diǎn)的坐標(biāo); (2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的最大值及相應(yīng)的值. P2 0 x y A P1 P3 P4 [解](1) (2) 【答案】[解](1)設(shè),根據(jù)題意,.由,知, 而, 所以,解得或. 故點(diǎn)的坐標(biāo)為或. (2)由題意,點(diǎn)的坐標(biāo)為,. . 因?yàn)?所以, 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立. 易知在上為增函數(shù), 因此,當(dāng)時(shí),最大,其最大值為. ．（2013年高考江西卷（理））在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0. (1) 求角B的大小;若a+c=1,求b的取值范圍 【答案】解:(1)由已知得 即有 因?yàn)?所以,又,所以, 又,所以. (2)由余弦定理,有. 因?yàn)?有. 又,于是有,即有.