大學(xué)物理課件：9_2 簡諧振動的合成

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1、大學(xué)物理學(xué)第九章第九章 機(jī)械振動和機(jī)械波機(jī)械振動和機(jī)械波9.2 簡諧振動的合成簡諧振動的合成 一、同方向同頻率諧振動的合成一、同方向同頻率諧振動的合成)cos(222 tAx)cos(111 tAx)cos(21 tAxxx合振動的運(yùn)動方程：合振動的運(yùn)動方程：22112211coscossinsin AAAAarctg v 合成結(jié)果仍為簡諧運(yùn)動合成結(jié)果仍為簡諧運(yùn)動v 合振動與分振動在同一方向，且有相同頻率。合振動與分振動在同一方向，且有相同頻率。A2A1Axx2x1xo12)cos(212212221 AAAAA1）2）同相，同相，合振幅最大合振幅最大反相，反相，合振幅最小合振幅最小,2,1,

2、0212 kk 21AAA A1A2A)cos(212212221 AAAAA,2,1,0)12(12 kk A1A2A3）一般情況（相位差任意）一般情況（相位差任意）2121AAAAA 相位差在同頻率簡諧振動合成中起決定性作用相位差在同頻率簡諧振動合成中起決定性作用 k 12A1A2A21AAA 討論討論二、兩個(gè)同方向不同頻率諧振動的合成二、兩個(gè)同方向不同頻率諧振動的合成v 兩振動的相位差隨時(shí)間變化。兩振動的相位差隨時(shí)間變化。v一般情況下，合振動不再是簡諧振動。一般情況下，合振動不再是簡諧振動。設(shè)兩振動的振幅相同，初相相同。設(shè)兩振動的振幅相同，初相相同。合振動的運(yùn)動方程為：合振動的運(yùn)動方程為

3、：)22cos()22cos21212 ttA（)()()()(12121122 ttt)cos()(1111 tAtx)cos()(2222 tAtx2)(cos2)(cos21212 ttA)cos()(11 tAtx)cos()(22 tAtx)cos()cos()(21 tAtAtx兩頻率都較大，兩頻率都較大，而頻率差很小的情況。而頻率差很小的情況。-拍現(xiàn)象拍現(xiàn)象)22cos()22cos21212 ttA（振振 幅幅周期振動周期振動單位時(shí)間內(nèi)合振動振幅強(qiáng)弱變化的次數(shù)叫單位時(shí)間內(nèi)合振動振幅強(qiáng)弱變化的次數(shù)叫拍頻。拍頻。拍現(xiàn)象的應(yīng)用：拍現(xiàn)象的應(yīng)用：v 用音叉振動校準(zhǔn)樂器用音叉振動校準(zhǔn)樂器v

4、 測定超聲波測定超聲波v 測定無線電頻率測定無線電頻率v 調(diào)制高頻振蕩的振幅和頻率等調(diào)制高頻振蕩的振幅和頻率等12 拍拍振幅變化的頻率振幅變化的頻率三、兩個(gè)相互垂直的同頻率諧振動的合成：三、兩個(gè)相互垂直的同頻率諧振動的合成：)cos(22 tAy消去參數(shù)消去參數(shù) t，得軌跡方程。，得軌跡方程。)(sin)cos(21221221222212 AAxyAyAx)cos(11 tAx橢圓方程，形狀決定于分振動的振幅和相位差。橢圓方程，形狀決定于分振動的振幅和相位差。運(yùn)動方程：運(yùn)動方程：)cos(12221 tAAr軌跡：軌跡：xAAy12 012 1)兩個(gè)分振動同相。兩個(gè)分振動同相。合運(yùn)動時(shí)簡諧振

5、動，角頻率與初相不變。合運(yùn)動時(shí)簡諧振動，角頻率與初相不變。運(yùn)動方程：運(yùn)動方程：)cos(12221 tAAs合運(yùn)動時(shí)簡諧振動，角頻率與初相不變。合運(yùn)動時(shí)簡諧振動，角頻率與初相不變。軌跡：軌跡：xAAy12，兩兩個(gè)個(gè)分分振振動動反反相相。）122 1222212 AyAx軌跡：軌跡：y 比比x 位相超前位相超前 /2，橢圓軌道運(yùn)動的方向時(shí)順時(shí)橢圓軌道運(yùn)動的方向時(shí)順時(shí)針，針，即右旋的。即右旋的。2/312 ）)2/cos(12 tAy)cos(11 tAx2 1222212 AyAx軌跡：軌跡：y 比比x 位相滯后位相滯后 /2，橢圓軌道運(yùn)動的方向時(shí)逆時(shí)針，橢圓軌道運(yùn)動的方向時(shí)逆時(shí)針，即左旋的。即

6、左旋的。2/3412 ）23)2/cos(12 tAy)cos(11 tAx四、兩個(gè)相互垂直的不同頻率簡諧振動的合成四、兩個(gè)相互垂直的不同頻率簡諧振動的合成)cos(222 tAy)cos(111 tAx 一般情況下，合振動軌道不是封閉曲線，但當(dāng)頻率有簡單一般情況下，合振動軌道不是封閉曲線，但當(dāng)頻率有簡單的整數(shù)比關(guān)系時(shí)，形成穩(wěn)定的封閉曲線，稱為的整數(shù)比關(guān)系時(shí)，形成穩(wěn)定的封閉曲線，稱為李薩如圖形李薩如圖形。兩振動的頻率成兩振動的頻率成整數(shù)比整數(shù)比時(shí)，其軌跡稱為李薩如圖形。時(shí)，其軌跡稱為李薩如圖形。1、阻尼的分類、阻尼的分類a、摩擦阻尼：機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。、摩擦阻尼：機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。b、輻射阻尼

7、：能量輻射出去，形成波（音叉、樂器等）。、輻射阻尼：能量輻射出去，形成波（音叉、樂器等）。txvfrdd 實(shí)驗(yàn)表明當(dāng)速度不太大時(shí)：實(shí)驗(yàn)表明當(dāng)速度不太大時(shí)：一、阻尼振動一、阻尼振動 為為阻力系數(shù)阻力系數(shù)。動力學(xué)方程：動力學(xué)方程：振幅隨時(shí)間而減小的振動叫做阻尼振動。振幅隨時(shí)間而減小的振動叫做阻尼振動。2、阻尼振動的動力學(xué)方程：、阻尼振動的動力學(xué)方程：Fxmopmxkrf粘滯阻力：粘滯阻力：txkxtxmdddd22 m2 mk 20 令令 9.3 阻尼振動、受迫振動和共振阻尼振動、受迫振動和共振。由由系系統(tǒng)統(tǒng)本本身身的的性性質(zhì)質(zhì)決決定定mk 0 固有角頻率：固有角頻率：由由阻阻力力系系數(shù)數(shù)決決定定

8、。m2 阻尼因子：阻尼因子：0dd2dd2022 xtxtx 時(shí)，阻尼較小時(shí)，阻尼較?。ㄇ纷枘幔ㄇ纷枘幔朔匠痰慕猓捍朔匠痰慕猓? )cos()(tAetxt220 式中：式中：3、阻尼振動的動力學(xué)方程的解：阻尼振動的動力學(xué)方程的解：)cos(0 teAtteA 0 xot欠阻尼特點(diǎn)：欠阻尼特點(diǎn)：v 振幅隨時(shí)間振幅隨時(shí)間 t 作指數(shù)衰減。作指數(shù)衰減。v 阻尼振動周期比系統(tǒng)的固有周期長。阻尼振動周期比系統(tǒng)的固有周期長。臨界阻尼：物體不能往復(fù)運(yùn)動的臨界情況。臨界阻尼：物體不能往復(fù)運(yùn)動的臨界情況。從周期運(yùn)動變?yōu)榉侵芷谡駝訌闹芷谶\(yùn)動變?yōu)榉侵芷谡駝?。時(shí)，為時(shí)，為臨界阻尼臨界阻尼。0 應(yīng)用：阻尼裝置

9、用于減振或儀器指針調(diào)節(jié)。應(yīng)用：阻尼裝置用于減振或儀器指針調(diào)節(jié)。0 時(shí)，阻尼較大時(shí)，阻尼較大（過阻尼）（過阻尼）。無振動發(fā)生、非周期運(yùn)動無振動發(fā)生、非周期運(yùn)動欠阻尼欠阻尼臨界阻尼臨界阻尼過阻尼過阻尼t(yī)ox系統(tǒng)在周期性外力持續(xù)作用下所發(fā)生的振動。系統(tǒng)在周期性外力持續(xù)作用下所發(fā)生的振動。二、受迫振動二、受迫振動1、受迫振動的定義：受迫振動的定義：阻尼力阻尼力:彈性力彈性力:v kx 2、受迫振動的運(yùn)動微分方程：受迫振動的運(yùn)動微分方程：策動力：策動力：tFF cos0 mkxfFxtFtxkxtxm cosdddd022 tFvkxtxm cosdd022 mFhmmk0202;；令令 thxtxtx

10、 cosdd2dd2022 在在阻尼較小阻尼較小的情況下，的情況下，微分方程的解為：微分方程的解為：阻尼振動阻尼振動,隨時(shí)間的推移而消失隨時(shí)間的推移而消失簡諧振動，穩(wěn)定解。簡諧振動，穩(wěn)定解。經(jīng)一段時(shí)間受迫振動變?yōu)榻?jīng)一段時(shí)間受迫振動變?yōu)橐圆邉恿Φ念l率為振動頻率以策動力的頻率為振動頻率的簡諧振動。的簡諧振動。其振幅和相位為：其振幅和相位為：)cos()cos()(2200 tAteAtxt)cos(2200 teAt)cos(tA2222204)(hA2202 arctg初相位為：初相位為：三、共振：三、共振：當(dāng)策動力的角頻率為某一定值時(shí)當(dāng)策動力的角頻率為某一定值時(shí),受迫振動的振幅達(dá)到最受迫振動的

11、振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為大值的現(xiàn)象稱為位移位移共振共振。0dd A令令2222204)(hA由由2202 hAr共振的振幅共振的振幅2202 r共振的角頻率共振的角頻率 位移共振時(shí)，振幅最大，位移共振時(shí)，振幅最大，系統(tǒng)形變最大。系統(tǒng)形變最大。1、位移共振：、位移共振：0 較較大大 大大 較較小小 0 2、速度共振、速度共振)sin(dd tAtxv22222004)(hAv0dd0 v令令 當(dāng)策動力的角頻率為某一定值時(shí)當(dāng)策動力的角頻率為某一定值時(shí),受迫振動的速度振幅達(dá)受迫振動的速度振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為到最大值的現(xiàn)象稱為速度速度共振共振。0 共振的角頻率共振的角頻率位移共振位移共振與與速度共振速度共振，條件不同。，條件不同。速度共振時(shí)，速率最大，系統(tǒng)速度共振時(shí)，速率最大，系統(tǒng)動能最大。動能最大。也稱也稱能量共振。能量共振。20hv 共振的速度振幅共振的速度振幅0 較較大大 大大 較較小小 mv0 3、共振的危害及應(yīng)用、共振的危害及應(yīng)用利：利：樂器利用之可提高音效、樂器利用之可提高音效、電磁共振選臺（收音機(jī)電磁共振選臺（收音機(jī)）核磁共振。核磁共振。害：害：橋梁、建筑物等。橋梁、建筑物等。1940 年年7月月1日塔科瑪海峽大橋的共振斷蹋日塔科瑪海峽大橋的共振斷蹋