2013年全國高考數(shù)學(xué) 試題分類匯編7 立體幾何

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1、2013年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編7：立體幾何 一、選擇題 ．（2013年高考新課標(biāo)1（理））如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度,則球的體積為 （　?。? A． B． C． D． 【答案】A ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是 （　?。? A．若,,,則 B．若,,,則 C．若,,,則 D．若,,,則 【答案】D ．（2013年上海市春季高

2、考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）若兩個球的表面積之比為,則這兩個球的體積之比為 （　?。? A． B． C． D． 【答案】C ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對））已知正四棱柱中,則與平面所成角的正弦值等于 （　?。? A． B． C． D． 【答案】A ．（2013年高考新課標(biāo)1（理））某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 （　?。? A． B． C． D． 【答案】A ．（2013年高考湖北卷（理））一個幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成,其體積分別記為,,,,上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體,下

3、面兩個簡單幾何體均為多面體,則有 （　　） A． B． C． D． 【答案】C ．（2013年高考湖南卷（理））已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能等于 （　?。? A． B． C． D． 【答案】C ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））某四棱臺的三視圖如圖所示,則該四棱臺的體積是 正視圖 俯視圖 側(cè)視圖 第5題圖 （　?。? A． B． C． D． 【答案】B ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)

4、（理）（純WORD版含答案））已知為異面直線,平面,平面.直線滿足,則 （　?。? A．,且 B．,且 C．與相交,且交線垂直于 D．與相交,且交線平行于 【答案】D ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直,體積為,底面是邊長為的正三角形.若為底面的中心,則與平面所成角的大小為 （　?。? A． B． C． D． 【答案】B ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））某幾何體的三視圖如題圖所示,則該幾何體的體積為 （　　） A． B． C． D． 【答案】C ．（2013年普通高等學(xué)校

5、招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））已知三棱柱的6個頂點都在球的球面上,若,,,則球的半徑為 （　　） A． B． C． D． 【答案】C ．（2013年高考江西卷（理））如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,正方體的六個面所在的平面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,那么 （　?。? A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是,畫該四面體三視圖中的正視圖時,以平面為投影面,則得到正視圖可以為

6、 （　?。? A． B． C． D． 【答案】A ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））在下列命題中,不是公理的是 （　　） A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行 B．過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面 C．如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi) D．如果兩個不重合的平面有一個公共點, 那么他們有且只有一條過該點的公共直線 【答案】A ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））在空間中,過點作平面的垂線,垂足為,記.設(shè)是兩個不同的平面,對空間任意一點,,恒

7、有,則 （　　） A．平面與平面垂直 B．平面與平面所成的(銳)二面角為 C．平面與平面平行 D．平面與平面所成的(銳)二面角為 【答案】A ．（2013年高考四川卷（理））一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是 【答案】D 二、填空題 ．（2013年高考上海卷（理））在平面上,將兩個半圓弧和、兩條直線 和圍成的封閉圖形記為D,如圖中陰影部分.記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為,過作的水平截面,所得截面面積為,試?yán)米鏁溤?、一個平放的圓柱和一個長方體,得出的體積值為__________ 【答案】. ．（2013年高

8、考陜西卷（理））某幾何體的三視圖如圖所示, 則其體積為________. 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對））已知圓和圓是球的大圓和小圓,其公共弦長等于球的半徑,,且圓與圓所在的平面所成的一個二面角為,則球的表面積等于______. 【答案】 ．（2013年高考北京卷（理））如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,點P到直線CC1的距離的最小值為__________. 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生

9、全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題））如圖,在三棱柱中,分別是的中點,設(shè)三棱錐的體積為,三棱柱的體積為,則____________. 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積等于________. 4 3 2 3 3 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 （第12題圖） 【答案】24 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖,正方體的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段上

10、的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是__①②③⑤___(寫出所有正確命題的編號). ①當(dāng)時,S為四邊形;②當(dāng)時,S為等腰梯形;③當(dāng)時,S與的交點R滿足;④當(dāng)時,S為六邊形;⑤當(dāng)時,S的面積為. 【答案】①②③⑤ ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是____________. 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知某一多面體內(nèi)接于一個簡單組合體,如果該組合體的正視圖.測試圖.俯視圖均如圖所示,且

11、圖中的四邊形是邊長為2的正方形,則該球的表面積是_______________ 【答案】 ．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）在如圖所示的正方體中,異面直線與所成角的大小為_______ D1 C1 B1 A1 D C A B 【答案】 三、解答題 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點. (I)求證: (II) 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））如圖,四棱錐中,,,為的中

12、點,. (1)求的長; (2)求二面角的正弦值. 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖,圓錐頂點為.底面圓心為,其母線與底面所成的角為22.5°.和是底面圓上的兩條平行的弦,軸與平面所成的角為60°. (Ⅰ)證明:平面與平面的交線平行于底面; (Ⅱ)求. 【答案】解: (Ⅰ) . 所以,. (Ⅱ) . . . 法二: ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖,在四面體中,平面,.是的中點, 是的中點,點在線段上,

13、且. (1)證明:平面;(2)若二面角的大小為,求的大小. A B C D P Q M （第20題圖） 【答案】解:證明(Ⅰ)方法一:如圖6,取的中點,且是中點,所以.因為是中點,所以;又因為(Ⅰ)且,所以,所以面面,且面,所以面; 方法二:如圖7所示,取中點,且是中點,所以;取的三等分點,使,且,所以,所以,且,所以面; (Ⅱ)如圖8所示,由已知得到面面,過作于,所以,過作于,連接,所以就是的二面角;由已知得到,設(shè),所以 , 在中,,所以在中, ,所以在中 ; ．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）如圖,在正三棱錐中,,異

14、面直線與所成角的大小為,求該三棱柱的體積. B1 A1 C1 A C B 【答案】[解]因為 . 所以為異面直線與.所成的角,即=. 在Rt中,, 從而, 因此該三棱柱的體積為. ．（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題））本小題滿分14分. 如圖,在三棱錐中,平面平面,,,過作,垂足為,點分別是棱的中點. 求證:(1)平面平面; (2). 【答案】證明:(1)∵,∴F分別是SB的中點 ∵E.F分別是SA.SB的中點 ∴EF∥AB 又∵EF平面ABC, AB平

15、面ABC ∴EF∥平面ABC 同理:FG∥平面ABC 又∵EFFG=F, EF.FG平面ABC∴平面平面 (2)∵平面平面 平面平面=BC AF平面SAB AF⊥SB ∴AF⊥平面SBC 又∵BC平面SBC ∴AF⊥BC 又∵, ABAF=A, AB.AF平面SAB ∴BC⊥平面SAB又∵SA平面SAB∴BC⊥SA ．（2013年高考上海卷（理））如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,證明直線BC1平行于平面DA1C,并求直線BC1到平面D1AC的距離. 【答案】因為ABCD-A1B1C1D1為長方體,故,

16、 故ABC1D1為平行四邊形,故,顯然B不在平面D1AC上,于是直線BC1平行于平面DA1C; 直線BC1到平面D1AC的距離即為點B到平面D1AC的距離設(shè)為 考慮三棱錐ABCD1的體積,以ABC為底面,可得 而中,,故 所以,,即直線BC1到平面D1AC的距離為. ．（2013年高考湖北卷（理））如圖,是圓的直徑,點是圓上異于的點,直線平面,,分別是,的中點. (I)記平面與平面的交線為,試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并加以證明; (II)設(shè)(I)中的直線與圓的另一個交點為,且點滿足.記直線與平面所成的角為,異面直線與所成的角為,二面角的大小為,求證:. 第19題

17、圖 【答案】解:(I),, 又 (II)連接DF,用幾何方法很快就可以得到求證.(這一題用幾何方法較快,向量的方法很麻煩,特別是用向量不能方便的表示角的正弦.個人認(rèn)為此題與新課程中對立體幾何的處理方向有很大的偏差.) ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））如圖1,在等腰直角三角形中,,,分別是上的點,,為的中點.將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中. (Ⅰ) 證明:平面; (Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值. . C O B D E A C D O B E 圖1

18、 圖2 【答案】(Ⅰ) 在圖1中,易得 C D O B E H 連結(jié),在中,由余弦定理可得 由翻折不變性可知, 所以,所以, 理可證, 又,所以平面. (Ⅱ) 傳統(tǒng)法:過作交的延長線于,連結(jié), 因為平面,所以, 所以為二面角的平面角. 結(jié)合圖1可知,為中點,故,從而 C D O x E 向量法圖 y z B 所以,所以二面角的平面角的余弦值為. 向量法:以點為原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示, 則,, 所以, 設(shè)為平面的法向量,則 ,即,解得,令,得 由(Ⅰ) 知,為平面的

19、一個法向量, 所以,即二面角的平面角的余弦值為. ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 側(cè)棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E為棱AA1的中點. (Ⅰ) 證明B1C1⊥CE; (Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值. (Ⅲ) 設(shè)點M在線段C1E上, 且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為, 求線段AM的長. 【答案】 ．（2013年高考新課標(biāo)1（理））如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=C

20、B,AB=A A1,∠BA A1=60°. (Ⅰ)證明AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)取AB中點E,連結(jié)CE,,, ∵AB=,=,∴是正三角形, ∴⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵=E,∴AB⊥面, ∴AB⊥; (Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB, 又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥, ∴EA,EC,兩兩相互垂直,以E為坐標(biāo)原點,的方向為軸正方向,||為單位長度,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系, 有題

21、設(shè)知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),則=(1,0,),==(-1,0,),=(0,-,), 設(shè)=是平面的法向量, 則,即,可取=(,1,-1), ∴=, ∴直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值為 ．（2013年高考陜西卷（理））如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O⊥平面ABCD, . (Ⅰ) 證明: A1C⊥平面BB1D1D; (Ⅱ) 求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角的大小. 【答案】解:(Ⅰ) ;又因為,在正方形AB CD中,. 在正方形AB C

22、D中,AO = 1 . . .(證畢) (Ⅱ) 建立直角坐標(biāo)系統(tǒng),使用向量解題. 以O(shè)為原點,以O(shè)C為X軸正方向,以O(shè)B為Y軸正方向.則 . 由(Ⅰ)知, 平面BB1D1D的一個法向量 設(shè)平面OCB1的法向量為 . 所以,平面OCB1與平面BB1D1D的夾角為 ．（2013年高考江西卷（理））如圖,四棱錐中,,,連接并延長交于. (1) 求證:; (2) 求平面 與平面的夾角的余弦值. 【答案】解:(1)在中,因為是的中點,所以, 故, 因為,所以, 從而有, 故,又因為所以∥. 又平面, 所以故平面. (3

23、) 以點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的坐標(biāo)系,則, (4) ,故 設(shè)平面的法向量,則 , 解得,即. 設(shè)平面的法向量,則,解得, 即.從而平面與平面的夾角的余弦值為. ．（2013年高考四川卷（理））如圖,在三棱柱中,側(cè)棱底面,,,分別是線段的中點,是線段的中點. (Ⅰ)在平面內(nèi),試作出過點與平面平行的直線,說明理由,并證明直線平面; (Ⅱ)設(shè)(Ⅰ)中的直線交于點,交于點,求二面角的余弦值. 【答案】解:如圖,在平面內(nèi),過點做直線//,因為在平面外, 在平面內(nèi),由直線與平面平行的判定定理可知, //平面. 由已知,,是的中點,所以,,則直線

24、. 因為平面,所以直線.又因為在平面內(nèi),且與相交,所以直線平面 解法一: 連接,過作于,過作于,連接. 由知,平面,所以平面平面. 所以平面,則. 所以平面,則. 故為二面角的平面角(設(shè)為). 設(shè),則由,,有,. 又為的中點,所以為的中點,且, 在中, ;在中, . 從而,,, 所以. 所以. 故二面角的余弦值為 解法二: 設(shè).如圖,過作平行于,以為坐標(biāo)原點,分別以,的方向為軸,軸,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系(點與點重合). 則,. 因為為的中點,所以分別為的中點, 故, 所以,,. 設(shè)

25、平面的一個法向量為,則 即故有 從而 取,則,所以. 設(shè)平面的一個法向量為,則 即故有 從而 取,則,所以. 設(shè)二面角的平面角為,又為銳角, 則. 故二面角的余弦值為 ．（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題））本小題滿分10分. 如圖,在直三棱柱中,,,,點是的中點 (1)求異面直線與所成角的余弦值 (2)求平面與所成二面角的正弦值. 【答案】本題主要考察異面直線.二面角.空間向量等基礎(chǔ)知識以及基本運算,考察運用空間向量解決問題的能力. 解:(1)以為為單位正交基底建立空間直角

26、坐標(biāo)系, 則,,,, ∴, ∴ ∴異面直線與所成角的余弦值為 (2) 是平面的的一個法向量 設(shè)平面的法向量為,∵, 由 ∴ 取,得,∴平面的法向量為 設(shè)平面與所成二面角為 ∴, 得 ∴平面與所成二面角的正弦值為 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對））如圖,四棱錐中,與都是等邊三角形. (I)證明: (II)求二面角的大小. 【答案】 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））如圖所示,在三棱錐中,平面,, 分別是的中點, ,與交

27、于點,與交于點,連接. (Ⅰ)求證:; (Ⅱ)求二面角的余弦值. 【答案】解:(Ⅰ)證明:因為 分別是的中點, 所以∥,∥,所以∥, 又平面,平面, 所以∥平面, 又平面,平面平面, 所以∥, 又∥, 所以∥. (Ⅱ)解法一:在△中, ,, 所以,即,因為平面,所以, 又,所以平面,由(Ⅰ)知∥, 所以平面,又平面,所以,同理可得, 所以為二面角的平面角,設(shè),連接, 在△中,由勾股定理得,, 在△中,由勾股定理得,, 又為△的重心,所以 同理 , 在△中,由余弦定理得, 即二面角的余弦值為. 解法二

28、:在△中,,, 所以,又平面,所以兩兩垂直, 以為坐標(biāo)原點,分別以所在直線為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,,所以,,,, 設(shè)平面的一個法向量為, 由,, 得 取,得. 設(shè)平面的一個法向量為 由,, 得 取,得.所以 因為二面角為鈍角,所以二面角的余弦值為. ．（2013年高考湖南卷（理））如圖5,在直棱柱,,. (I)證明:; (II)求直線所成角的正弦值. 【答案】解: (Ⅰ) . (證畢) (Ⅱ) . ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純

29、WORD版））如圖,在四棱柱中,側(cè)棱,,,,,,. (1)求證: (2)若直線與平面所成角的正弦值為,求的值; (3)現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼接成一個新的棱柱,規(guī)定:若拼接成的新的四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案.問:共有幾種不同的方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為,寫出的表達式(直接寫出答案,不必要說明理由) 【答案】解:(Ⅰ)取中點,連接 , 四邊形為平行四邊形 且 在中, ,即,又,所以 平面,平面 ,又, 平面 (Ⅱ)以為原點,的方向為軸的正方向建立

30、如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,, 所以,, 設(shè)平面的法向量,則由 得取,得 設(shè)與平面所成角為,則 ,解得.故所求的值為1 (Ⅲ)共有種不同的方案 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））如圖,直棱柱中,分別是的中點,. (Ⅰ)證明:平面; (Ⅱ)求二面角的正弦值. 【答案】 ．（2013年高考北京卷（理））如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求證:AA1⊥平面ABC; (Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的

31、余弦值; (Ⅲ)證明:在線段BC1存在點D,使得AD⊥A1B,并求的值. 【答案】解: (I)因為AA1C1C為正方形,所以AA1 ⊥AC. 因為平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個平面的交線AC,所以AA1⊥平面ABC. (II)由(I)知AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由題知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如圖,以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-,則B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 設(shè)平面A1BC1的法向量為,則,即, 令,則,,所以. 同理可得,平面BB1C1的法向量為,所以. 由題知二面角A1-BC1-B1為銳角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值為. (III)設(shè)D是直線BC1上一點,且. 所以.解得,,. 所以. 由,即.解得. 因為,所以在線段BC1上存在點D, 使得AD⊥A1B. 此時,.