中考數(shù)學?？家族e點4-3《等腰三角形與直角三角形》

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1、 4.3 等腰三角形與直角三角形. 易錯清單 1.  運用等腰 (等邊 )三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理解決有關計算與證明問題 ,需注意分類討 論思想的滲入. 【例 1】 一直角三角形的兩邊長分別為 3 和 4,則第三邊的長為( ). 【解析】 本題未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊,因此兩條邊中的較長邊 4 既可以是直角 邊,也可以是斜邊,所以求第三邊的長必須分類討論,即 4 是斜邊或直角邊的兩種情況,然后利 用勾股定理求解. 【答案】 D 2.  兩類特殊三角形的組合運用. 【例 2】 (2014·山東威

2、海)如圖,有一直角三角形紙片 ABC,邊 BC=6,  AB=10,∠ACB=90°, 將該直角三角形紙片沿 DE 折疊,使點 A 與點 C 重合,則四邊形 DBCE 的周長為  . 【解析】 先由折疊的性質(zhì)得 AE=CE,AD=CD,∠DCE=∠A,進而得出,∠B=∠BCD,求得=5,  DE 為△ ABC 的中位線 , 得到 DE 的長 , 再在 ABC 中 , 由勾股定理得到 AC=8,即可得四邊形 DBCE 的周長. 【答案】 ∵ 沿 DE 折疊,使點 A 與點 C 重合, ∴ AE=CE,AD=CD,∠DCE=∠A.

3、∴ ∠BCD=90°-∠DCE. 又 ∠B=90°-∠A, ∴ ∠B=∠BCD. ∴ BD=CD=AD=AB=5. ∴ DE 為△ABC 的中位線. 第 - 2 - 頁 共 10 頁 三好網(wǎng)中高級教師在線 1 對 1 輔導，專注 K12 中小學在線一對一輔導，高考輔導、中考輔導，老師質(zhì)量高， 互動體驗強，服務保障好，提分效果快，在家就能上課，先上課，滿意在付費！ 以上資料來源于網(wǎng)絡，如有異議，請?zhí)砑?QQ:905622058 ，將有關問題進行反饋！衷心感謝！ ∵ BC=6,AB=10,∠ACB=90°, ∴ 四邊形 DBC

4、E 的周長為 BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18. 【誤區(qū)糾錯】 本題主要考查了折疊問題和勾股定理的綜合運用.本題中得到 ED 是△ABC 的 中位線關鍵. 3.  勾股定理在折疊問題中的運用. 【例 3】 (2014·湖北孝感)如圖,已知矩形 ABCD,把矩形沿直線 AC 折疊,點 B 落在點 E 處, 連接 DE,BE,若△ABE 是等邊三角形,則= . 【解析】 過 E 作 EM⊥AB 于點 M,交 DC 于點 N,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出 DC=AB,DC∥AB,∠ ABC=90°,設 AB=AE=BE=2a,則 BC==a,即 MN

5、=a,求出 EN,根據(jù)三角形面積公式求出兩個 三角形的面積,即可得出答案. 【答案】 過 E 作 EM⊥AB 于點 M,交 DC 于點 N, ∵ 四邊形 ABCD 是矩形, ∴ DC=AB,DC∥AB,∠ABC=90°. ∴ MN=BC. ∴ EN⊥DC. ∵ 延 AC 折疊 B 和 E 重合 AEB 是等邊三角形, ∴ ∠EAC=∠BAC=30°. 【誤區(qū)糾錯】 本題考查了勾股定理,折疊的性質(zhì),矩形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)的應用,解此 題的關鍵是求出兩個三角形的面積. 名師點撥 1. 2. 3. 4.

6、 掌握等腰三角形、直角三角形的概念并能做出判斷. 會利用等腰(等邊)三角形的性質(zhì)和判定定理證明相關問題. 會利用直角三角形的性質(zhì)與判定解決有關直角三角形的相關問題. 會利用 HL 及其他方法來證明直角三角形全等. 提分策略 1.  等腰三角形的多解問題. 因為等腰三角形的邊有腰與底之分,角有底角和頂角之分,等腰三角形的高線要考慮高在形內(nèi) 和形外兩種情況.故當題中條件給出不明確時,要分類討論進行解題,才能避免漏解情況. 【例 1】 若等腰三角形的一個內(nèi)角為 50°,則它的頂角為  . 【 解 析 】 (1) 若

7、這 個 內(nèi)角 恰 好 是 頂 角 , 則頂 角是 50°;(2) 若 這 個 內(nèi) 角是底 角 , 則 頂 角 =180°-2×50°=80°. 【答案】 50°或 80° 【例 2】 等腰三角形的周長為 16,其一邊長為 6,則另兩邊為 【解析】 當腰是 6 時,則另兩邊是 4,6,且 4+6>6,滿足三邊關系定理;  . 當?shù)走吺?6 時,另兩邊長是 5,5,5  +5>6,滿足三邊關系定理. 故該等腰三角形的另兩邊為:6,4 或 5,5. 【答案】 6,4 或 5,5 2.  等腰三角形的性質(zhì)與判定的運用. (

8、1) 通常用 ①利用線段的垂直平分線進行等線段轉(zhuǎn)換 ,進而進行角度轉(zhuǎn)換 ;  ②等邊對等角說明 兩個角相等. (2) 要證明一個三角形是等腰三角形 , 必須得到兩邊相等 , 而得到兩邊相等的方法主要有 ①通 過等角對等邊得兩邊相等;②通過三角形全等得兩邊相等;③利用垂直平分線的性質(zhì)得兩邊相 等. (3)等邊三角形是特殊的等腰三角形,其中隱含著三邊相等和三個角都等于 60°的結(jié)論,所以要 充分利用這些隱含條件,證明全等或者構造全等. 【例 3】 如圖,在四邊形 ABCD 中,AD∥BC,E 是 AB 的中點,連接 DE 并延長交 CB 的延長線

9、 于點 F,點 G 在邊 BC 上,且∠GDF=∠ADF. (1)求證 ADE BFE; (2)連接 EG,判斷 EG 與 DF 的位置關系,并說明理由. 【解析】 先通過平行條件得到兩對內(nèi)錯角相等,結(jié)合線段中點得到的線段相等,可證明兩個 三角形全等;由角相等的條件可證明△DFG 是等腰三角形,再結(jié)合點 E 是 DF 的中點,根據(jù)等腰 三角形“三線合一”的性質(zhì)可證明結(jié)論. 【答案】 (1)∵ AD∥BC, ∴ ∠ADE=∠BFE,∠DAE=∠FBE. ∵ E 是 AB 的中點, ∴ AE=BE. ∴ △ADE BFE. (2)E

10、G 與 DF 的位置關系是 EG⊥DF. ∵ ∠GDF=∠ADF,∠ADE=∠BFE, ∴ ∠GDF=∠BFE. ∴ GD=GF.由(1),得 DE=EF, ∴ EG⊥DF. 3.  定義、命題、定理、反證法等知識的區(qū)別與聯(lián)系. 只有對一件事情作出判定的語句才是命題 ,其中正確的命題是真命題 , 錯誤的命題是假命題 . 對于命題的真假(正誤)判斷問題,一般只需根據(jù)熟記的定義、公式、性質(zhì)、判定定理等相關內(nèi) 容直接作出判斷即可,有的則需要經(jīng)過必要的推理與計算才能進一步確定真與假. 【例 4】 在下列命題中,其逆命題是真命題的是 ①同

11、旁內(nèi)角互補,兩直線平行;  .(只填寫序號) ②如果兩個角是直角,那么它們相等; ③如果兩個實數(shù)相等,那么它們的平方相等; ④如果三角形的三邊長 a,b,c  滿足 a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形. 【解析】 ①的逆命題:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補,正確;②的逆命題:相等的兩個角是直角,錯 誤;③的逆命題:如果兩個數(shù)的平方相等,那么這兩個數(shù)也相等,錯誤,如:2  2  =(-2)  2  ,但 2≠-2;  ④的 逆命題:如果一個三角形是直角三角形,則它的三邊長 a,b,c 滿足

12、a2+b2=c2,但未說明 C 為直 角的對邊,故錯誤. 【答案】 ① 專項訓練 一、 選擇題 1. (2014 · 江 蘇 鎮(zhèn) 江 外 國 語 學 校 模 擬 ) 在 △ ABC 中 , ∠ C=90°,AC,BC 的 長 分 別 是 方 程 x2  -7x+12 =0 的兩根 ABC 內(nèi)一點 P 到三邊的距離都相等,則 PC 為( ). (第 2 題) 2. (2014·山東濟南二模)如圖,在 ABC 中,∠BAC=90°,D,E 分別是 AB,BC 的中點,F  在 CA 的延長線上,∠FDA=∠B,AC=6, 

13、 AB=8,則四邊形 AEDF 的周長為( ). A. 22 C. 18 二、 填空題  B. 20 D. 16 3.  (2014·江蘇大豐模擬)已知等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,則底角為  度. 4.  (2013·內(nèi)蒙古赤峰一模)等腰三角形的腰長為 2,腰上的高為 1,則它的底角等于  . 5. (2013·江蘇通州興仁中學一模)如圖,在 ABC 中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按圖中所 示方法將△BCD 沿 BD 折疊,使點 C 落在 AB 邊的點 C',那么△AD

14、C'的面積是  . (第 5 題) 三、 解答題 6. (2014·遼寧鞍山 5 校聯(lián)考 ) 如圖 , △ AOB 和△ COD 均為等腰直角三角形 , ∠ AOB=∠ COD=90°,D 在 AB 上. (1)求證 AOC BOD; (2)若 AD=1,  BD=2,求 CD 的長. (第 6 題) 7. (2014·安徽馬鞍山實驗學校模擬)如圖,點 D 為等腰直 ABC 內(nèi)一點,∠CAD=∠CBD=15°. (1)求證:AD=BD; (2)E 為 AD 延長線上的一點,且 CE=CA,求證:AD+CD=

15、DE; (3)當 BD=2 時,AC 的長為  .(直接填出結(jié)果,不要求寫過程) (第 7 題) 參考答案與解析 3. 15 或 75 [解析]等腰三角形分鈍角和銳角三角形兩種情況討論. 4. 15°或 75° [解析]分鈍角三角形和銳角三角形討論. 5. 6cm2 [解析]根據(jù)勾股定理知 AB=10,得 AC'=4. 求得 C'D=3,AD=5. (注:設 CD=x,則 C'D=x,AD=8-x) 6. (1)如圖,  再在直角三角形 AC'D 中運用勾股定理 (第 6 題) ∠1=90°-∠3,∠

16、2=90°-∠3, ∴ ∠1=∠2. 又 OC=OD,OA=OB, ∴ △AOC BOD. (2)由△AOC BOD,有 AC=BD=2,∠CAO=∠DBO=45°, ∴ ∠CAB=90°. 7. (1)∵ AC=BC,∠ACB=90°, ∴ ∠CAB=∠ABC=45°  . ∵ ∠CAD=∠CBD=15°, ∴ ∠BAD=∠ABD=30°. ∴ AD=BD. (2)在 DE 上截取 DM=DC,連接 CM. (第 7 題(1)) ∵ AD=BD,AC=BC,DC=DC, ∴ △ACD BCD. ∴ ∠ACD=∠BCD=45°  . ∵ ∠CAD=15°, ∴ ∠EDC=60°. ∵ DM=DC, ∴ △CMD 是等邊三角形. ∴ ∠CDA=∠CME=120°, ∵ CE=CA, ∴ ∠E=∠CAD. ∴ △CAD CEM, ∴ ME=AD. ∴ DA+DC=ME+MD=DE. ∴ AD+CD=DE. (3) 延長 CD 交 AB 于點 H.則 CH⊥AB. ∵ ∠HBD=30°,BD=2, (第 7 題(2))