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1、
人教版八下數(shù)學(xué) 專題集訓(xùn)二 勾股定理——做輔助線解題
1. 如圖，已知 DC=1，AB=3，∠ABC 與 ∠DAB 互余，則 BD2+AC2 的值為 ??
A． 10 B． 12 C． 14 D． 8
2. 如圖，在四邊形 ABCD 中，∠B=∠C=90°，點(diǎn) E 是 AD 的中點(diǎn)，EF⊥AD 交 CB 于點(diǎn) F，DC=6，AB=8，BC=10，則線段 BF 的長(zhǎng)為 ??
A． 5 B． 52 C． 365 D． 185
3. 在 △ABC 中，∠A，∠B，∠C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，已知 b=7，c=2，∠B=150°，則
2、a 等于 ??
A． 33 B． 43 C． 53 D． 63
4. 如圖，在 △ABC 中，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求 AC，AB 的長(zhǎng)．
5. 四邊形 ABCD 中，∠B=∠D=90°，若 DC=2?cm，AB=5?cm，∠A=60°，求 AD，BC 的長(zhǎng)．
6. 如圖，AC=BC 且 AC⊥BC，點(diǎn) D 在 AB 上，DC=EC 且 DC⊥EC．求證：AD2+BD2=2EC2．
7. 勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰靈感，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖 1 或圖 2 擺
3、放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明．下面是小聰利用圖 1 證明勾股定理的過(guò)程：
將兩個(gè)全等的直角三角形按圖 1 所示擺放放，其中 ∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2．
證明：連接 DB，過(guò)點(diǎn) D 作 BC 邊上的高 DF，則 DF=EC=b-a．
∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab，
又 ∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12ab-a，
∴12b2+12ab=12c2+12ab-a，
∴a2+b2=c2．
請(qǐng)參照上述證法，利用圖 2 完成下面的證明．
將兩個(gè)全等的直角三角形按圖 2 所示擺放，其中 ∠DAB=90°，求證：
4、a2+b2=c2．
證明：連接 ，
∵S五邊形ACBED= ，
又 ∵S五邊形ACBED= ，
∴ ，
∴a2+b2=c2．
答案
1. 【答案】A
2. 【答案】D
3. 【答案】A
4. 【答案】如圖，過(guò)點(diǎn) A 作 AD⊥BC 交 CB 的延長(zhǎng)線于 D，
在 △ABC 中，
∵S△ABC=3，BC=2，
∴AD=2S△ABCBC=2×32=3．
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=180°-135°=45°，
∴∠ABD=∠DAB=45°，
∴AD=BD=3，
∴AB=AD2+BD
5、2=32+32=32，
在 Rt△ADC 中，CD=2+3=5，
由勾股定理得 AC=AD2+CD2=32+52=34．
5. 【答案】如圖所示，延長(zhǎng) AD，BC 交于點(diǎn) E．
∵∠A=60°，∠B=∠ADC=90°，
∴∠E=30°，
∵CD=2?cm，
∴EC=2CD=4?cm，
∴DE=CE2-CD2=23cm，
∵AB=5?cm，
∴AE=2AB=10?cm，
∴BE=AE2-AB2=53cm，
則 AD=10-23cm，BC=53-4cm．
6. 【答案】如圖，連接 BE，
∵AC=BC 且 AC⊥BC，DC=EC 且 DC⊥
6、EC，
∴∠A=∠ABC=45°，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即 ∠ACD=∠BCE，
在 △ACD 和 △BCE 中，
AC=BC,∠ACD=∠BCE,DC=EC,
∴△ACD≌△BCESAS，
∴BE=AD，∠EBC=∠A=45°，
∴∠DBE=45°+45°=90°，
在 Rt△BDE 和 Rt△CDE 中，DE2=BD2+BE2，DE2=CD2+EC2，
∴BD2+BE2=CD2+EC2，
又 ∵AD=BE，CD=EC，
∴AD2+BD2=2EC2．
7. 【答案】 BD，過(guò)點(diǎn) B 作 DE 邊上的高 BF，交 DE 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，則 BF=b-a，EF=AC=b；S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab；S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12ab-a；12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12ab-a
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