2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專題二 高考中解答題的審題方法探究4 數(shù)列問題 理

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1、"2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專題二 高考中解答題的審題方法探究4 數(shù)列問題 理 " 主要題型：(1)利用數(shù)列的有關(guān)概念求特殊數(shù)列的通項與前n項和；(2)利用轉(zhuǎn)化與化歸思想(配湊、變形)將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列(主要解決遞推數(shù)列問題)；(3)利用錯位相減、裂項相消等方法解決數(shù)列求和；(4)利用函數(shù)與不等式處理范圍和最值問題． 【例6】? (2012·廣東)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列． (1)求a1的值； (2)求數(shù)列{an}的通項公式； (3)證明：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜. [審題路

2、線圖] 2Sn＝an－2n＋1＋1，n∈N*， ?令n＝1，n＝2， ?再有a1＋a3＝2(a2＋5)，聯(lián)立三式可求a1. ?由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1寫出n≥2時2Sn－1＝？ ?兩式相減可得an＋1與an的關(guān)系式， ?同除2n，構(gòu)造出一個新數(shù)列． ?利用等比數(shù)列的通項公式求an，(注意驗證n＝1時的情況) ?寫出通項， ?3n＝(2＋1)n，利用二項式定理展開， ?利用放縮法得結(jié)論． [規(guī)范解答](1)當(dāng)n＝1時，2a1＝a2－4＋1＝a2－3，① 當(dāng)n＝2時，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7，②(2分) 又a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列，所以a1＋

3、a3＝2(a2＋5)，③ 由①②③解得a1＝1.(4分) (2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，∴當(dāng)n≥2時，有 2Sn－1＝an－2n＋1，(5分) 兩式相減得an＋1－3an＝2n，則－·＝1，即＋2＝.(8分) 又＋2＝3，知是首項為3， 公比為的等比數(shù)列，(8分) ∴＋2＝3n－1，即an＝3n－2n，n＝1時也適合此式，∴an＝3n－2n.(9分) (3)由(2)得＝＝ ＝＜， ∴＋＋…＋＜1＋＋＋…＋＝1＋＜.(14分) 搶分秘訣 1．?dāng)?shù)列問題第(1)小題一般為求數(shù)列通項公式，在此題中其方向已非常明確，只需構(gòu)造出所給的{an}數(shù)列即可得到解決問題的方法，過

4、程書寫目的較強(qiáng)． 2．?dāng)?shù)列問題第(2)小題，有數(shù)列求和，也有與其他知識相互交匯的不等式證明、不等式恒成立等問題，但很多數(shù)列試題解題的關(guān)鍵往往是一個數(shù)列的求和問題，因此我們要熟練掌握數(shù)列求和的方法． 【例7】? (2011·天津)已知數(shù)列{an}與{bn}滿足bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝，n∈N*，且a1＝2. (1)求a2，a3的值； (2)設(shè)cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，證明：{cn}是等比數(shù)列； (3)設(shè)Sn為{an}的前n項和，證明：＋＋…＋＋≤n－(n∈N*)． [審題路線圖] 首先破解bn＝，即bn＝再結(jié)合bn＋1an＋bnan＋1＝(－

5、2)n＋1就可解出a2，a3； ?對bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1關(guān)系式進(jìn)行處理，n分別取奇數(shù)、偶數(shù)可得兩個關(guān)系式，再抓住cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，即可證明{cn}是等比數(shù)列； ?首先利用cn＝a2n＋1－a2n－1及累加法求a2n－1，從而可求得a2n，然后求出關(guān)系式＋的表達(dá)式，最后利用放縮法證明不等式． [規(guī)范解答](1)由bn＝，n∈N*，可得 bn＝ 又bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1， 當(dāng)n＝1時，a1＋2a2＝－1，由a1＝2，可得a2＝－； 當(dāng)n＝2時，2a2＋a3＝5，可得a3＝8.(4分) (2)對任意n∈N*， a2n－

6、1＋2a2n＝－22n－1＋1，① 2a2n＋a2n＋1＝22n＋1.② ②－①，得a2n＋1－a2n－1＝3×22n－1，即cn＝3×22n－1， 于是＝4.所以{cn}是等比數(shù)列．(8分) (3)a1＝2，由(2)知，當(dāng)k∈N*且k≥2時，a2k－1＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k－1－a2k－3)＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k－3)＝2＋3×＝22k－1， 故對任意k∈N*，a2k－1＝22k－1. 由①得22k－1＋2a2k＝－22k－1＋1， 所以a2k＝－22k－1，k∈N*.(10分) 因此，S2k＝(a1＋a2)＋(a3

7、＋a4)＋…＋(a2k－1＋a2k)＝. 于是S2k－1＝S2k－a2k＝＋22k－1.(12分) 故＋＝＋＝－＝1－－.所以，對任意n∈N*， ＋＋…＋＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝n－－－…－≤n－＝n－.……(14分) 搶分秘訣,本題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問題的能力及分類討論的思想方法，難度較大. 第(2)問與第(1)問相比，難度有所加大，難點(diǎn)就在歸納出一般的式子及遞推關(guān)系式，第(3)問難度更大.在閱卷中發(fā)現(xiàn)，幾乎沒有考生得滿分，少數(shù)考生得前兩問的分?jǐn)?shù)，部分考生得第(1)問的分?jǐn)?shù). [押題5] 已知數(shù)列{an}滿足

8、：a1＝1，an＋1＝ (1)求a2，a3； (2)設(shè)bn＝a2n－2，n∈N*，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求其通項公式； (3)已知cn＝log|bn|，求證：＋＋…＋＜1. (1)解　由數(shù)列{an}的遞推關(guān)系易知： a2＝，a3＝－. (2)證明　bn＋1＝a2n＋2－2＝a2n＋1＋(2n＋1)－2 ＝a2n＋1＋(2n－1)＝(a2n－4n)＋(2n－1) ＝a2n－1＝(a2n－2)＝bn. 又b1＝a2－2＝－，∵bn≠0，∴＝， 即數(shù)列{bn}是公比為，首項為－的等比數(shù)列， bn＝－n－1＝－n. (3)證明　由(2)有cn＝log|bn|＝logn＝n. ∵＝－. ∴＋＋…＋ ＝1－＋＋＋…＋－ ＝1－＜1.