中考數學專題 數學方法

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1、學習好資料 歡迎下載 專題八：數學方法 一、考點綜述 考點內容： 配方法、因式分解法、換元法、待定系數法、面積法 考綱要求： 配方法、因式分解法、換元法、待定系數法、面積法等解題方法是隨著對數學對象的研究的深入而發(fā)展起 來的。要求學生鉆研習題、精通解題方法，可以促進學生進一步熟練地掌握中學數學教材，練好解題的基本功， 提高解題技巧，積累教學資料，提高考試答題的應變能力。 考查方式及分值： 配方法、因式分解法、換元法、待定系數法、面積法等解題方法在中考中選擇、填空、解答題都有出現， 常常在綜合題目中出現，分值在?20?分左右。

2、 備考策略： 分析解題思路，總結解題方法，重在培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力；分析中考對知識的考查方式和未來 中考命題的趨勢，使學生全面了解和掌握各個題型的命題特點與命題趨勢，做到有的放矢。 二、例題解析 1、配方法 所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的 和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種 重要的恒等變形的方法，它的應用非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的 極值和解析式等方面都經常用到它。

3、 例?1：用配方法解方程：?2?x2?-?x?-?1?=?0?． 解題思路： （1）此方程的二次項系數不為?1，要先化成?1； （2）在配方時，當二次項系數為?1?時，方程兩邊都加上一次項系數絕對值的一半的平方就得到完全平方式。 解析：兩邊都除以?2，得?x2?- 1???1 x?-??=?0?． 2???2 移項，得?x2?- 1???1 x?=??． 2???2 配方，得??x2?- x?+?????÷??=?? ，????x?- ÷??=?? ． \?x?-??1 4?? 4????? 4??? 4

4、??????????????? 2 1 ??1??2 9 ? 1??2 9 2 è?4?? 16 è 4?? 16 3 1 3 1 = 或?x?- =?- ．\?x?=?1，?x?=?- ． 1 2 規(guī)律總結：用配方法解一元二次方程的一般步驟： （1）?化二次項系數為?1 學習好資料 歡迎下載 （2）移項：使方程的左邊為二次項和一次項，右邊為常數項 （3）配方：方程兩邊都加上一次項系數絕對值的一半的平方就得到完全平方式 （4）用直接開平方法解方 2、因式分解法 因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基

5、礎，它作為數學的一個 有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。 例?2．已知?4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，求證：2x2+3xy+y2-x-y=0 解題思路：要證明一個多項式的值為零，通常是將此多項式分解因式．若分解后的因式中有一個值為零，則原 多項式的值為零．經過分組分解，可知2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)，若?x+y?或?2x+y-1?為零，則原多項式的 值為零．為達此目的，就要從條件入手． 證明：因為?4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，所以 (2x+y)2-2(2x+y)+1

6、=0， (2x+y-1)2=0． 所以 2x+y-1=0． 又因為 2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)． 而 2x+y-1=0， 所以 2x2+3xy+y2-x-y=0． 規(guī)律總結：要證明一個多項式的值為零，通常是將此多項式分解因式．若分解后的因式中有一個值為零，則原 多項式的值為零。 3、換元法 換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元 法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使

7、 問題易于解決。 例?3．解方程：?2?x?- 1????4?x - x??2?x?2?-?1  =?3 1 2?x?2?-?1 解題思路：此題初看似乎應先去分母，但去分母會使方程兩邊次數太高，仔細觀察可發(fā)現2?x?- = ， x x 2?x?2?-?1 所以應設?y?= ，用換元法解。 x 解：?x??=?1?+? 6 2?????????? 2??????? 2 學習好資料 歡迎下載 6 1 ，?x?=?1?- ，?x?= ，?x?=?-1 1 2 3 4 規(guī)律總結：用新的變元去代替原式的一部分

8、或改造原來的式子，要注意觀察方程的特點。 4、待定系數法 在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而后根據題設條 件列出關于待定系數的等式，最后解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問 題，這種解題方法稱為待定系數法。它是中學數學中常用的方法之一。 例?4?直線?l?與直線 數解析式。 的交點的橫坐標為?2，與直線??????????的交點的縱坐標為?1，求直線?l?對應的函 解題思路：設直線?l?對應的函數解析式為 ，需找出?y?與?x?的兩對對應值才能求出待定系

9、數 k，b?的值，由于?l?與直線 交點的橫坐標為?2，可求出?l?上一點（2，5），l?與 的交點的 縱坐標為?1，可求得?l?上另一點（1，1）于是問題得以解決。 解析：在 所以?l?與直線 在 中，當?x=2?時， 交點為（2，5） 中，y=1?時， 所以直線?l?與直線 的交點為（1，1） 設直線?l?與 ，則 解得 所以?l?的解析式為 規(guī)律總結：根據題設條件列出關于待定系數的等式，最后解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種

10、 關系。 5、面積法 平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關的性質定理，不僅可用于計算面積，而且用它 來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法， 它是幾何中的一種常用方法。 例?5．如圖，已知在ΔABC?中，AB=AC，D?為?BC?上任意一點，DE⊥AB、DF⊥AC，垂 足分別為?E、F，BG?是?AC?邊上的高。求證：DE+DF=BC 解題思路：連接?AD，由 得到?BG×AC=DE×AB+DF×AC，因 為?AB=AC，所以?BG=DE+D

11、F. 規(guī)律總結：運用面積關系來證明或計算平面幾何題的方法，它是幾何中的一種常 學習好資料 歡迎下載 用方法。 綜合訓練 一、選擇題 1、用換元法解方程  2(?x?2?+?1)??6(?x?+?1) + x?+?1????x?2?+?1  =?7?時，下列換元方法中最適宜的是設（??） x?2?+?1 1 A、?y?=?x?2?+?1 B、?y?=?x?+?1 C、?y?= D、?y?= x?+?1 x

12、?2?+?1 2、用換元法解方程?x?2?+?x?+ 1??1 + x??x?2  =?4?，通常會設?y?（???） A、?x?+?x?2 1????????????1??1 B、?x?+??????????C、?+ x????????????x??x?2  D、?x?+?2 3、用配方法解下列方程時,配方有錯誤的是 ( ) A.x2-2x-99=0?化為(x-1)2=100 B.?x2+8x+9=0?化為(x+4)2=25 D.3x2-4x-2=0?化為 C.2x2-7x-4=0?化為 

13、(?x?- 7?81?2 )?2?=?(?x?-?)2?= 4?????16?????????????????????????????????3 10 9 A．?S?=??k 4、反比例函數?y?=?k?（k>0）在第一象限內的圖象如圖?1?所示，P?為該圖象上任一點， x PQ⊥x?軸，設△POQ?的面積為?S，則?S?與?k?之間的關系是（ ） k B．?S?= C．S=k D．S>k 4 2 5、多項式①2x2－x ②(x－1)2－4(x－1)＋4 ③(x＋1)2－4x(x＋1)＋4④－4x2－1 ＋4x?分解因式后，結果含有相同因式的

14、是( ) A、①② B、③④ C、①④ D、②③ 二、填空題 1、某市?2008?年自然保護區(qū)覆蓋率（即自然保護區(qū)面積占全市面積的百分比）為?4.65%，尚未達到國家?A?級標 準，因此，市政府決定加快綠化建設，力爭?2004?年底自然保護區(qū)覆蓋率達到?8%，則該市自然保護區(qū)面積的年 平均增長率_________（結果保留三位有效數字） y 2、若?4x2+bx+9?是完全平方式，則?b= 2 3、在反比例函數?y?= （?x?>?0?）的圖象上，有點 x P，P?，P，P?，它們的橫坐標依次為?1，2，3，4． 1

15、 2 3 4  O 2 y?= x P1 P2 1????2  P3 3  P4 4????x 分別過這些點作?x?軸與?y?軸的垂線，圖中所構成 的陰影部分的面積從左到右依次為?S?，S?，S?， 1 2 3 則?S1?+?S2?+?S3?=  ． 4、由右邊圖象寫出二次函數的解析式______________ 學習好資料 歡迎下載 5、分解因式?a2(x－y)－b2(x－y)_______

16、_______ 6、已知如圖，4?個圓的半徑都為?a，用代數式表示其中陰影部分 的面積，并求當?a=10，π取?3.14?時，陰影部分的面積________ 三、解答題 ??x???2 1.用換元法解下列方程：?? ÷?- è?x?+?1?? 5x x?+?1  +?6?=?0 2.?心?理?學?家?發(fā)?現?，?學?生?對?概?念?的?接?受?能?力?與?提?出?概?念?所?用?的?時?間?x?（?單?位?：?分?）?之?間?滿?足?式?子 x x ( 0 。 -0.?1?2?

17、+?2.?6?+?43?￡?x?￡?)30如果使學生的接受能力達到?59，用多長時間？你知道學生的最大接受能力是 多少嗎？ 3.三角形兩邊的長分別為?8?和?6，第三邊的長是方程?x2-16x+60=0?的根,求該三角形的最長邊上的高。 4.?已知拋物線與?x?軸交于?A(-1，0)、B(1，0)，并經過?M(0，1)，求拋物線的解析式． 5.把下列各式分解因式 (1)a4－16 (2)81x4－72x2y

18、2＋16y4 學習好資料 歡迎下載 6.若?x?2?+?6?x?+?y?2?-?4?y?+?13?=?0?求?x?y 參 考 答?案 一、選擇題 1.C?2.B?3.B?4.B?5.C 二、填空題 1.0.312 2.12?或-12 3. 三、解答題 3 1.?x?=?-2?，?x?=?- 1 2 2 3 2  4.?y=-2x2-4x．

19、5.?(x－y)(a＋b)(a－b)?6.?86 -0.1x2?+?2.6?x?+?43?=?59?整理得?x2?-?26?x?=?-160?配方，得??x?-?13 =?9 2.?解(1)． (?)2 x?=?10 x?=?16 1 2 0.1x2?+?2.6?x?+?43?=?-0.1(x2?-?26?x?-?430?)=?-0.1?é(x?-?13)2?-?169?-?430ù (2)． ???????????????????? =?-0.1(x?-?13)2?+?59.9 答：學生的最大接受能力為?

20、59.9 3.4.8 4.?解：∵拋物線與?x?軸交于?A(-1，0)、B(1，0) ∴設拋物線的解析式為?y＝a(x＋1)(x-1) 又∵拋物線過?M(0，1)，將?x=0，y=1?代入上式，解得?a=-1 學習好資料 歡迎下載 ∴函數解析式為?y=-x2＋1． 5.?解：(1)a4－16=(a2＋4)(a2－4)=(a2＋4)(a＋2)(a－2) (2)81x4－72x2y2＋16y4 =(9x2)2－2·9x2·4y2＋(4y2)2（先化成完全平方的形式，認準誰是公式的?a，誰是?b） =(9x2－4y2)2=[(3x＋2y)2(3x－2y)]2 （注意這不是結果） =(3x＋2y)2(3x－2y)2 6.?解:?x?2?+?6?x?+?y?2?-?4?y?+?13?=?0 x2?+?6?x?+?9?+?y?2?-?4?y?+?4?=?0 (?x?+?3)2?+?(?y?-?2)2?=?0 因為?(?x?+?3)2?≥0,?(?y?-?2)2?≥0?所以?x+3=0,y-2=0?即?x=-3,y=2?則?x?y=9