高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 第四篇 回歸教材 糾錯分析6 解析幾何練習(xí) 理

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6．解析幾何 1．直線的傾斜角與斜率 (1)傾斜角的范圍為[0，π)． (2)直線的斜率 ①定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率k，即k＝tan α(α≠90)；傾斜角為90的直線沒有斜率；②斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線的斜率為k＝(x1≠x2)；③直線的方向向量a＝(1，k)；④應(yīng)用：證明三點共線：kAB＝kBC. [問題1]　(1)直線的傾斜角θ越大，斜率k就越大，這種說法正確嗎？ (2)直線xcos θ＋y－2＝0的傾斜角的范圍是____________________． 答案　(1)錯　(2)[0，]∪[，π) 2．直線方程的五種形式 (1)點斜式：已知直線過點(x0，y0)，其斜率為k，則直線方程為y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x軸的直線． (2)斜截式：已知直線在y軸上的截距為b，斜率為k，則直線方程為y＝kx＋b，它不包括垂直于x軸的直線． (3)兩點式：已知直線經(jīng)過P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點，則直線方程為＝，它不包括垂直于坐標軸的直線． (4)截距式：已知直線在x軸和y軸上的截距為a，b，則直線方程為＋＝1，它不包括垂直于坐標軸的直線和過原點的直線． (5)一般式：任何直線均可寫成Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)的形式． [問題2]　已知直線過點P(1,5)，且在兩坐標軸上的截距相等，則此直線的方程為___________． 答案　5x－y＝0或x＋y－6＝0 3．兩條直線的位置關(guān)系 (1)若已知直線的斜截式方程，l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則： ①l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2；②l1⊥l2?k1k2＝－1；③l1與l2相交?k1≠k2. (2)若已知直線的一般方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則： ①l1∥l2平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0； ②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0； ③l1與l2相交?A1B2－A2B1≠0； ④l1與l2重合?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0. [問題3]　設(shè)直線l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當(dāng)m＝________時，l1∥l2；當(dāng)m＝________時，l1⊥l2；當(dāng)________時l1與l2相交；當(dāng)m＝________時，l1與l2重合． 答案　－1　　m≠3且m≠－1　3 4．點到直線的距離及兩平行直線間的距離 (1)點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為d＝； (2)兩平行線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝. [問題4]　兩平行直線3x＋2y－5＝0與6x＋4y＋5＝0間的距離為________． 答案　 5．圓的方程 (1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，只有當(dāng)D2＋E2－4F>0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圓心為(－，－)，半徑為的圓． [問題5]　若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圓，則a＝________. 答案　－1 6．直線與圓的位置關(guān)系的判斷 (1)幾何法：根據(jù)圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小關(guān)系來判定． (2)代數(shù)法：將直線方程代入圓的方程消元得一元二次方程，根據(jù)Δ的符號來判斷． [問題6]　已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圓心為拋物線y2＝4x的焦點，直線3x＋4y＋2＝0與圓C相切，則該圓的方程為(　　) A．(x－1)2＋y2＝ B．x2＋(y－1)2＝ C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1 答案　C 解析　因為拋物線y2＝4x的焦點為(1,0)，所以a＝1，b＝0，又直線3x＋4y＋2＝0與圓C相切，得r＝＝1，所以該圓的方程為(x－1)2＋y2＝1. 7．圓錐曲線的定義和性質(zhì) 名稱 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 |PF1|＋|PF2|＝2a (2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a (2a<|F1F2|) |PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M 標準方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0) 圖形 范圍 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 頂點 (a,0)，(0，b) (a,0) (0,0) 對稱性 關(guān)于x軸、y軸和原點對稱 關(guān)于x軸對稱 焦點 (c,0) (，0) 軸 長軸長2a，短軸長2b 實軸長2a，虛軸長2b 離心率 e＝＝ (01) e＝1 準線 x＝－ 通徑 |AB|＝ |AB|＝2p 漸近線 y＝x [問題7]　拋物線y2＝2px (p>0)的焦點為F，O為坐標原點，M為拋物線上一點，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4，則拋物線方程為(　　) A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝x 答案　B 解析　依題意，設(shè)M(x，y)，|OF|＝，所以|MF|＝2p，x＋＝2p，x＝，y＝p，又△MFO的面積為4，所以p＝4，p＝4， 所以拋物線方程為y2＝8x. 8．(1)在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意二次項的系數(shù)是否為零，利用解的情況可判斷位置關(guān)系：有兩解時相交；無解時相離；有唯一解時，在橢圓中相切，在雙曲線中需注意直線與漸近線的關(guān)系，在拋物線中需注意直線與對稱軸的關(guān)系，而后判斷是否相切． (2)直線與圓錐曲線相交時的弦長問題 斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長 |P1P2|＝或|P1P2|＝. (3)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于C(x1，y1)，D(x2，y2)，則①焦半徑|CF|＝x1＋； ②弦長|CD|＝x1＋x2＋p；③x1x2＝，y1y2＝－p2. [問題8]　已知拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，過拋物線上一點M(p，p)和拋物線的焦點F作直線l交拋物線于另一點N，則|NF|∶|FM|等于(　　) A．1∶ B．1∶ C．1∶2 D．1∶3 答案　C 解析　由題意可知直線l的方程為y＝2(x－)， 聯(lián)立方程得N(，－p)， 所以|NF|＝＋＝p，|FM|＝p＋＝p， 所以|NF|∶|FM|＝1∶2. 易錯點1　直線的傾斜角和斜率關(guān)系不清 例1　直線xsin α＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是(　　) A．[0，π) B．[0，]∪[，π) C．[0，] D．[0，]∪[，π) 易錯分析　本題易混淆α和傾斜角的關(guān)系，不能真正理解斜率和傾斜角的實質(zhì)，忽視傾斜角本身的范圍． 解析　設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tan θ＝－sin α. 因為sin α∈[－1,1]，所以－1≤tan θ≤1， 又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π. 答案　B 易錯點2　忽視直線的特殊位置 例2　已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0.求使l1∥l2的a的值． 易錯分析　本題易出現(xiàn)的問題是忽視直線斜率不存在的特殊情況，即忽視a＝0的情況． 解　當(dāng)直線斜率不存在，即a＝0時， 有l(wèi)1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1∥l2； 當(dāng)直線斜率存在時，l1∥l2?－＝?a＝－， 經(jīng)檢驗，a＝－符合題意． 故使l1∥l2的a的值為－或0. 易錯點3　焦點位置考慮不全 例3　已知橢圓＋＝1的離心率等于，則m＝______. 易錯分析　本題易出現(xiàn)的問題就是誤以為給出方程的橢圓，其焦點在x軸上導(dǎo)致漏解．該題雖然給出了橢圓的方程，但并沒有確定焦點所在坐標軸，所以應(yīng)該根據(jù)其焦點所在坐標軸進行分類討論． 解析?、佼?dāng)橢圓的焦點在x軸上時， 則由方程，得a2＝4，即a＝2. 又e＝＝， 所以c＝，m＝b2＝a2－c2＝22－()2＝1. ②當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，橢圓的方程為＋＝1. 則由方程，得b2＝4，即b＝2. 又e＝＝，故＝， 解得＝，即a＝2b， 所以a＝4.故m＝a2＝16. 綜上，m＝1或16. 答案　1或16 易錯點4　忽視二次項系數(shù)討論和判別式限制 例4　求過點(0,1)的直線，使它與拋物線y2＝2x僅有一個公共點． 易錯分析　直線與拋物線的軸平行時，直線與拋物線相交，也只有一個交點．Δ>0是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件． 解?、佼?dāng)所求直線斜率不存在時，即直線垂直于x軸，因為過點(0,1)，所以x＝0，即y軸，它正好與拋物線y2＝2x相切； ②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)所求的直線為y＝kx＋1，則所以k2x2＋(2k－2)x＋1＝0.當(dāng)k＝0時，方程有一解，直線與拋物線僅有一個交點，所以直線為y＝1；當(dāng)k≠0時，Δ＝0，方程有一解，直線與拋物線也僅有一個交點，解得k＝，所以所求直線為y＝x＋1. 綜上，滿足條件的直線為：y＝1，x＝0，y＝x＋1. 易錯點5　定點問題思路不清 例5　已知拋物線y2＝4x的焦點為F，過F作兩條相互垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點分別為M，N.求證：直線MN恒過定點． 易錯分析　直線恒過定點是指無論直線如何變動，必有一個定點的坐標適合這條直線的方程，問題就歸結(jié)為用參數(shù)把直線的方程表示出來，無論參數(shù)如何變化這個方程必有一組常數(shù)解．本題容易出錯的地方有兩個：一是在用參數(shù)表示直線MN的方程時計算錯誤；二是在得到了直線系MN的方程后，對直線恒過定點的思路不清，找錯方程的常數(shù)解． 證明　由題設(shè)，知F(1,0)，直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)lAB：y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x， 得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0， 得xM＝＝，又yM＝k(xM－1)＝， 故M(，)． 因為CD⊥AB，所以kCD＝－.以－代k， 同理，可得N(2k2＋1，－2k)． 所以直線MN的方程為(2k2＋1－)(y＋2k) ＝(－2k－)(x－2k2－1)， 化簡整理，得yk2＋(x－3)k－y＝0，該方程對任意k恒成立，故解得 故不論k為何值，直線MN恒過點(3,0)． 1．設(shè)向量a＝(a,1)，b＝(1，b)(ab≠0)，若a⊥b，則直線b2x＋y＝0與直線x－a2y＝0的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 答案　B 解析　由題意知兩直線都經(jīng)過點(0,0)，因為a⊥b，所以ab＝a＋b＝0，所以a＝－b，由于直線b2x＋y＝0的斜率為－b2，直線x－a2y＝0的斜率為，則(－b2)＝－1，故兩直線垂直． 2．過點P(－，－1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如圖，過點P作圓的切線PA，PB，切點為A，B. 由題意知|OP|＝2，|OA|＝1， 則sin α＝， 所以α＝，∠BPA＝. 故直線l的傾斜角的取值范圍是. 3．兩圓x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三條公切線，若a∈R，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為(　　) A．1 B．3 C. D. 答案　A 解析　兩圓方程可化為(x＋a)2＋y2＝4， x2＋(y－2b)2＝1， 由題意知兩圓外切，∴＝3， 即a2＋4b2＝9， ∴＋＝(＋) ＝(5＋＋) ≥(5＋2)＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號，∴(＋)min＝1. 4．點F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>b>0)的左，右焦點，在此橢圓上存在點P，使∠F1PF2＝60，且|PF1|＝2|PF2|，則此橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由∠F1PF2＝60，|PF1|＝2|PF2|， 可得∠PF2F1＝90， ∴e＝＝＝ ＝＝. 5．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB＝120，過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為(　　) A. B．1 C. D．2 答案　A 解析　設(shè)|AF|＝a，|BF|＝b， 由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos 120 ＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab ≥(a＋b)2－()2＝(a＋b)2， ∵a＋b＝|AF|＋|BF|＝2|MN|， ∴|AB|2≥|2MN|2，∴≤. 6．在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是________． 答案　 解析　圓C的標準方程為(x－4)2＋y2＝1，圓心為(4,0)． 由題意知(4,0)到kx－y－2＝0的距離應(yīng)不大于2， 即≤2.整理，得3k2－4k≤0， 解得0≤k≤.故k的最大值是. 7．(2015課標全國Ⅱ改編)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為________． 答案　 解析　如圖， 設(shè)雙曲線E的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則|AB|＝2a，由雙曲線的對稱性，可設(shè)點M(x1，y1)在第一象限內(nèi)，過M作MN⊥x軸于點N(x1,0)，∵△ABM為等腰三角形，且∠ABM＝120，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60， ∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60＝a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60＝2a.將點M(x1，y1)的坐標代入－＝1，可得a2＝b2， ∴e＝＝ ＝. 8．已知點A(－2,0)，B(2,0)，過點A作直線l與以A，B為焦點的橢圓交于M，N兩點，線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為，且直線l與圓x2＋y2＝1相切，則該橢圓的標準方程是________． 答案　＋＝1 解析　根據(jù)題意，知直線l的斜率存在， 設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，① 由題意設(shè)橢圓方程為＋＝1(a2＞4)，② 由直線l與圓x2＋y2＝1相切，得＝1， 解得k2＝. 將①代入②，得(a2－3)x2＋a2x－a4＋4a2＝0，設(shè)點M的坐標為(x1，y1)，點N的坐標為(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－.又線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為，所以|x1＋x2|＝，即－＝－，解得a2＝8.所以該橢圓的標準方程為＋＝1. 9．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為4且過點(，－2)． (1)求橢圓C的方程； (2)過橢圓焦點的直線與橢圓C分別交于點E，F(xiàn)，求的取值范圍． 解　(1)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距是4，所以焦點坐標是(0，－2)，(0,2)，2a＝＋＝4， 所以a＝2，b＝2， 即橢圓C的方程是＋＝1. (2)若直線l垂直于x軸，則點E(0,2)，F(xiàn)(0，－2)，＝－8. 若直線l不垂直于x軸，設(shè)l的方程為y＝kx＋2， 點E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)， 將直線l的方程代入橢圓C的方程得到(2＋k2)x2＋4kx－4＝0，則x1＋x2＝，x1x2＝， 所以＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝－8， 因為0<≤10，所以－8<≤2， 所以的取值范圍是[－8,2]． 10.如圖，橢圓E：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點A(0，－1)，且離心率為. (1)求橢圓E的方程； (2)經(jīng)過點(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q(均異于點A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2. (1)解　由題設(shè)知＝，b＝1， 結(jié)合a2＝b2＋c2，解得a＝. 所以橢圓的方程為＋y2＝1. (2)證明　由題設(shè)知， 直線PQ的方程為y＝k(x－1)＋1(k≠2)， 代入＋y2＝1， 得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0. 由已知Δ>0， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0， 則x1＋x2＝，x1x2＝. 從而直線AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ ＝＋＝＋ ＝2k＋(2－k)(＋) ＝2k＋(2－k) ＝2k＋(2－k) ＝2k－2(k－1)＝2. 所以直線AP與AQ的斜率之和為2.