高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 第四篇 回歸教材 糾錯(cuò)分析3 三角函數(shù)、解三角形、平面向量練習(xí) 理

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3.三角函數(shù)、解三角形、平面向量 1．α終邊與θ終邊相同(α的終邊在θ終邊所在的射線上)?α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等． 任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)α是任意一個(gè)角，P(x，y)是α的終邊上的任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))，它與原點(diǎn)的距離是r＝>0，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)，三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)． [問(wèn)題1]　已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，－4)，則sin α＋cos α的值為________． 答案?。? 2．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式 (1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商數(shù)關(guān)系：tan α＝. (3)誘導(dǎo)公式記憶口訣：奇變偶不變、符號(hào)看象限 角 －α π－α π＋α 2π－α －α 正弦 －sin α sin α －sin α －sin α cos α 余弦 cos α －cos α －cos α cos α sin α [問(wèn)題2]　cos ＋tan＋sin 21π的值為__________． 答案?。? 3．正弦、余弦和正切函數(shù)的常用性質(zhì) 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 定義域 R R {x|x≠＋kπ，k∈Z} 值域 {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} R 單調(diào)性 在[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上遞增； 在[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上遞減 在[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z上遞增； 在[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z上遞減 在(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z上遞增 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1 無(wú)最值 奇偶性 奇 偶 奇 對(duì)稱性 對(duì)稱中心：(kπ，0)，k∈Z 對(duì)稱中心：(kπ＋，0)，k∈Z 對(duì)稱中心：(，0)，k∈Z 對(duì)稱軸：x＝kπ＋，k∈Z 對(duì)稱軸：x＝kπ，k∈Z 無(wú) 周期性 2π 2π π [問(wèn)題3]　函數(shù)y＝sin的遞減區(qū)間是________________． 答案　(k∈Z) 4．三角函數(shù)化簡(jiǎn)與求值的常用技巧 解答三角變換類問(wèn)題要靈活地正用、逆用，變形運(yùn)用和、差、倍角公式和誘導(dǎo)公式，進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值．常用到切割化弦、降冪、拆角拼角等技巧．如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝[(α＋β)＋(α－β)]． α＋＝(α＋β)－，α＝－. [問(wèn)題4]　已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，則cos＝________. 答案?。? 5．解三角形 (1)正弦定理：＝＝＝2R(R為三角形外接圓的半徑)．注意：①正弦定理的一些變式：(ⅰ)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(ⅱ)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(ⅲ)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；②已知三角形兩邊及一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解，要結(jié)合具體情況進(jìn)行取舍．在△ABC中，A>B?sin A>sin B. (2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，cos A＝等，常選用余弦定理判定三角形的形狀． [問(wèn)題5]　在△ABC中，a＝，b＝，A＝60，則B＝________. 答案　45 6．求三角函數(shù)最值的常見(jiàn)類型、方法： (1)y＝asin x＋b(或acos x＋b)型，利用三角函數(shù)的值域，須注意對(duì)字母a的討論． (2)y＝asin x＋bsin x型，借助輔助角公式化成y＝sin(x＋φ)的形式，再利用三角函數(shù)有界性解決． (3)y＝asin2x＋bsin x＋c型，配方后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，應(yīng)注意|sin x|≤1的約束． (4)y＝型，反解出sin x，化歸為|sin x|≤1解決． (5)y＝型，化歸為Asin x＋Bcos x＝C型或用數(shù)形結(jié)合法(常用到直線斜率的幾何意義)求解． (6)y＝a(sin x＋cos x)＋bsin xcos x＋c型，常令t＝sin x＋cos x，換元后求解(|t|≤)． [問(wèn)題6]　函數(shù)y＝sin2x＋sin x－1的值域?yàn)開_______． 答案　[－，1] 解析　y＝(sin x＋)2－，∵sin x∈[－1,1]， ∴當(dāng)sin x＝－時(shí)，ymin＝－； 當(dāng)sin x＝1時(shí)，ymax＝1. ∴函數(shù)的值域?yàn)閇－，1]． 7．向量的平行與平面向量的數(shù)量積 (1)向量平行(共線)的充要條件：a∥b(b≠0)?a＝λb?(ab)2＝(|a||b|)2?x1y2－y1x2＝0. (2)ab＝|a||b|cos θ， 變形：|a|2＝a2＝aa， cos θ＝， a在b上的投影(正射影的數(shù)量)＝. 注意：〈a，b〉為銳角?ab>0且a、b不同向； 〈a，b〉為鈍角?ab<0且a、b不反向． [問(wèn)題7]　已知圓O為△ABC的外接圓，半徑為2，若＋＝2，且||＝||，則向量在向量方向上的投影為________． 答案　3 解析　因?yàn)椋?，所以O(shè)是BC的中點(diǎn)，故△ABC為直角三角形．在△AOC中，有||＝||， 所以∠B＝30.由定義，向量在向量方向上的投影為||cos B＝2＝3. 8．向量中常用的結(jié)論： (1)＝λ＋μ (λ，μ為實(shí)數(shù))，若λ＋μ＝1，則三點(diǎn)A、B、C共線； (2)在△ABC中，若D是BC邊的中點(diǎn)，則＝(＋)； (3)已知O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)．若||＝||＝||，則O為△ABC的外心；若＋＋＝0，則N為△ABC的重心；若＝＝，則P為△ABC的垂心． [問(wèn)題8]　在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，CD與BE交于點(diǎn)F，設(shè)＝a，＝b，＝xa＋yb，則(x，y)為(　　) A．(，) B．(，) C．(，) D．(，) 答案　C 解析　由題意知點(diǎn)F為△ABC的重心，設(shè)H為BC的中點(diǎn)，則＝＝(＋)＝a＋b， 所以x＝，y＝. 易錯(cuò)點(diǎn)1　忽視角的范圍 例1　已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a為大于1的常數(shù))的兩根為tan α，tan β，且α，β∈(－，)，則tan 的值是________． 易錯(cuò)分析　本題易忽略隱含條件tan α，tan β是方程x2＋4ax＋3a＋1＝0的兩個(gè)負(fù)根，α，β∈(－，)，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤． 解析　∵a>1，∴tan α＋tan β＝－4a<0， tan αtan β＝3a＋1>0， ∴tan α，tan β是方程x2＋4ax＋3a＋1＝0的兩個(gè)負(fù)根． 又α，β∈(－，)， ∴α，β∈(－，0)，即∈(－，0)． 由tan(α＋β)＝ ＝＝，可得tan ＝－2. 答案　－2 易錯(cuò)點(diǎn)2　圖象變換方向或變換量把握不準(zhǔn) 例2　已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋)，為了得到函數(shù)g(x)＝cos 2x的圖象，只要將y＝f(x)的圖象(　　) A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 易錯(cuò)分析　①?zèng)]有將f(x)，g(x)化為同名函數(shù)；②平移時(shí)看2x變成了什么，而沒(méi)有認(rèn)識(shí)到平移過(guò)程只是對(duì)“x”而言． 解析　g(x)＝sin(2x＋)＝sin[2(x＋)＋]， ∴y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到y(tǒng)＝g(x)的圖象． 答案　A 易錯(cuò)點(diǎn)3　三角函數(shù)單調(diào)性理解不透 例3　求函數(shù)y＝3sin(－2x)的單調(diào)區(qū)間． 易錯(cuò)分析　對(duì)形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函數(shù)，如果ω<0，要求其單調(diào)區(qū)間，必須先提出負(fù)號(hào)，然后去求解，否則單調(diào)區(qū)間正好相反了． 解　y＝3sin(－2x)＝－3sin(2x－)． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z. ∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ－，kπ＋π]，k∈Z. 同理，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ＋π，kπ＋π]，k∈Z. 易錯(cuò)點(diǎn)4　解三角形時(shí)漏解或增解 例4　在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＝1，c＝. (1)若角C＝，則角A＝________； (2)若角A＝，則b＝________. 易錯(cuò)分析　在用正弦定理解三角形時(shí)，易出現(xiàn)漏解或多解的錯(cuò)誤，如第(1)問(wèn)中沒(méi)有考慮c邊比a邊大，在求得sin A＝＝后，得出角A＝或；在第(2)問(wèn)中沒(méi)有考慮角C有兩解，由sin C＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2，這樣就出現(xiàn)漏解的錯(cuò)誤． 解析　(1)由正弦定理＝， 得sin A＝＝， 又a＜c，所以A＜C.所以A＝. (2)由＝， 得sin C＝＝，得C＝或， 當(dāng)C＝時(shí)，B＝，可得b＝2； 當(dāng)C＝時(shí)，B＝，此時(shí)得b＝1. 答案　(1)　(2)2或1 易錯(cuò)點(diǎn)5　忽視題目中的制約條件 例5　已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin(2x－)，若△ABC中，滿足f(A)＝，b＋c＝2，求邊長(zhǎng)a的取值范圍． 易錯(cuò)分析　本題中有兩點(diǎn)易錯(cuò)：確定角A時(shí)忽視范圍；求邊長(zhǎng)a的取值范圍中忽視三角形中兩邊之和大于第三邊． 解　由題意，f(A)＝sin(2A＋)＋1＝， 化簡(jiǎn)得sin(2A＋)＝. 因?yàn)锳∈(0，π)，所以2A＋∈(，)， 所以2A＋＝，所以A＝. 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc. 由b＋c＝2，知bc≤()2＝1，即a2≥1， 當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝1時(shí)取等號(hào)． 又由b＋c>a得a<2， 所以a的取值范圍是[1,2)． 易錯(cuò)點(diǎn)6　忽視向量共線 例6　已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a與b的夾角為θ.若θ為銳角，則λ的取值范圍是_________________． 易錯(cuò)分析　誤認(rèn)為θ為銳角?cos θ>0，沒(méi)有排除θ＝0即兩向量同向的情況． 解析　由θ為銳角，有00，cos <0， 所以θ為第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝. 2．已知sin αcos α＝，則cos2(α＋)的值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵sin αcos α＝， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝， ∴cos2(α＋)＝＝＝＝. 3．將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)(φ>0)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則φ的最小值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)(φ>0)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)y＝sin[2(x＋)＋φ]＝sin(2x＋＋φ)的圖象，令＋φ＝，可得φ的最小值為. 4．已知函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ－)(ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，則y＝f(x＋)取得最小值時(shí)x的取值集合為(　　) A．{x|x＝kπ－，k∈Z} B．{x|x＝kπ－，k∈Z} C．{x|x＝2kπ－，k∈Z} D．{x|x＝2kπ－，k∈Z} 答案　B 解析　因?yàn)閒(x)＝cos(ωx＋φ－)＝sin(ωx＋φ)， 由題圖可知＝－＝，所以ω＝＝2. 又由題圖得sin(2＋φ)＝1，即2＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin(2x－)，則y＝f(x＋)＝sin[2(x＋)－]＝sin(2x＋)，由2x＋＝－＋2kπ，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z，所以y＝f取得最小值時(shí)x的取值集合為{x|x＝kπ－，k∈Z}，故選B. 5．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，若a2＋b2＝2c2，則cos C的最小值為(　　) A. B. C. D．－ 答案　C 解析　∵cos C＝＝， 又∵a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2. ∴cos C≥.∴cos C的最小值為. 6．如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60，點(diǎn)M在AB邊上，且AM＝AB，則等于(　　) A．－ B. C．－1 D．1 答案　D 解析?。剑剑?， 又＝＋， 所以＝(＋)(＋) ＝2＋2＋ ＝1＋－ ＝－||||cos 60 ＝－12＝1. 7．已知f1(x)＝sin(π＋x)cos x，f2(x)＝sin xsin(π＋x)，若設(shè)f(x)＝f1(x)－f2(x)，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是____________． 答案　[kπ，kπ＋](k∈Z) 解析　由題意知，f1(x)＝－cos2x，f2(x)＝－sin2x， f(x)＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，令2x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，得x∈[kπ，kπ＋](k∈Z)， 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ，kπ＋](k∈Z)． 8．在△ABC中，B＝60，AC＝，則AB＋2BC的最大值為________． 答案　2 解析　由正弦定理知＝＝， ∴AB＝2sin C，BC＝2sin A. 又A＋C＝120，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120－C) ＝2(sin C＋2sin 120cos C－2cos 120sin C) ＝2(sin C＋cos C＋sin C) ＝2(2sin C＋cos C)＝2sin(C＋α)， 其中tan α＝，α是第一象限角， 由于0＜C＜120，且α是第一象限角， 因此AB＋2BC有最大值2. 9．在△ABC中，AB＝，BC＝2，∠A＝，如果不等式|－t|≥||恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______________． 答案　(－∞，]∪[1，＋∞) 解析　在直角三角形ABC中，易知AC＝1，cos∠ABC＝，由|－t|≥||，得2－2t＋t22≥2，即2t2－3t＋1≥0，解得t≥1或t≤. 10．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間[，]上具有單調(diào)性，且f()＝f()＝－f()，則f(x)的最小正周期為________． 答案　π 解析　因?yàn)閒(x)在區(qū)間[，]上具有單調(diào)性， 所以≥－＝，所以T≥. 因?yàn)閒()＝f()，所以f(x)的一條對(duì)稱軸為x＝＝. 因?yàn)閒()＝－f()， 所以f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為x＝＝， 所以T＝－＝，T＝π. 11．已知函數(shù)f(x)＝sin xcos(x＋)＋. (1)當(dāng)x∈[－，]時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的(縱坐標(biāo)保持不變)，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的表達(dá)式及對(duì)稱軸方程． 解　(1)f(x)＝sin xcos(x＋)＋ ＝sin x(cos xcos －sin xsin )＋ ＝sin xcos x－sin2x＋ ＝sin 2x－＋ ＝sin 2x＋cos 2x ＝sin(2x＋)． 由－≤x≤，得－≤2x＋≤， 所以－≤sin(2x＋)≤1， －≤sin(2x＋)≤， 所以f(x)∈[－，]． (2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)的圖象， 然后將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的(縱坐標(biāo)保持不變)，得到函數(shù)y＝sin(4x－)的圖象， 所以g(x)＝sin(4x－)． 當(dāng)4x－＝kπ＋ (k∈Z)時(shí)，g(x)取最值，所以x＝＋ (k∈Z)， 所以函數(shù)g(x)的對(duì)稱軸方程是x＝＋ (k∈Z)． 12．a(chǎn)＝(cos(2x－)，cos x＋sin x)，b＝(1，cos x－sin x)，函數(shù)f(x)＝ab. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間及x∈[0，]的值域； (2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知f(A)＝，a＝2，B＝，求△ABC的面積S. 解　(1)f(x)＝ab＝cos(2x－)＋cos2x－sin2x ＝cos(2x－)＋cos 2x ＝cos 2xcos ＋sin 2xsin ＋cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x ＝(sin 2x＋cos 2x) ＝sin(2x＋)． 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)． 當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f(x)的值域是[－，]． (2)由f(A)＝得sin(2A＋)＝. 因?yàn)锳為△ABC的內(nèi)角，由題意知0

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