高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明單元測試 北師大版選修2-21

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第一章　推理與證明單元檢測 (時間：45分鐘，滿分：100分) 一、選擇題(每題5分，共40分) 1．觀察下圖的規(guī)律，在其下面一行的空格內(nèi)畫上合適的圖形，應(yīng)是(　　). ☆ ● ◇ ▲ △ ★ ○ ◆ ◇ ▲ ☆ ● A．△★○◆ B．○◆△★ C．○★△◆ D．◇●☆▲ 2．?dāng)?shù)列5,13,25，x,61，…中的x等于(　　)． A．35 B．39 C．41 D．53 3．某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n＝k(k∈N)時該命題成立，那么推得當(dāng)n＝k＋1時該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n＝5時該命題不成立，那么可推得(　　)． A．當(dāng)n＝6時該命題成立 B．當(dāng)n＝6時該命題不成立 C．當(dāng)n＝4時該命題成立 D．當(dāng)n＝4時該命題不成立 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，x＋1能整除xn＋1”的第二步假設(shè)遞推過程時，正確的是(　　)． A．假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立 B．假設(shè)當(dāng)n＝k(k是正奇數(shù))時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立 C．假設(shè)當(dāng)n＝2k＋1(k∈N＋)時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立 D．假設(shè)當(dāng)n＝k(k是正奇數(shù))時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋2時命題也成立 5．為了保證信息安全傳輸，有一種稱為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如下： 明文密文密文明文． 現(xiàn)在加密密鑰為y＝loga(x＋2)，如上所示，明文“6”通過加密后得到密文“3”，再發(fā)送，接受方通過解密密鑰解密得到明文“6”．問：若接受方接到密文為“4”，則解密后得到明文為(　　)． A．12 B．13 C．14 D．15 6．如圖，圓周上按順時針方向標(biāo)有1,2,3,4,5五個點．一只青蛙按順時針方向繞圓從一個點跳到另一點．若它停在奇數(shù)點上，則下一次只能跳一個點；若停在偶數(shù)點上，則下一次跳兩個點．該青蛙從5這點跳起，經(jīng)2 011次跳后它將停在的點是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 7．如下圖，一個小朋友按如圖所示的規(guī)則練習(xí)數(shù)數(shù)，1大拇指，2食指，3中指，4無名指，5小指，6無名指，…，一直數(shù)到2 008時，對應(yīng)的指頭是(　　)． A．食指 B．中指 C．無名指 D．小指 8．如圖甲，在平行四邊形ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在圖乙所示的平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AC12＋BD12＋CA12＋DB12等于(　　)． A．4(AB2＋AD2＋AA12) B．3(AB2＋AD2＋AA12) C．2(AB2＋AD2＋AA12) D．4(AB2＋AD2) 二、填空題(每題5分，共15分) 9．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝(n∈N＋)，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過計算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測出f(n)的值是__________． 10．有一個奇數(shù)列1,3,5,7,9，…，現(xiàn)在進行如下分組，第一組含一個數(shù){1}，第二組含兩個數(shù){3,5}，第三組含三個數(shù){7,9,11}，第四組含有四個數(shù){13,15,17,19}……現(xiàn)觀察每組內(nèi)各數(shù)之和y與其組的編號數(shù)n的關(guān)系為__________． 11．已知：sin230＋sin290＋sin2150＝，sin25＋sin265＋sin2125＝. 通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你歸納猜想出一般性的命題______________． 三、解答題(每題15分，共45分) 12．已知：a，b，c是全不相等的正實數(shù)，求證：＞3. 13．(2012福建高考，理17)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ①sin213＋cos217－sin 13cos 17； ②sin215＋cos215－sin 15cos 15； ③sin218＋cos212－sin 18cos 12； ④sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos 48； ⑤sin2(－25)＋cos255－sin(－25)cos 55. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 14．P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(0＜y1＜y2＜…＜yn)是曲線C：y2＝3x(y≥0)上的n個點，點Ai(ai,0)(i＝1,2，3，…，n)在x軸的正半軸上，且△Ai－1AiPi是正三角形(A0是坐標(biāo)原點)． (1)寫出a1，a2，a3； (2)求出點An(an,0)(n∈N＋)的橫坐標(biāo)an關(guān)于n的表達(dá)式并證明． 參考答案 1. 答案：B　解析：從圖案的顏色和形狀分析． 2. 答案：B　解析：相鄰的數(shù)字之差(后項減前項)形成的數(shù)列為：8,12，x－25,61－x，而61－25＝36，猜想這個新數(shù)列是4的倍數(shù)構(gòu)成的，則41－25＝16,61－41＝20，剛好滿足條件，所以選擇C. 3. 答案：D　解析：利用逆否命題的等價性可知D正確． 4. 答案：D　解析：連續(xù)的兩個奇數(shù)相差2. 5. 答案：B　解析：由明文“6”通過加密后得到密文“3”知a＝2. 6. 答案：A　解析：記an表示青蛙第n次跳后所在的點數(shù)，則a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝1，a5＝2，a6＝4，…，顯然{an}是一個周期為3的數(shù)列，故a2 011＝a1＝1. 7. 答案：A　解析：根據(jù)每個手指頭上的數(shù)的特征判斷． 8. 答案：A　解析：已知平面上平行四邊形的對角線的平方和等于從同一頂點出發(fā)的兩條邊的平方和的2倍，利用類比推理可知，空間中，平行六面體的體對角線的平方和等于從同一頂點出發(fā)的三條棱的平方和的4倍． 9. 　解析：f(1)＝1－a1＝1－， f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)， f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝f(2)， 由此猜想，f(n)＝. 10. y＝n3　解析：n＝1時，1＝13；n＝2時，y＝3＋5＝8＝23； n＝3時，y＝7＋9＋11＝27＝33； n＝4時，y＝13＋15＋17＋19＝64＝43. 猜想：y＝n3. 11. 答案：2(α－60)＋sin2α＋sin2(α＋60)＝ 12. 證明：由a，b，c是不全相等的正數(shù)，得與，與，與全不相等且均大于0， 所以＞2，＞2，＞2， 三式相加得＞6， 即＞3， 所以原不等式成立． 13. 解法一：(1)選擇②式，計算如下： sin215＋cos215－sin 15cos 15＝1－sin 30＝1－. (2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α) ＝sin2α＋(cos 30cos α＋sin 30sin α)2－sin α(cos 30cos α＋sin 30sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝. 解法二：(1)同解法一． (2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α) ＝－sin α(cos 30cos α＋sin 30sin α) ＝cos 2α＋(cos 60cos 2α＋sin 60sin 2α)－sin αcos α－sin2α ＝cos 2α＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α) ＝1－cos 2α－cos 2α＝. 14. 解：(1)a1＝2，a2＝6，a3＝12. (2)依題意，得xn＝，yn＝，又yn2＝3xn得 (an＋an－1)，即(an－an－1)2＝2(an－1＋an)． 由(1)可猜想：an＝n(n＋1)(n∈N＋)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時，命題顯然成立； ②假定當(dāng)n＝k時命題成立，即有an＝k(k＋1)，則當(dāng)n＝k＋1時，由歸納假設(shè)及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)得[ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]，即ak+12－2(k2＋k＋1)ak＋1＋[k(k－1)][(k＋1)(k＋2)]＝0， 解之，得ak＋1＝(k＋1)(k＋2)(ak＋1＝k(k－1)＜ak不合題意，舍去)， 即當(dāng)n＝k＋1時，命題成立． 由①②知：命題成立．