高中數(shù)學(xué) 2_1_2 系統(tǒng)抽樣學(xué)案 蘇教版必修31

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2.1.2　系統(tǒng)抽樣 學(xué)習(xí)目標(biāo) 重點(diǎn)難點(diǎn) 1．學(xué)會(huì)并掌握系統(tǒng)抽樣的概念和步驟． 2．能利用系統(tǒng)抽樣解決實(shí)際問(wèn)題． 3．體會(huì)系統(tǒng)抽樣轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的思想. 重點(diǎn)：掌握系統(tǒng)抽樣的概念及步驟． 難點(diǎn)：利用系統(tǒng)抽樣解決實(shí)際問(wèn)題. 1．系統(tǒng)抽樣的概念 將總體平均分成幾個(gè)部分，然后按照一定的規(guī)則，從每個(gè)部分中抽取一個(gè)個(gè)體作為樣本，這樣的抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣． 預(yù)習(xí)交流1 系統(tǒng)抽樣有何特點(diǎn)？ 提示：系統(tǒng)抽樣有以下特點(diǎn)： (1)適用于總體容量較大的情況； (2)剔除多余個(gè)體及第一段抽樣都用到簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因而與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣有密切聯(lián)系； (3)它是從總體中逐個(gè)地、不放回地進(jìn)行抽取各個(gè)樣本個(gè)體； (4)它是等可能抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等． 2．系統(tǒng)抽樣的步驟 假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，系統(tǒng)抽樣的步驟為：(1)編號(hào)：采用隨機(jī)的方式將總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；(2)分段：將編號(hào)按間隔k分段，當(dāng)是整數(shù)時(shí)，取k＝；當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，從總體中剔除一些個(gè)體，使剩下的總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)N′能被n整除，這時(shí)取k＝，并將剩下的總體重新編號(hào)；(3)確定起始號(hào)：在第一段中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào)l；(4)成樣：按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常將編號(hào)為l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k的個(gè)體抽出． 預(yù)習(xí)交流2 在系統(tǒng)抽樣中，若不是整數(shù)時(shí)怎么辦？ 提示：當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，需剔除幾個(gè)個(gè)體使得總體中剩余的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除，剔除時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取，這樣每個(gè)個(gè)體被剔除的可能性是相等的，也保證了抽樣的公平性． 預(yù)習(xí)交流3 (1)為了對(duì)生產(chǎn)流水線上生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，質(zhì)檢人員每隔5分鐘抽一件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，這種抽樣方法是________． 提示：系統(tǒng)抽樣 (2)下列抽樣適合使用系統(tǒng)抽樣的序號(hào)是________． ①?gòu)?臺(tái)彩電中隨機(jī)抽取2臺(tái)進(jìn)行檢驗(yàn) ②從100名大學(xué)生、80名中學(xué)生和70名小學(xué)生中抽出25個(gè)人了解其對(duì)社會(huì)某個(gè)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)情況 ③從編號(hào)分別為00001,00002，…，10000的郵政明信片中抽出100張作為中獎(jiǎng)號(hào)碼 ④從50架鋼琴中抽取10架進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn) 提示：①④可使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；②總體中的個(gè)體差異明顯，不適宜用系統(tǒng)抽樣；③總體容量較大，樣本容量也較大，最適合用系統(tǒng)抽樣，故填③. (3)為了解1 200名學(xué)生對(duì)學(xué)校某項(xiàng)教學(xué)實(shí)驗(yàn)的意見(jiàn)，打算從中抽取一個(gè)容量為30的樣本，考慮采用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔k為_(kāi)_______． 提示：k＝＝40. 一、系統(tǒng)抽樣的概念 下列關(guān)于系統(tǒng)抽樣的兩種說(shuō)法是否正確，請(qǐng)說(shuō)明理由． (1)因?yàn)椴皇钦麛?shù)時(shí)，剔除了多余的個(gè)體，所以抽樣不是機(jī)會(huì)均等的； (2)系統(tǒng)抽樣中只有第一段是機(jī)會(huì)均等的抽樣，其余段上的號(hào)是由l＋(n－1)k算出來(lái)的，沒(méi)有抽簽，所以不公平． 思路分析：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的概念及操作步驟判斷即可． 解：(1)說(shuō)法不正確．因?yàn)樘蕹嘤鄠€(gè)體是用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法進(jìn)行的，對(duì)每一個(gè)個(gè)體機(jī)會(huì)都一樣，所以不能說(shuō)機(jī)會(huì)不均等． (2)說(shuō)法不正確．雖然除第一段外，后面的樣本是通過(guò)l＋(n－1)k計(jì)算抽取的，但由于l的確定是隨機(jī)的，是用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定的，從而l＋(n－1)k的確定也是隨機(jī)的，是公平的． 1．系統(tǒng)抽樣又稱為等距抽樣，從m個(gè)個(gè)體中抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本，先確定抽樣間隔，即抽樣距k＝(取整數(shù)部分)，從第一段1,2，…，k個(gè)號(hào)碼中隨機(jī)地抽取一個(gè)入樣號(hào)碼i0，則i0，i0＋k，…，i0＋(n－1)k號(hào)碼入樣構(gòu)成樣本，所以每個(gè)個(gè)體入樣的可能性________．(填“相等”或“不相等”) 答案：相等 解析：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義知，系統(tǒng)抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等． 2．為了了解某自然村的1 000戶居民的月用電情況，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為40的樣本，則間隔k應(yīng)為_(kāi)_________． 答案：25 解析：由系統(tǒng)抽樣的定義可知k＝＝25. 3．下列抽樣問(wèn)題中，最適合用系統(tǒng)抽樣方法抽樣的序號(hào)是________． ①?gòu)娜?8名學(xué)生中隨機(jī)抽取8人參加一項(xiàng)活動(dòng) ②一個(gè)城市有210家百貨商店，其中大型商店20家、中型商店40家、小型商店150家．為了掌握各商店的營(yíng)業(yè)情況，要從中抽取一個(gè)容量為21的樣本 ③從參加模擬考試的1 200名高中生中隨機(jī)抽取100人分析試題作答情況 ④從參加模擬考試的1 200名高中生中隨機(jī)抽取10人了解某些情況 答案：③ 解析：①總體容量較小，樣本容量也較小，可采用抽簽法；②總體中的個(gè)體有明顯的差異，不適宜用系統(tǒng)抽樣法；③總體容量較大，樣本容量也較大，最適合用系統(tǒng)抽樣；④總體容量較大，樣本容量較小，可采用隨機(jī)數(shù)表法，故填③. 系統(tǒng)抽樣適用于個(gè)體數(shù)較多的總體，判斷一種抽樣是否為系統(tǒng)抽樣，首先看在抽樣前是否知道總體是由什么構(gòu)成的，抽樣的方法能否保證將總體分成幾個(gè)均衡的部分，并保證每個(gè)個(gè)體按事先規(guī)定的概率入樣． 二、系統(tǒng)抽樣的設(shè)計(jì) 某學(xué)校為了了解高一學(xué)生對(duì)教學(xué)管理的意見(jiàn)，打算從高一年級(jí)500名學(xué)生中抽取50名進(jìn)行調(diào)查，請(qǐng)用系統(tǒng)抽樣的方法完成這一抽樣，寫(xiě)出抽樣的過(guò)程． 思路分析：本題中總體容量較大，樣本容量也較大，且總體中個(gè)體均衡，采用系統(tǒng)抽樣方法分組，每組＝10(人)． 解：(1)先將500名學(xué)生編號(hào)為1,2,3，…，500； (2)取分段間隔k＝＝10，將總體均勻分成50段，每段10個(gè)個(gè)體，1～10,11～20,21～30，…，491～500； (3)從編號(hào)1～10的第一組中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)號(hào)碼，假設(shè)為6號(hào)； (4)然后從6號(hào)開(kāi)始，每隔10個(gè)號(hào)抽取一個(gè)號(hào)，得到6,16,26，…，496.將編號(hào)對(duì)應(yīng)的50名學(xué)生抽出，得到一個(gè)容量為50的樣本． 1．從某單位100名職工中抽取20名職工作為樣本，用系統(tǒng)抽樣方法，將全體職工隨機(jī)按1～100編號(hào)，并按編號(hào)順序平均分為20組(1號(hào)～5號(hào)，6號(hào)～10號(hào)，…，96號(hào)～100號(hào))．若第5組抽出的號(hào)碼為22，則第8組抽出的號(hào)碼應(yīng)是__________． 答案：37 解析：因?yàn)殚g隔k＝＝5，且第5組抽出的號(hào)碼為22，所以第8組抽出的號(hào)碼應(yīng)為22＋35＝37. 2．從高三(八)班42名學(xué)生中，抽取7名學(xué)生了解本次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，已知本班學(xué)生學(xué)號(hào)是1～42號(hào)，現(xiàn)在該班數(shù)學(xué)老師已經(jīng)確定抽取6號(hào)，那么，用系統(tǒng)抽樣方法確定其余學(xué)生號(hào)碼為_(kāi)_______________． 答案：12,18,24,30,36,42 解析：依題意從42名學(xué)生中抽取7名學(xué)生的學(xué)號(hào)，所以用系統(tǒng)抽樣應(yīng)分為7組，每組間隔是6，現(xiàn)已確定了6號(hào)，故其余號(hào)碼為12,18,24,30,36,42. 系統(tǒng)抽樣的兩個(gè)關(guān)鍵步驟： (1)分組，當(dāng)總體個(gè)數(shù)N能被樣本容量n整除時(shí)，分為n個(gè)組，分段間隔k＝； (2)獲取樣本用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣在第一組抽取起始數(shù)s，通常把起始數(shù)s加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)(s＋k)，再加上k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)(s＋2k)，依次進(jìn)行下去，直到獲取樣本． 三、需剔除個(gè)體的系統(tǒng)抽樣 某大學(xué)有教師1 001人，中層以上領(lǐng)導(dǎo)干部20人，現(xiàn)抽取教師40人，中層以上領(lǐng)導(dǎo)4人組成代表隊(duì)參加活動(dòng)，怎樣抽樣？ 思路分析：由題意知，教師抽樣可用系統(tǒng)抽樣，中層以上領(lǐng)導(dǎo)抽樣宜用抽簽法．因?yàn)? 001不能被40整除，故用系統(tǒng)抽樣時(shí)要先剔除1個(gè)個(gè)體，再按系統(tǒng)抽樣的一般步驟抽樣． 解：從1 001名教師中抽取40人，適宜用系統(tǒng)抽樣；從20名中層以上領(lǐng)導(dǎo)干部中抽取4人，適宜用抽簽法． (1)將1 001名教師用隨機(jī)方式編號(hào)； (2)從總體中剔除1人(剔除方法可用隨機(jī)數(shù)表法)將剩下的1 000名教師重新編號(hào)(分別為0001,0002，…，1000)，并平均分成40段，其中每一段包含＝25個(gè)個(gè)體； (3)在第一段0001,0002，…，0025這25個(gè)編號(hào)中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽出一個(gè)(如0003)作為起始號(hào)碼； (4)將編號(hào)為0003,0028,0053，…，0978的個(gè)體抽出； (5)將20名中層以上領(lǐng)導(dǎo)用隨機(jī)方式編號(hào)，編號(hào)為01,02，…，20； (6)將這20個(gè)號(hào)碼分別寫(xiě)在大小、形狀相同的小紙條上，揉成小球，制成號(hào)簽； (7)將得到的號(hào)簽放入一個(gè)容器中，充分?jǐn)嚢杈鶆颍? (8)從容器中逐個(gè)抽取4個(gè)號(hào)簽，并記錄上面的編號(hào)； (9)從總體中將與所抽號(hào)簽的編號(hào)相一致的個(gè)體取出． 以上兩類方法得到的個(gè)體便是代表隊(duì)成員． 1．若總體中含有1 650個(gè)個(gè)體，現(xiàn)在采用系統(tǒng)抽樣，從中抽取一個(gè)容量為35的樣本，分段時(shí)應(yīng)從總體中隨機(jī)剔除__________個(gè)個(gè)體，編號(hào)后應(yīng)均分為_(kāi)_________段，每段有__________個(gè)個(gè)體． 答案：5　35　47 解析：由于1 65035＝47……5，所以，先剔除5個(gè)個(gè)體，故分成35段，每段有47個(gè)個(gè)體． 2．從某廠生產(chǎn)的802輛轎車中抽取80輛測(cè)試某項(xiàng)性能．請(qǐng)用系統(tǒng)抽樣方法寫(xiě)出抽樣過(guò)程． 解：步驟如下： (1)從總體中剔除2輛(剔除方法可用隨機(jī)數(shù)表法)； (2)將剩下的800輛轎車編號(hào)(分別為1,2，…，800)，并平均分成80段； (3)在第1段1,2，…，10這十個(gè)編號(hào)中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽出一個(gè)(如5)作為起始號(hào)碼； (4)從5開(kāi)始，再將編號(hào)為15,25，…，795的個(gè)體抽出，得到一個(gè)容量為80的樣本． (1)在現(xiàn)實(shí)生活中，由于資金、時(shí)間有限，人力、物力不足，再加上不斷變化的環(huán)境條件，做普查往往是不可能的．因此，我們一般把數(shù)據(jù)的收集限制在總體的一個(gè)樣本上．由于總體的復(fù)雜性，在實(shí)際操作中，為了使樣本具有代表性，通常要使用幾種抽樣方法．一般地，系統(tǒng)抽樣常與抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法結(jié)合使用． (2)在解此類實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)題意靈活選擇抽樣方法，當(dāng)總體容量較大時(shí)可采用系統(tǒng)抽樣，若總體容量不能被樣本容量整除，可隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)，剔除多余個(gè)體是為了保證“等距”分段，方便系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用．在大規(guī)模的抽樣調(diào)查時(shí)，系統(tǒng)抽樣比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣要方便． 1．下列抽樣中，最適宜用系統(tǒng)抽樣法的是________(填序號(hào))． ①某市的4個(gè)區(qū)共有2 000名學(xué)生，且4個(gè)區(qū)的學(xué)生人數(shù)之比為3∶2∶8∶2，從中抽取200人入樣 ②從某廠生產(chǎn)的2 000個(gè)電子元件中隨機(jī)抽取5個(gè)入樣 ③從某廠生產(chǎn)的2 000個(gè)電子元件中隨機(jī)抽取200個(gè)入樣 ④從某廠生產(chǎn)的20個(gè)電子元件中隨機(jī)抽取5個(gè)入樣 答案：③ 解析：①總體中的個(gè)體有明顯的差異，不適宜用系統(tǒng)抽樣； ②總體中的個(gè)體較多，但樣本容量較小，可采用隨機(jī)數(shù)表法； ③總體容量較大，樣本容量也較大，最適合用系統(tǒng)抽樣； ④總體容量較小，樣本容量也較小，可采用抽簽法． 2．中央電視臺(tái)動(dòng)畫(huà)城節(jié)目為了對(duì)本周的熱心小觀眾給予獎(jiǎng)勵(lì)，要從已確定編號(hào)的10 000名小觀眾中抽出10名幸運(yùn)小觀眾．現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取，其組容量為_(kāi)_______． 答案：1 000 解析：依題意，要抽十名幸運(yùn)小觀眾，所以要分10個(gè)組，組容量為10 00010＝1 000. 3．若采用系統(tǒng)抽樣的方法從編號(hào)為1～60的60枚導(dǎo)彈中隨機(jī)抽取6枚進(jìn)行發(fā)射試驗(yàn)．(按編號(hào)從小到大分組)．若第一組中選取的導(dǎo)彈編號(hào)為3，則另外5枚導(dǎo)彈的編號(hào)為_(kāi)_______________． 答案：13,23,33,43,53 解析：因?yàn)橛孟到y(tǒng)抽樣抽取樣本的分段間隔k＝＝10，所以，另外5枚導(dǎo)彈的編號(hào)為13,23,33,43,53. 4．為了了解某次考試的2 601名學(xué)生的成績(jī)情況，決定采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為130的樣本，則每個(gè)學(xué)生被抽到的可能性為_(kāi)_________． 答案： 解析：因?yàn)樵谙到y(tǒng)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被選中的機(jī)會(huì)都是相同的(不管是否剔除個(gè)體)，所以每個(gè)學(xué)生被抽到的可能性為. 5．要從某學(xué)校的10 000名學(xué)生中抽取100名進(jìn)行健康體檢，采用何種抽樣方法較好？寫(xiě)出過(guò)程． 解：由于總體元素個(gè)數(shù)較多，因而應(yīng)采用系統(tǒng)抽樣法．具體過(guò)程如下： (1)采用隨機(jī)的方法將總體中的個(gè)體編號(hào)：1,2,3，…，10 000； (2)把總體均分成＝100(段)； (3)在第一段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體編號(hào)l； (4)將l，l＋100，l＋200，l＋300，…，l＋9 900分別依次取出，就得到100個(gè)號(hào)碼． 與這100個(gè)號(hào)碼對(duì)應(yīng)的學(xué)生組成一個(gè)樣本，進(jìn)行健康體檢．