2019屆高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1.1 平面課后篇鞏固探究（含解析）新人教A版必修2

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1、2.1.1　平面 課后篇鞏固提升 基礎(chǔ)鞏固 1.過(guò)四條兩兩平行的直線中的兩條最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.4 C.5 D.6 解析兩條平行線確定一個(gè)平面,由此可知最多6個(gè)平面. 答案D 2.已知A,B是點(diǎn),a,b,l是直線,α是平面,如果a?α,b?α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列關(guān)系中成立的是(　　) A.l?α B.l∈α C.l∩α=A D.l∩α=B 解析由公理1或畫(huà)圖可知:l?α. 答案A 3.空間中四點(diǎn)可確定的平面有(　　) A.1個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.1個(gè)或4個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè) 解析當(dāng)這四點(diǎn)共線

2、時(shí),可確定無(wú)數(shù)個(gè)平面;當(dāng)這四點(diǎn)不共線且共面時(shí),可確定一個(gè)平面;當(dāng)這四點(diǎn)不共面時(shí),其中任三點(diǎn)可確定一個(gè)平面,此時(shí)可確定4個(gè)平面. 答案D 4.已知α,β為平面,A,B,M,N為點(diǎn),a為直線,下列推理錯(cuò)誤的是(　　) A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?β B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN C.A∈α,A∈β?α∩β=A D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共線?α,β重合 解析兩平面有公共點(diǎn),則兩平面有一條交線,故C錯(cuò). 答案C 5.如圖所示,平面α∩平面β=l,A、B∈α,C∈β,C?l,直線AB∩l=D,過(guò)A、B、C三點(diǎn)確定的平面為γ,則平

3、面γ、β的交線必過(guò)(　　) A.點(diǎn)A B.點(diǎn)B C.點(diǎn)C,但不過(guò)點(diǎn)D D.點(diǎn)C和點(diǎn)D 解析根據(jù)公理判定點(diǎn)C和點(diǎn)D既在平面β內(nèi)又在平面γ內(nèi),故在β與γ的交線上.故選D. 答案D 6.若直線l與平面α相交于點(diǎn)O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,則O,C,D三點(diǎn)的位置關(guān)系是　　　　　.? 解析如圖,∵AC∥BD,∴AC與BD確定一個(gè)平面,記作平面β,則α∩β=CD. ∵l∩α=O,∴O∈α.又O∈AB?β,∴O∈CD, ∴O,C,D三點(diǎn)共線. 答案共線 7.把下列符號(hào)敘述所對(duì)應(yīng)的圖形的字母編號(hào)填在題后橫線上. (1)A?α,a?α　　　　　.? (2)α∩β

4、=a,P?α且P?β　　　　　.? (3)a?α,a∩α=A　　　　　.? (4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O　　　　　.? 答案(1)C　(2)D　(3)A　(4)B 8.如圖所示,在空間四邊形各邊AD,AB,BC,CD上分別取E,F,G,H四點(diǎn),如果EF,GH交于一點(diǎn)P,求證:點(diǎn)P在直線BD上. 證明∵EF∩GH=P, ∴P∈EF且P∈GH. ∵EF?平面ABD,GH?平面CBD, ∴P∈平面ABD,且P∈平面CBD, ∴P∈平面ABD∩平面CBD, ∵平面ABD∩平面CBD=BD,∴P∈BD. ∴點(diǎn)P在直線BD上. 9.一條直線與三條平行

5、直線都相交,求證:這四條直線共面. 解已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C. 求證:直線a,b,c,l共面. 證明:法一:∵a∥b,∴a,b確定一個(gè)平面α, ∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α,故l?α. 又∵a∥c,∴a,c確定一個(gè)平面β. 同理可證l?β,∴α∩β=a且α∩β=l. ∵過(guò)兩條相交直線a、l有且只有一個(gè)平面, 故α與β重合,即直線a,b,c,l共面. 法二:由法一得a、b、l共面α,也就是說(shuō)b在a、l確定的平面α內(nèi). 同理可證c在a、l確定的平面α內(nèi). ∵過(guò)a和l只能確定一個(gè)平面,∴a,b,c,l共面. 能力提升 1.有下列說(shuō)

6、法: ①梯形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi); ②三條平行直線必共面; ③有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合. 其中正確的個(gè)數(shù)是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析因?yàn)樘菪蔚纳舷碌谆ハ嗥叫?所以梯形是平面圖形,故①正確;三條平行直線不一定共面,如三棱柱的三條側(cè)棱,故②錯(cuò)誤;若兩個(gè)平面的三個(gè)公共點(diǎn)不共線,則兩平面重合,若三個(gè)公共點(diǎn)共線,兩平面有可能相交,故③錯(cuò)誤,故選B. 答案B 2.在三棱錐A-BCD的邊AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點(diǎn),若EF∩HG=P,則點(diǎn)P(　　) A.一定在直線BD上 B.一定在直線AC上 C.在直線AC或BD上 D.不在直線AC上,

7、也不在直線BD上 解析如圖, ∵EF?平面ABC,HG?平面ACD,EF∩HG=P, ∴P∈平面ABC,P∈平面ACD. 又平面ABC∩平面ACD=AC, ∴P∈AC,故選B. 答案B 3.已知α,β,γ是平面,a,b,c是直線,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∩b=P,則(　　) A.P∈c B.P?c C.c∩a=? D.c∩β=? 解析如圖,由a∩b=P, ∴P∈a,P∈b. ∵α∩β=a,β∩γ=b, ∴P∈α,P∈γ,而γ∩α=c, ∴P∈c. 答案A 4.三個(gè)互不重合的平面把空間分成n部分,則n所有可能的值為　　　　　.? 解析若

8、三個(gè)平面互相平行,則可將空間分為4部分; 若三個(gè)平面有兩個(gè)平行,第三個(gè)平面與其他兩個(gè)平面相交,則可將空間分成6部分; 若三個(gè)平面交于一線,則可將空間分成6部分; 若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線平行,則可將空間分成7部分; 若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)(如墻角三個(gè)墻面的關(guān)系),則可將空間分成8部分.故n的所有可能值為4,6,7,8. 答案4,6,7,8 5.空間三條直線,如果其中一條直線和其他兩條直線都相交,那么這三條直線能確定的平面?zhèn)€數(shù)是　　　　.? 解析如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中, ①AA1∩AB=A,AA1∩A1B1=A1,直線AB,A1B1與AA

9、1可以確定一個(gè)平面(平面ABB1A1). ②AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1, 直線AB,AA1與A1D1可以確定兩個(gè)平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1). ③三條直線AB,AD,AA1交于一點(diǎn)A,它們可以確定三個(gè)平面(平面ABCD,平面ABB1A1和平面ADD1A1). 答案1或2或3 6. 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M,N,E,F分別是棱CD,AB,DD1,AA1上的點(diǎn),若MN與EF交于點(diǎn)Q,求證:D,A,Q三點(diǎn)共線. 證明∵M(jìn)N∩EF=Q, ∴Q∈MN,Q∈EF. 又M∈CD,N∈AB,CD?平面ABCD,AB?平面ABCD, ∴

10、M,N∈平面ABCD, ∴MN?平面ABCD. ∴Q∈平面ABCD. 同理,可得EF?平面ADD1A1. ∴Q∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD, ∴Q∈AD,即D,A,Q三點(diǎn)共線. 7.(選做題)在棱長(zhǎng)是a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是AA1、D1C1的中點(diǎn),過(guò)D,M,N三點(diǎn)的平面與正方體的下底面相交于直線l. (1)畫(huà)出交線l; (2)設(shè)l∩A1B1=P,求PB1的長(zhǎng); (3)求點(diǎn)D1到l的距離. 解(1)如圖,延長(zhǎng)DM交D1A1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q是平面DMN與平面A1B1C1D1的一個(gè)公共點(diǎn).連接QN,則直線QN就是兩平面的交線l. (2)∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn), MA1∥DD1, ∴A1是QD1的中點(diǎn). 又∵A1P∥D1N, ∴A1P=12D1N. ∵N是D1C1的中點(diǎn), ∴A1P=14D1C1=a4, ∴PB1=A1B1-A1P=34a. (3)過(guò)點(diǎn)D1作D1H⊥PN于點(diǎn)H, 則D1H的長(zhǎng)就是點(diǎn)D1到l的距離. ∵QD1=2A1D1=2a,D1N=a2, ∴D1H=D1Q·D1NQN=2a·a24a2+a24=21717a. 即點(diǎn)D1到l的距離是21717a. 7