2019屆高中數(shù)學(xué) 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.1 直線與平面垂直的判定課后篇鞏固探究（含解析）新人教A版必修2

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1、2.3.1　直線與平面垂直的判定 課后篇鞏固提升 1.已知m,n是兩條不同直線,α,β,γ是三個不同平面,下面命題正確的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β B.若m⊥α,n⊥α,則m∥n C.若m∥α,n∥α,則m∥n D.若m∥α,m∥β,則α∥β 解析選項A中,α⊥γ,β⊥γ?α與β平行或相交,故A不正確; 選項C中,m∥α,n∥α?m與n平行、相交或異面, 故C不正確; 選項D中,m∥α,m∥β?α與β平行或相交,故D不正確.故選B. 答案B 2.如圖所示,定點A和B都在平面α內(nèi),定點P?α,PB⊥α,C是平面α內(nèi)異于A

2、和B的動點,且PC⊥AC,則△ABC為(　　) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.無法確定 解析易證AC⊥面PBC,所以AC⊥BC. 答案B 3.如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點,G是EF的中點,現(xiàn)在沿AE,AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形,使B,C,D三點重合,重合后的點記為H,那么,在這個空間圖形中必有(　　) A.AH⊥平面EFH B.AG⊥平面EFH C.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF 解析原題圖中AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH,FH∩EH=H,所以AH⊥平面EFH. 答案A

3、 4.如果PA,PB,PC兩兩垂直,那么點P在平面ABC內(nèi)的射影一定是△ABC的(　　) A.重心 B.內(nèi)心 C.外心 D.垂心 解析如圖,由PA,PB,PC兩兩互相垂直,可得AP⊥平面PBC,BP⊥平面PAC,CP⊥平面PAB, 所以BC⊥OA,AB⊥OC,AC⊥OB, 所以點O是△ABC三條高的交點,即點O是△ABC的垂心,故選D. 答案D 5.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=6,則PC與平面ABCD所成角的大小為(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析如圖,連接AC. ∵PA⊥平面ABCD

4、, ∴∠PCA就是PC與平面ABCD所成的角.∵AC=2,PA=6, ∴tan∠PCA=PAAC=62=3. ∴∠PCA=60°. 答案C 6.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱AA1和AB上的點,若∠B1MN是直角,則∠C1MN=　　　　.? 解析∵B1C1⊥平面ABB1A1, ∴B1C1⊥MN. 又∵MN⊥B1M,B1C1∩B1M=B1, ∴MN⊥平面C1B1M. 又C1M?平面C1B1M, ∴MN⊥C1M, ∴∠C1MN=90°. 答案90° 7.如圖,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC

5、,且AB=1,AA'=2,則直線BC'與平面ABB'A'所成角的正弦值為　　　　.? 解析如圖所示,取A'B'的中點D,連接C'D,BD. ∵底面△A'B'C'是正三角形, ∴C'D⊥A'B'. ∵AA'⊥底面ABC, ∴A'A⊥C'D. 又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥側(cè)面ABB'A', 故∠C'BD是直線BC'與平面ABB'A'所成的角. 等邊三角形A'B'C'的邊長為1,C'D=32, 在Rt△BB'C'中,BC'=B'B2+B'C'2=5, 故直線BC'與平面ABB'A'所成的角的正弦值為C'DBC'=1510. 答案1510 8.如圖所示,PA

6、⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,則圖中直角三角形的個數(shù)為　　　　　　.? 解析PA⊥平面ABCBC?平面ABC?PA⊥BCAC⊥BCPA?AC=A?BC⊥平面PAC?BC⊥PC, ∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC. 答案4 9.如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件　　　　　　　　時,有A1C⊥B1D1.(注:填上你認為正確的一種即可,不必考慮所有可能的情形)? 解析要找底面四邊形ABCD所滿足的條件,使A1C⊥B1D1,可從結(jié)論A1C⊥B1D1入手. ∵A1C⊥B1D1,BD∥B1D1,∴A1C⊥BD. 又∵AA1

7、⊥BD,而AA1∩A1C=A1,AA1?平面A1AC,A1C?平面A1AC,∴BD⊥平面A1AC,∴BD⊥AC.此題答案不唯一. 答案BD⊥AC(答案不唯一) 10.如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論錯誤的是　　　　.(填序號)? ①BD∥平面CB1D1; ②AC1⊥BD; ③AC1⊥平面CB1D1; ④異面直線AD與CB1所成的角為60°. 解析由于BD∥B1D1,BD?平面CB1D1,B1D1?平面CB1D1,則BD∥平面CB1D1,所以①正確; 因為BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C, 所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD.所以②正確;

8、 可以證明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C, 所以AC1⊥平面CB1D1,所以③正確; 由于AD∥BC,則∠BCB1=45°是異面直線AD與CB1所成的角,所以④錯誤. 答案④ 11.如圖所示,四邊形ABCD為正方形,SA垂直于四邊形ABCD所在的平面,過點A且垂直于SC的平面分別交SB,SC,SD于點E,F,G. 求證:AE⊥SB,AG⊥SD. 證明因為SA⊥平面ABCD, 所以SA⊥BC. 又BC⊥AB,SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB. 又AE?平面SAB,所以BC⊥AE. 因為SC⊥平面AEFG,所以SC⊥AE. 又BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC

9、, 所以AE⊥SB.同理可證AG⊥SD. 12. 如圖,在棱長均為1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中點. (1)求證:AD⊥平面BCC1B1; (2)求直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值. (1)證明直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC, ∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中點, ∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B, ∴AD⊥平面BCC1B1. (2)解連接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1, 則∠AC1D即為直線AC1與平面BCC1B1所成的角. 在Rt△AC1D中,AD=32,AC1=2,sin∠AC1D=ADAC1=64, 即直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值為64. 6