高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破 導(dǎo)數(shù)與積分 第8講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”問題

《高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破 導(dǎo)數(shù)與積分 第8講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”問題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破 導(dǎo)數(shù)與積分 第8講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”問題（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分 第8講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)” 【知識梳理】 構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題． 二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點“求之不得”的問題。 【基礎(chǔ)考點突破】 考點1.構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo) 【例1】【2015高考新課標2，理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（ ） A． 　　　B． C． 　　　D． 變式訓(xùn)練1.【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（ ） A． B． C． D． 考點2.利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)證明不等式 【例2】【2015高考福建，文22】已知函數(shù)． (Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）證明：當時，； （Ⅲ）確定實數(shù)的所有可能取值，使得存在，當時，恒有． 變式訓(xùn)練2.【2016高考新課標Ⅲ文數(shù)】設(shè)函數(shù). （1）討論的單調(diào)性；（2）證明當時，；（3）設(shè)，證明當時，. 考點3.構(gòu)造函數(shù)與二次求導(dǎo) 【例3】設(shè)函數(shù)(其中). (Ⅰ) 當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ) 當時,求函數(shù)在上的最大值. 【歸納總結(jié)】二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點“求之不得”的問題。 變式訓(xùn)練3.（2012年全國卷）設(shè)函數(shù)． （1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，為整數(shù)，且當時，，求的最大值． 變式訓(xùn)練4.（2014年山東卷）設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）． （1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，求的取值范圍． 【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】 1．設(shè)函數(shù)滿足，，則時，（ ） A．有極大值，無極小值 　B．有極小值，無極大值 C．既有極大值又有極小值　　　　　D．既無極大值也無極小值 2．設(shè)函數(shù)，其中． （1）當時，證明不等式；（2）設(shè)的最小值為，證明． 3． 已知函數(shù)，證明: 當且時． 4.【2016高考新課標2理數(shù)】 (Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當時，； (Ⅱ)證明：當時，函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域． 2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分 第1講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”（學(xué)生版，后附教師版） 【知識梳理】 構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，常可使問題變得明了，屬于難題． 二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點“求之不得”的問題。 【基礎(chǔ)考點突破】 考點1.構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo) 【例1】【2015高考新課標2，理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（ ） A． 　　　B． C． 　　　D． 【答案】A 解析：記函數(shù)，則，因為當時，，故當時，，所以在上單調(diào)遞減；又因為函數(shù)是奇函數(shù)，故函數(shù)是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，且.當時，，則；當時，，則，綜上所述，使得成立的的取值范圍是，故選A. 變式訓(xùn)練1.【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知條件，構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故，所以，，所以結(jié)論中一定錯誤的是C，選項D無法判斷；構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即，，選項A,B無法判斷，故選C． 考點2.利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)證明不等式 【例2】【2015高考福建，文22】已知函數(shù)． (Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）證明：當時，； （Ⅲ）確定實數(shù)的所有可能取值，使得存在，當時，恒有． 【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）． 【解析】（I），． 由得解得． 故的單調(diào)遞增區(qū)間是． （II）令，．則有． 當時，，所以在上單調(diào)遞減，故當時，，即當時，． （III）由（II）知，當時，不存在滿足題意． 當時，對于，有，則，從而不存在滿足題意． 當時，令，，則有． 由得，． 解得，． 當時，，故在內(nèi)單調(diào)遞增． 從而當時，，即， 綜上，的取值范圍是． 變式訓(xùn)練2.【2016高考新課標Ⅲ文數(shù)】設(shè)函數(shù). （1）討論的單調(diào)性；（2）證明當時，；（3）設(shè)，證明當時，. 解析：（Ⅰ）由題設(shè)，的定義域為，，令，解得. 當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為，所以當時，. 故當時，，，即. （Ⅲ）由題設(shè)，設(shè)，則，令，解得. 當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減. 由（Ⅱ）知，，故，又，故當時，. 所以當時，. 考點3.構(gòu)造函數(shù)與二次求導(dǎo) 【例3】設(shè)函數(shù)(其中). (Ⅰ) 當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ) 當時,求函數(shù)在上的最大值. 解析：(Ⅰ) 當時, , 令,得, 當變化時,的變化如下表: 極大值 極小值 右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,. (Ⅱ) ,令,得,, 令,則,所以在上遞增, 所以,從而,所以 所以當時,；當時,； 所以， 令,則,令,則， 所以在上遞減,而， 所以存在使得,且當時,,當時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. 因為,. 所以在上恒成立,當且僅當時取得“”. 綜上,函數(shù)在上的最大值. 【歸納總結(jié)】二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點“求之不得”的問題。 變式訓(xùn)練3.（2012年全國卷）設(shè)函數(shù)． （1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，為整數(shù)，且當時，，求的最大值． 解 （1）的定義域為，． 若，則，在上單調(diào)遞增；若，則當時，；當時，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． （2）由于，所以． 故當時，等價于① 令，則，由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增．而，，所以在內(nèi)存在唯一的零點，故在內(nèi)存在唯一的零點，設(shè)此零點為，則． 當時，；當時，，所以在內(nèi)的最小值為．又由，可得，所以． 由于①式等價于，故整數(shù)的最大值為2． 變式訓(xùn)練4.（2014年山東卷）設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）． （1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，求的取值范圍． 解 （1）函數(shù)的定義域為，．由可得，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為． （2）由（Ⅰ）知，時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，即函數(shù)在在內(nèi)不存在極點，故． 因為， 記．若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，則有兩個零點． 因為，當時，在內(nèi)成立，為單調(diào)遞增函數(shù)，在內(nèi)不存在兩個極值點．當時，在內(nèi)成立，為單調(diào)遞減函數(shù)，在內(nèi)成立，為單調(diào)遞增函數(shù)．所以函數(shù)的最小值為． 若在內(nèi)存在兩個極值點，當且僅當，解得． 綜上，在內(nèi)存在兩個極值點時，的取值范圍為． 【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】 1．設(shè)函數(shù)滿足，，則時，（ ） A．有極大值，無極小值 　B．有極小值，無極大值 C．既有極大值又有極小值　　　　　D．既無極大值也無極小值 解析：由題意,令,則,且， 因此． 令，則， 所以時，；時，．從而有，即，所以當時，是單調(diào)遞增的，既無極大值也無極小值．答案D． 2．設(shè)函數(shù)，其中． （1）當時，證明不等式； （2）設(shè)的最小值為，，證明． 證明：（1）設(shè)，則． 當 時，，在上是增函數(shù)． 所以當時，，即．所以成立． 同理可證．所以． （2）由已知得函數(shù)的定義域為，且，令，得．當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減； 當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增． 所以的最小值， 將代入，得，即. 所以，即． 3． 已知函數(shù)，證明: 當且時． 解析: 設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，則 ． 當時可得，而，故當 時，遞減． 所以得． 當 時，，而，故當時，遞減． 所以，可得． 綜上， 當且時． 4.【2016高考新課標2理數(shù)】 (Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當時，； (Ⅱ)證明：當時，函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域． 解析：（Ⅰ）的定義域為. 且僅當時，，所以在單調(diào)遞增，因此當時，所以 （II） 由（I）知，單調(diào)遞增，對任意因此，存在唯一使得即，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增. 因此在處取得最小值，最小值為 于是，由單調(diào)遞增 所以，由得 因為單調(diào)遞增，對任意存在唯一的 使得所以的值域是 綜上，當時，有，的值域是