高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理 (4)

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霍邱二中2015-2016學(xué)年度高二年級期中考試 數(shù)學(xué)（理科） 1、 選擇題：本大題有12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求. 1已知復(fù)數(shù)，則是（ ） A. B. C. D. 2.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（ ） A. B. C. D. 3.下面幾種推理是類比推理的是（ ） ①由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和是，得出所有三角形的內(nèi)角和都是；②由，滿足，得出是偶函數(shù)；③由正三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊距離之和是一個(gè)定值，得出正四面體內(nèi)一點(diǎn)到四個(gè)面距離之和是一個(gè)定值. A.①② B.③ C.①③ D.②③ 4.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至少有一個(gè)不大于”時(shí),假設(shè)正確的是（ ） A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于 B．假設(shè)三內(nèi)角都大于 C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于 D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于 5. 已知為常數(shù)），在處取得極值，則=（ ） A． B．1 C． D． 6. 把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的種數(shù)為（ ） A. B. C. D. 7．在的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值為（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 8.如圖，過原點(diǎn)斜率為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，. ① 的取值范圍是. ② . ③ 當(dāng)時(shí)，先減后增且恒為負(fù). 以上結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號是（ ） A.① B.①② C.①③ D.②③ 9．已知函數(shù)在區(qū)間（）上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 10．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)在處取得極小值，則函數(shù)的圖象可能是（ ） 2 4 3 1 5 11．如圖所示，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相 鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同 著色方法的種數(shù)為（ ） A．72 B．60 C．48 D．24 12．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為.若在區(qū)間上，恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”.已知在上是“凸函數(shù)”，則在上（ ） A．既有極大值，又有極小值 B. 有極小值，無極大值 C. 有極大值，無極小值 D. 既無極大值，也無極小值 二、填空題：本大題有4小題，每小題5分，共20分， 13．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為 . 14．由直線，，曲線及軸所圍成的圖形的面積是 . 15.已知， . 16.設(shè)，其中均為實(shí)數(shù)．下列條件中，使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是_______．(寫出所有正確條件的編號) ①；②；③；④. 三、解答題：本大題有6題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.（本小題滿分10分）有4個(gè)不同的小球，4個(gè)不同的盒子，現(xiàn)需把球全部放進(jìn)盒子里， （1）沒有空盒子的方法共有多少種？ （2）可以有空盒子的方法共有多少種？ （3）恰有1個(gè)盒子不放球，共有多少種方法？（最后結(jié)果用數(shù)字作答） 18、（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為的部分值如下表所示： -3 -2 0 1 3 4 8 -24 -10 6 8 0 -10 -90 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，回答下列問題： （Ⅰ）實(shí)數(shù)的值為___________；當(dāng) ________時(shí)，取得極大值. （Ⅱ）求實(shí)數(shù)，的值. （Ⅲ）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍. 19.（本小題滿分12分）設(shè) （Ⅰ）比較與的大??； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，證明：． 20．（本小題滿分12分）已知函數(shù) （1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍; （2）若函數(shù)在[]上的最小值為3, 求實(shí)數(shù)的值． （是自然對數(shù)的底數(shù)） 21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，對于正數(shù)，，…，(n∈N+)，記，如圖，由點(diǎn)，，，構(gòu)成的矩形的周長為，都滿足. （Ⅰ）求； （Ⅱ）猜想的表達(dá)式（用表示），并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 22．（本小題滿分12分）已知 （） （1）若曲線在處的切線與直線垂直，求函數(shù)的極值； （2）若關(guān)于的函數(shù)在時(shí)恒有3個(gè)不同的零點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)的范圍。（為的導(dǎo)函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)） 參考答案 BABBB CBCDC AC 13. 3x+y﹣4=0． 14. 15. -1 16.①③④ 17解：（1）沒有空盒子的方法：種 …………3分 （2）可以有空盒子的方法：種 ………………6分 （3）恰有一個(gè)空盒子的方法：種 ………………10分 18（Ⅰ）6，3. --------4分 （Ⅱ）解：，---5分 由已知表格可得解得-------------7分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得，---8分 由可得，------9分 因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減， 所以僅需或者， ---11分 所以的取值范為或.---12分 19解： （1）∴ …………………4分 （2）由（1）得類似的， ………6分 又； ……………………………9分 ∴ …12分 20． 解：（1） ①，在上單調(diào)遞增，∵， 又∵，∴函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)?！?分 ②即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 函數(shù)在其定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)， 解得，綜合①②可知：實(shí)數(shù)的取值范圍為 或 ….………6分 （2） ①若,此時(shí)在[]上是增函數(shù)．, 解得（舍去）…8分 ②若,令,得． 當(dāng)時(shí), ，所以在上是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)． ，解得．（舍去） …………………10分 ③若，此時(shí)在[]上是減函數(shù)，, 解得． 綜上所述：． ………………………………………………12分 21（Ⅰ）解：由題意知，， 所以.令i＝1，得， 又，且＞0，故. （Ⅱ）解：令i＝2，得， 又，，且＞0，故； 令i＝3，得， 又，，，且＞0，故；由此猜想，(n∈N+). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，，命題成立； ②假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即(k∈N+)， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，，又，， 故， 由，得， 所以(舍去). 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立。 綜上所述，對任意自然數(shù)n，都有成立. 22．解：（1）由可得由條件可得解得 …………………………….……………2分 則， 由可得即 可得即 … …………………………..……………4分 ∴在（）上單調(diào)遞增，在（）上單調(diào)遞減， ∴的極大值為無極小值。 ………………………………………．．5分 （2）由可得， 令則又∴ ∴在上單調(diào)遞減?！嘣谏系淖畲笾禐?，最小值為………………….……………8分 令，則，令可得或 隨的變化情況如下表所示： （） （） 1 （） + 0 - 0 + 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 由上表可知的極大值為，極小值為…….10分 要使有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則有， 解得： ……………….……… …………12分.