高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 (2)

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內(nèi)蒙古北方重工業(yè)集團(tuán)有限公司第三中學(xué)2016-2017學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 第一部分 一.選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.已知，，，那么（ ） A． B． C． D． 2. 滿足條件的所有集合的個(gè)數(shù)為（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 3. 定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足，若，，那么的值可以為（ ） A、-5 B、5 C、0 D、-1 4. 下列函數(shù)中，滿足的單調(diào)遞增函數(shù)是（ ） A. B. C. D. 5. 函數(shù)，恒過定點(diǎn)（ ） A． B． C． D． 6. 已知函數(shù)，則（ ） A. B.2 C. D. 7. 的大小順序是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函數(shù)在R上滿足：對任意，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 9. 設(shè)，定義符號函數(shù)＝，則（ ） A、 B、 C、 D、 10. 函數(shù)的圖象可能是（ ） A B C D 11. 已知函數(shù)，，構(gòu)造函數(shù)，定義如下：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，那么（ ） A．有最小值0，無最大值 B．有最小值，無最大值 C．有最大值1，無最小值 D．無最小值，也無最大值 12.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且對，恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 第二部分 二、填空題：本題共有4小題,每小題5分, 共20分. 13.函數(shù)的定義域?yàn)? . 14. 若函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，則的單調(diào)減區(qū)間為 . 15.某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度x（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)）。若該食品在0的保鮮時(shí)間設(shè)計(jì)192小時(shí)，在22的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33的保鮮時(shí)間是 小時(shí). 16．對于實(shí)數(shù)，符號表示不超過的最大整數(shù)，例如，定義函數(shù)，下列命題中正確命題的序號 ①函數(shù)的最大值為1；②函數(shù)的最小值為0；③方程有無數(shù)個(gè)解；④函數(shù)是增函數(shù);⑤對任意的，函數(shù)滿足;⑥函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為10個(gè). 三、解答題：本題共有6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 17.（本小題10分）計(jì)算下列各式的值 （1） （2） 18. （本小題12分）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，． （1）求函數(shù)的解析式； （2）畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域． 19. （本小題12分）函數(shù)（k,a為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點(diǎn). （1）求函數(shù)的解析式； （2）若函數(shù)是奇函數(shù)，求b的值； （3）在（2）的條件下判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論. 20. （本小題12分）某商場欲經(jīng)銷某種商品，考慮到不同顧客的喜好，決定同時(shí)銷售A、B兩個(gè)品牌，根據(jù)生產(chǎn)廠家營銷策略，結(jié)合本地區(qū)以往經(jīng)銷該商品的大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，A品牌的銷售利潤與投入資金成正比，其關(guān)系如圖1所示，B品牌的銷售利潤與投入資金的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2所示（利潤與資金的單位：萬元）． （1）分別將A、B兩個(gè)品牌的銷售利潤、表示為投入資金x的函數(shù)關(guān)系式； （2）該商場計(jì)劃投入5萬元經(jīng)銷該種商品，并全部投入A、B兩個(gè)品牌，問：怎樣分配這5萬元資金，才能使經(jīng)銷該種商品獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元？ 21. （本小題12分）已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)恒有，且當(dāng)時(shí)，，又. (1)判斷的奇偶性及單調(diào)性并證明你的結(jié)論； (2) 若對任意，不等式恒成立，求a的取值范圍． 22. （本小題12分）已知函數(shù)，其反函數(shù)為. （1）若的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值； （3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，若存在，求出的值；若不存在，則說明理由.  北重三中2016～2017學(xué)年度第一學(xué)期 高一年級期中考試數(shù)學(xué)試題答案 一、選擇題CCADB DDADB BC 二、填空題13、 14、 15、24 16、②③⑤ 17（1） （2）-1 18解: ①∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，∴． 當(dāng)時(shí)，，． ∴函數(shù)的解析式為 ②函數(shù)圖象如圖所示： 由圖象可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，無單調(diào)遞增區(qū)間，值域?yàn)椋?1,1） 19解：（1）∵函數(shù)的圖象過點(diǎn)A（0，1），B（3，8） ∴，解得， ∴f（x）=2x （2）由（1）得，，則2x﹣1≠0，解得x≠0， ∴函數(shù)g（x）定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞） ∵函數(shù)g（x）是奇函數(shù) ∴， ∴，即， ∴1+b?2x=2x+b，即（b﹣1）?（2x﹣1）=0 對于x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，∴b=1 其他方法作對也給分 （3）由（2）知，，且x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞） 當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）為單調(diào)遞減的函數(shù)；當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）也為單調(diào)遞減的函數(shù)， 證明如下： 設(shè)0＜x1＜x2，則 ∵0＜x1＜x2，∴， ∴g（x1）＞g（x2），即g（x）為單調(diào)遞減的函數(shù) 同理可證，當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）也為單調(diào)遞減的函數(shù)．或利用奇函數(shù)的圖像特征說明在（﹣∞，0）的單調(diào)性也可 20(1) 因?yàn)槠放频匿N售利潤與投入資金成正比，設(shè) ， 又過點(diǎn)，所以，所以 品牌的銷售利潤與投入資金的算術(shù)平方根成正比，設(shè)，又過點(diǎn)，所以，所以設(shè)， （2）設(shè)總利潤為,投入品牌為萬元，則投入品牌為萬元， 則 令，則 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，投入品牌為：， 答：投入品牌萬元、品牌萬元時(shí)，經(jīng)銷該種商品獲得最大利潤，最大利潤為萬元． 21(1)取x＝y(tǒng)＝0，則f(0＋0)＝2f(0)，∴f(0)＝0. 取y＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)， ∴f(－x)＝－f(x)對任意x∈R恒成立，∴f(x)為奇函數(shù)． 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x10，f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0， ∴f(x2)<－f(－x1)，又f(x)為奇函數(shù)， ∴f(x1)>f(x2)． ∴f(x)是R上的減函數(shù)． (2)f(x)為奇函數(shù)，整理原式得f(ax2)＋f(－2x)x－2， 當(dāng)a＝0時(shí)，－2x>x－2在R上不是恒成立，與題意矛盾； 當(dāng)a>0時(shí)，ax2－2x－x＋2>0，要使不等式恒成立，則Δ＝9－8a<0，即a>； 當(dāng)a<0時(shí)，ax2－3x＋2>0在R上不是恒成立，不合題意． 綜上所述，a的取值范圍為(，＋∞)． 22（Ⅰ）由函數(shù)，可得其反函數(shù)為y=， 因?yàn)槎x域?yàn)镽， 即有mx2+2x+1＞0恒成立， 所以， 解得m∈（1，+∞）； （Ⅱ）令， 即有y=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2， 當(dāng)a＞2，區(qū)間[，2]為減區(qū)間，t=2時(shí)，ymin=7﹣4a； 當(dāng)≤a≤2，t=a時(shí)，ymin=3﹣a2； 當(dāng)a＜，區(qū)間[，2]為增區(qū)間，t=時(shí)，ymin=﹣a． 則； （Ⅲ）h（x）=7﹣4x，x∈（2，+∞），且h（x）在x∈（2，+∞）上單調(diào)遞減． 所以，兩式相減得， m+n=4，與m＞n＞2矛盾， 所以不存在m，n滿足條件． 7