2020年高考數(shù)學一輪復(fù)習 考點題型 課下層級訓(xùn)練08 函數(shù)的奇偶性與周期性（含解析）

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1、課下層級訓(xùn)練(八)　函數(shù)的奇偶性與周期性 [A級　基礎(chǔ)強化訓(xùn)練] 1．(2019·山東濰坊月考)下列函數(shù)中，即是單調(diào)函數(shù)又是奇函數(shù)的是(　　) A．y＝sin x　　　　　 B．y＝2|x| C． D．y＝x3 【答案】D　[由題意可知，A中，函數(shù)y＝sin x不是單調(diào)函數(shù)，所以不符合題意；B中，函數(shù)y＝2|x|是偶函數(shù)，所以不符合題意；C中，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，所以不符合題意；D中，函數(shù)y＝x3為定義域上的單調(diào)增函數(shù)，且為奇函數(shù)，符合題意．] 2．(2019·山東濰坊模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時f(x)＝3x＋m(

2、m為常數(shù))，則f(－log35)的值為(　　) A．4 B．－4 C．6 D．－6 【答案】B　[當x≥0時f(x)＝3x＋m(m為常數(shù))，則f(0)＝30＋m＝0，則m＝－1.∴f(x)＝3x－1.∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－4.] 3．(2019·遼寧撫順模擬)已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0，2)時，f(x)＝2x2，則f(7)＝(　　) A．2 B．－2 C．－98 D．98 【答案】B　[因為f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期T＝4，又f(

3、x)在R上是奇函數(shù)，所以f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.] 4．(2019·甘肅天水月考)已知f(x)＝，則下列正確的是(　　) A．奇函數(shù)，在R上為增函數(shù) B．偶函數(shù)，在R上為增函數(shù) C．奇函數(shù)，在R上為減函數(shù) D．偶函數(shù)，在R上為減函數(shù) 【答案】A　[定義域為R，∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，∵ex是R上的增函數(shù)，－e－x也是R上的增函數(shù)，∴是R上的增函數(shù)，] 5．定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，則(　　) A．f(3)

4、f(1)2>1，∴f(3)

5、知f(x)是奇函數(shù)，g(x)＝. 若g(2)＝3，則g(－2)＝________. 【答案】－1　[由題意可得g(2)＝＝3，則f(2)＝1，又f(x)是奇函數(shù)，則f(－2)＝－1，所以g(－2)＝＝＝－1.] 8．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③當0≤x<1時，f(x)＝2x－1，則f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________. 【答案】－1　[依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2， 則f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0. ∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f ＝f＋0＋f＋f(0

6、)＋f ＝f－f＋f(0)＋f＝f＋f(0) ＝2－1＋20－1＝－1.] 9．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． (1)求實數(shù)m的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍． 【答案】解　(1)設(shè)x<0，則－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增， 結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)知 所以1

7、是定義域為R的周期函數(shù)，最小正周期為2，且f(1＋x)＝f(1－x)，當－1≤x≤0時，f(x)＝－x. (1)判斷f(x)的奇偶性； (2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上的表達式． 【答案】解　(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)． 又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)． 又f(x)的定義域為R，∴f(x)是偶函數(shù)． (2)當x∈[0，1]時，－x∈[－1，0]， 則f(x)＝f(－x)＝x； 從而當1≤x≤2時，－1≤x－2≤0， f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2. 故f(x)＝ [B級　能力提升訓(xùn)練] 1

8、1．(2019·河北邢臺月考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1，0]上單調(diào)遞減，則f(x)在[1，3]上是(　　) A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．先增后減的函數(shù) D．先減后增的函數(shù) 【答案】D　[根據(jù)題意，∵ f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝ f(x)，∴函數(shù)的周期是2；又f(x)在定義域R上是偶函數(shù)，在[－1，0]上是減函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在[0，1]上是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在[1，2]上是減函數(shù)，在[2，3]上是增函數(shù)，∴f(x)在[1，3]上是先減后增的函數(shù)．] 12．(2019·山東省實驗中學診斷)函

9、數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(x－2)的圖象關(guān)于x＝2對稱，若f(－2)＝1，則滿足f(x－2) ≥1的x取值范圍是(　　) A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．[0，4] 【答案】D　[因為y＝f(x－2)的圖象向左平移2個單位可得到y(tǒng)＝f(x)的圖象，所以由f(x－2)的圖象關(guān)于x＝2對稱可知y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，為偶函數(shù)，所以(－∞，0]上為增函數(shù)，且f(－2)＝f(2)＝1，所以f(x－2) ≥1只需－2≤x－2≤2，解得0≤x≤4.] 13．(2019·山東泰安階段檢測)偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)

10、單調(diào)遞減，f(1)＝0，不等式f(x)＞0的解集為________. 【答案】(－1，1)　[f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(1)＝0，則可知x∈[0，1)時f(x)＞0.由偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，可知x∈(－1，0]時f(x)＞0.綜上可得x∈(－1，1)．] 14．(2019·山東淄博月考)已知f(x)是定義域(－1，1)的奇函數(shù)，而且f(x)是減函數(shù)，如果f(m－2)＋f(2m－3)＞0，那么實數(shù)m的取值范圍是________. 【答案】　[∵f(x)是定義域(－1，1)的奇函數(shù)， ∴－1＜x＜1，f(－x)＝－f(x)． ∵f(x)是減函數(shù)，∴f(m－2)＋f(2m－

11、3)＞0可轉(zhuǎn)化為 f(m－2)＞－f(2m－3)，∴f(m－2)＞f(－2m＋3)， ∴∴1＜m＜.] 15．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)x有f＝－f成立． (1)證明y＝f(x)是周期函數(shù)，并指出其周期； (2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值； (3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函數(shù)，求實數(shù)a的值． 【答案】(1)證明　由f＝－f， 且f(－x)＝－f(x)， 知f(3＋x)＝f＝ －f＝－f(－x)＝f(x)， 所以y＝f(x)是周期函數(shù)，且T＝3是其一個周期． (2)解　因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0， 且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一個周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2. (3)解　因為y＝|f(x)|·g(x)是偶函數(shù)， 且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|為偶函數(shù)． 故g(x)＝x2＋ax＋3為偶函數(shù)， 即g(－x)＝g(x)恒成立， 于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立． 于是2ax＝0恒成立，所以a＝0. 5