2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)33 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 文 北師大版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)33 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 建議用時(shí)：45分鐘 一、選擇題 1．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8 C　[設(shè){an}的公差為d，則 由得解得d＝4. 故選C.] 2．(2019·峨眉山模擬)在等差數(shù)列{an}中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的兩根，則數(shù)列{an}的前11項(xiàng)和等于(　　) A．66 B．132 C．－66 D．－132 D　[因?yàn)閍3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的兩根， 所以a3＋a9＝－

2、24， 又a3＋a9＝－24＝2a6，所以a6＝－12， S11＝＝＝－132.故選D.] 3．在數(shù)列{an}中，an＝28－5n，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，當(dāng)Sn最大時(shí)，n＝(　　) A．2 B．3 C．5 D．6 C　[∵an＝28－5n，∴數(shù)列{an}為遞減數(shù)列． 令an＝28－5n≥0，則n≤，又n∈N*，∴n≤5. ∴當(dāng)n＝5時(shí)，Sn最大．故選C.] 4．程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩(shī)云“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏．次第每人多十七，要將第八數(shù)來言．務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳．”意為：996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第一個(gè)開始，以后每人依次多17斤

3、，直到第八個(gè)孩子為止．分配時(shí)一定要等級(jí)分明，使孝順子女的美德外傳，則第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為(　　) A．65 B．176 C．183 D．184 D　[由題意知，8個(gè)孩子所得棉花構(gòu)成公差為17的等差數(shù)列，且前8項(xiàng)之和為996. 設(shè)首項(xiàng)為a1，則S8＝8a1＋×17＝996，解得a1＝65， 則a8＝a1＋7d＝65＋7×17＝184，故選D.] 5．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＝－2n＋1，則數(shù)列的前11項(xiàng)和為(　　) A．－45 B．－50 C．－55 D．－66 D　[∵an＝－2n＋1，∴數(shù)列{an}是以－1為首項(xiàng)，－2為公差的等差數(shù)列，∴Sn＝＝－n2

4、， ∴＝＝－n，∴數(shù)列是以－1為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列，∴數(shù)列的前11項(xiàng)和為11×(－1)＋×(－1)＝－66，故選D.] 二、填空題 6．(2019·全國(guó)卷Ⅲ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3＝5，a7＝13，則S10＝________. 100　[∵{an}為等差數(shù)列，a3＝5，a7＝13， ∴公差d＝＝＝2， 首項(xiàng)a1＝a3－2d＝5－2×2＝1， ∴S10＝10a1＋d＝100.] 7．若x≠y，數(shù)列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差數(shù)列，則＝________. 　[由題意得a1－a2＝，b1－b2＝，所以＝.] 8．在等差數(shù)列{a

5、n}中，公差d＝，前100項(xiàng)的和S100＝45，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________. 10　[a2＋a4＋a6＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋25，由S100＝45得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝10.] 三、解答題 9．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． [解](1)設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－1

6、6. 所以當(dāng)n＝4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為－16. 10．已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. [解](1)設(shè){an}的公差為d.由題意，得 a＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)． 于是d(2a1＋25d)＝0. 又a1＝25，所以d＝0(舍去)或d＝－2. 故an＝－2n＋27. (2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首項(xiàng)為25，公差為－6的等差數(shù)列． 從而

7、Sn＝(a1＋a3n－2) ＝(－6n＋56) ＝－3n2＋28n. 1．在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ A　[由已知式＝＋可得－＝－，知是首項(xiàng)為＝1，公差為－＝2－1＝1的等差數(shù)列，所以＝n，即an＝.] 2．設(shè)an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，則下列命題中不正確的是(　　) A．{an＋1－an}是等差數(shù)列 B．{bn＋1－bn}是等差數(shù)列 C．{an－bn}是等差數(shù)列 D．{an＋bn}是等差數(shù)列 D　[對(duì)于A，因?yàn)閍n＝(n＋1)2， 所以a

8、n＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3， 設(shè)cn＝2n＋3，所以cn＋1－cn＝2. 所以{an＋1－an}是等差數(shù)列，故A正確； 對(duì)于B，因?yàn)閎n＝n2－n(n∈N*)， 所以bn＋1－bn＝2n， 設(shè)cn＝2n，所以cn＋1－cn＝2， 所以{bn＋1－bn}是等差數(shù)列，故B正確； 對(duì)于C，因?yàn)閍n＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)， 所以an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1， 設(shè)cn＝3n＋1，所以cn＋1－cn＝3， 所以{an－bn}是等差數(shù)列，故C正確； 對(duì)于D，an＋bn＝2n2＋n＋1，設(shè)cn＝an＋bn， cn＋1－cn

9、不是常數(shù)，故D錯(cuò)誤．] 3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則正整數(shù)m的值為________． 5　[由題意知am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，則公差d＝am＋1－am＝1. 由Sm＝0得＝0， 解得a1＝－am＝－2， 則am＝－2＋(m－1)×1＝2，解得m＝5.] 4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝－15，求數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn. [解](1)證明：∵n(an＋1－n－1)＝

10、(n＋1)(an＋n)(n∈N*)， ∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴－＝2， ∴數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為2，首項(xiàng)為2， ∴＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)知an＝2n2，∴bn＝－15＝2n－15， ∴bn＋1－bn＝2，b1＝－13， ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為－13，公差為2的等差數(shù)列， 則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝＝n2－14n. 令bn＝2n－15≤0，n∈N*，解得n≤7. ∴n≤7時(shí)，數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n. n≥8時(shí)，數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋

11、…＋bn＝－2S7＋Sn＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98. ∴Tn＝ 1．已知函數(shù)y＝f(x)對(duì)任意自變量x都有f(x)＝f(2－x)，且函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)．若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a6)＝f(a2 012)，則{an}的前2 017項(xiàng)之和為(　　) A．0 B．2 017 C．2 016 D．4 034 B　[由題意知a6＋a2 012＝2，則 S2 017＝＝＝2 017，故選B.] 2．各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{an}滿足＝an＋2an，且a3＝2a8＝. (1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. [解](1)證明：依題意，an＋1an＋an＋2an＋1＝2an＋2an，兩邊同時(shí)除以anan＋1an＋2， 可得＋＝， 故數(shù)列是等差數(shù)列， 設(shè)數(shù)列的公差為d. 因?yàn)閍3＝2a8＝，所以＝5，＝10， 所以－＝5＝5d， 即d＝1， 所以＝＋(n－3)d＝5＋(n－3)×1＝n＋2， 故an＝. (2)由(1)可知bn＝＝·＝，故Sn＝＝. - 6 -