2020屆高考數(shù)學總復習 課時跟蹤練（三十三）等比數(shù)列及其前n項和 文（含解析）新人教A版

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1、課時跟蹤練(三十三) A組　基礎(chǔ)鞏固 1．(2019·湖北調(diào)考)設(shè)等比數(shù)列{an}中，a2＝2，a2＋a4＋a6＝14，則公比q＝(　　) A．3 B．± C．2 D．± 解析：由題意得解得q2＝2， 所以q＝±，故選D. 答案：D 2．[一題多解](2019·成都二診)在等比數(shù)列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，則a5＝(　　) A．12 B．18 C．24 D．36 解析：法一　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則有a3＋a3q2＋a3q4＝6＋6q2＋6q4＝78，解得q2＝3，所以a5＝a3q2＝18，故選B. 法二　設(shè)等比數(shù)列{an

2、}的首項為a1，公比為q，則由題意有解得所以a5＝a1q4＝18. 答案：B 3．(2019·菏澤模擬)等比數(shù)列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的兩個實數(shù)根，則的值為(　　) A．2 B．－或 C. D．－ 解析：因為a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a2＋a16＝－6，a2·a16＝2，所以a2<0，a16<0，即a1>0，q<0或a1<0，q>0，所以＝a9＝±＝±.故選B. 答案：B 4．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a4與a14的等比中項為2，則2a7＋a11的最小值為(　　) A．16 B．8 C．2 D．4 解

3、析：因為a4與a14的等比中項為2， 所以a4·a14＝a7·a11＝(2)2＝8， 所以2a7＋a11≥2＝2＝8， 所以2a7＋a11的最小值為8. 答案：B 5．已知數(shù)列{an}滿足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，則log(a5＋a7＋a9)的值是(　　) A．－5 B．－ C．5 D. 解析：因為log3an＋1＝log3an＋1， 所以an＋1＝3an.又由題意知an>0， 所以數(shù)列{an}是公比q＝3的等比數(shù)列． 因為a5＋a7＋a9＝q3(a2＋a4＋a6)， 所以log(a5＋a7＋a9)＝log(9×33

4、)＝log35＝－5. 答案：A 6．在等比數(shù)列{an}中，若a1·a5＝16，a4＝8，則a6＝________． 解析：由題意得，a2·a4＝a1·a5＝16， 所以a2＝2，所以q2＝＝4，所以a6＝a4q2＝32. 答案：32 7．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若am·am＋2＝2am＋1(m∈N*)，數(shù)列{an}的前n項積為Tn，且T2m＋1＝128，則m的值為________． 解析：因為am·am＋2＝2am＋1，所以a＝2am＋1，即am＋1＝2，即{an}為常數(shù)列．又T2m＋1＝(am＋1)2m＋1，由22m＋1＝128，得m＝3. 答案：3 8．(2

5、019·合肥二測)已知數(shù)列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，則其前9項的和S9＝________． 解析：由＝4(an＋1－an)可得a－4an＋1an＋4a＝0，即(an＋1－2an)2＝0，即an＋1＝2an，又a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項和公比都是2的等比數(shù)列，則其前9項的和S9＝＝210－2＝1 022. 答案：1 022 9．(2016·全國卷Ⅰ)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通項公式； (2)求{bn}的前n項和． 解：(1)由已知，a1b2＋b2＝b

6、1，b1＝1，b2＝，得a1＝2， 所以數(shù)列{an}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，通項公式為an＝3n－1. (2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝， 因此{bn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列． 記{bn}的前n項和為Sn， 則Sn＝＝－. 10．(2019·惠州三調(diào))已知數(shù)列{an}中，點(an，an＋1)在直線y＝x＋2上，且首項a1＝1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，請寫出適合條件Tn≤Sn的所有n的值． 解：(1)因為點(an，a

7、n＋1)在直線y＝x＋2上， 所以an＋1＝an＋2，所以an＋1－an＝2， 所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為2，又a1＝1，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝＝n2. 等比數(shù)列{bn}中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，所以q＝3. 所以bn＝3n－1. 所以數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝＝. Tn≤Sn可化為≤n2，又n∈N*，所以n＝1或2. 故適合條件Tn≤Sn的所有n的值為1，2. B組　素養(yǎng)提升 11．數(shù)列{an}中，已知對任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，則a＋a＋a＋…＋a等于(　　) A．(3

8、n－1)2 B.(9n－1) C．9n－1 D.(3n－1) 解析：因為a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*， 當n≥2時，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1， 所以當n≥2時，an＝3n－3n－1＝2·3n－1， 又n＝1時，a1＝2適合上式，所以an＝2·3n－1， 故數(shù)列{a}是首項為4，公比為9的等比數(shù)列， 因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)． 答案：B 12．(2019·河南六市聯(lián)考)若正項遞增等比數(shù)列{an}滿足1＋(a2－a4)＋λ(a3－a5)＝0(λ∈R)，則a6＋λa7的最小值為(　　) A．－2 B．－4 C．2 D．4 解

9、析：因為{an}是正項遞增的等比數(shù)列， 所以a1>0，q>1， 由1＋(a2－a4)＋λ(a3－a5)＝0， 得1＋(a2－a4)＋λq(a2－a4)＝0， 所以1＋λq＝， 所以a6＋λa7＝a6(1＋λq)＝＝ ＝＝(q2－1)＋2＋≥2 ＋2＝4(q2－1>0)， 當且僅當q＝時取等號，所以a6＋λa7的最小值為4.故選D. 答案：D 13．(2019·佛山質(zhì)量檢測)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝3－，n∈N*，則a1＋a2＋…＋an＝________. 解析：因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝3－， 所以a1＋3a2＋…＋(2n－3)a

10、n－1＝3－(n≥2)， 兩式相減得(2n－1)an＝(n≥2)，an＝(n≥2)， 當n＝1時，a1＝3－＝，適合上式，所以an＝(n∈N*)， 因此a1＋a2＋…＋an＝＝1－. 答案：1－ 14．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)． (1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． (1)證明：因為an＋1＝an＋6an－1(n≥2)， 所以an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)． 因為a1＝5，a2＝5，所以a2＋2a1＝15， 所以an＋2an－1≠0(n≥2)， 所以＝3(n≥2)， 所以數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列． (2)解：由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n， 則an＋1＝－2an＋5×3n， 所以an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)． 又因為a1－3＝2，所以an－3n≠0， 所以{an－3n}是以2為首項，－2為公比的等比數(shù)列． 所以an－3n＝2×(－2)n－1， 即an＝2×(－2)n－1＋3n. 6