2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)題型 課下層級(jí)訓(xùn)練48 雙曲線（含解析）

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1、課下層級(jí)訓(xùn)練(四十八)　雙曲線 [A級(jí)　基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練] 1．已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(－4,0)，(4,0)，則雙曲線的方程為(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 【答案】A　[已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(－4,0)，(4,0)，則c＝4，a＝2，b2＝12，雙曲線方程為－＝1 .] 2．(2019·山東菏澤月考)已知雙曲線C：－＝1，則雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(±5,0) B．(±，0) C．(0，±5) D．(0，±) 【答案】C　[由方程C：－＝1表示雙曲線，焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上，可知，a2＝16，b2＝9.則c2＝a2＋b2＝25，

2、即c＝5，故雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±5)．] 3．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為(　　) A．　　　 B．2　　　 C．　　　 D．2 【答案】D　[由題意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因?yàn)閍>0，b>0，所以a＝b，漸近線方程為x±y＝0，點(diǎn)(4,0)到漸近線的距離為＝2.] 4．(2019·山東鄒城檢測(cè))若雙曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，－4), 則此雙曲線的離心率為(　　) A． B． C． D． 【答案】A　[∵雙曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，－4)， ∴－＝－4，＝

3、，e＝ ＝ ＝.] 5．(2019·山東青島調(diào)研)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝2，則雙曲線C的漸近線方程為(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【答案】D　[雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝＝2,2＝?＝3，＝.故漸近線方程為y＝±x＝±x.] 6．(2018·天津卷)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 【答

4、案】C　[如圖，不妨設(shè)A在B的上方，則A，B.其中的一條漸近線為bx－ay＝0，則d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3． 又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝． ∴雙曲線的方程為－＝1.] 7．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，則a＝____________；b＝____________． 【答案】1　2　[由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2． 又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.] 8．(2018·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為c，則其

5、離心率的值為_(kāi)___________． 【答案】2　[雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線的距離d＝＝b.∴b＝c，∴a＝＝c，∴e＝＝2.] 9．設(shè)雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|＋|AF2|的最小值為_(kāi)___________． 【答案】10　[由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，得a＝2，由雙曲線的定義可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因?yàn)閨AF1|＋|BF1|＝|AB|，當(dāng)|AB|是雙曲線的通徑時(shí)，|AB|最小，所以(|AF

6、2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10.] 10．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)(4，－)． (1)求雙曲線的方程； (2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：1·2＝0． 【答案】(1)解　∵e＝，∴可設(shè)雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵雙曲線過(guò)點(diǎn)(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴雙曲線的方程為x2－y2＝6． (2)證明　證法一：由(1)可知，雙曲線中a＝b＝， ∴c＝2，∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)， ∴kMF1＝，kMF2＝， ∴kMF1·kMF2＝＝－． ∵點(diǎn)M(3，m)在雙曲線

7、上，∴9－m2＝6，m2＝3， 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，即1·2＝0． 證法二：由證法一知1＝(－3－2，－m)， 2＝(2－3，－m)， ∴1·2＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2， ∵點(diǎn)M在雙曲線上， ∴9－m2＝6，即m2－3＝0， ∴1·2＝0． [B級(jí)　能力提升訓(xùn)練] 11．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(　　) A． B．3 C．2 D．4 【答案】B　[由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x．

8、設(shè)兩漸近線夾角為2α，則有tan α＝＝，所以α＝30°． 所以∠MON＝2α＝60°． 又△OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對(duì)稱性，不妨設(shè)MN⊥ON，如圖所示． 在Rt△ONF中，|OF|＝2，則|ON|＝． 則在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.] 12．(2019·湖北武漢調(diào)研)已知不等式3x2－y2>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)P(x，y)到直線y＝x和直線y＝－x的垂線段分別為PA，PB，若△PAB的面積為，則點(diǎn)P軌跡的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)可以是(　　) A．(2,0) B．(3,0) C．(0,2) D．(0,3) 【答案】A　[∵直

9、線y＝x與y＝－x的夾角為60°，且3x2－y2>0，∴PA與PB的夾角為120°，|PA||PB|＝·＝，S△PAB＝|PA||PB|·sin 120°＝(3x2－y2)＝，即P點(diǎn)的軌跡方程為x2－＝1，半焦距為c＝2，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)可以為(2,0)．] 13．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)．若∠MAN＝60°，則C的離心率為_(kāi)___________． 【答案】　[如圖，由題意知點(diǎn)A(a,0)，雙曲線的一條漸近線l的方程為y＝x，即bx－ay＝0， ∴點(diǎn)A到l的距離d＝．

10、又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，∴△MAN為等邊三角形， ∴d＝MA＝b，即＝b，∴a2＝3b2， ∴e＝＝＝.] 14．已知雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上存在一點(diǎn)P使＝e，則·＝____________． 【答案】2　[由題意及正弦定理得＝＝e＝2， ∴|PF1|＝2|PF2|，由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2.又|F1F2|＝4， 由余弦定理可知 cos∠PF2F1＝＝＝，∴·＝||·||cos∠PF2F1＝2×4×＝2.] 15．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，

11、點(diǎn)(，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)． (1)求雙曲線的方程； (2)經(jīng)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，求|AB|． 【答案】解　(1)∵雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，點(diǎn)(，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)， ∴解得c＝3，b＝， ∴雙曲線的方程為－＝1． (2)雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為F2(3,0)， ∴經(jīng)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F2且傾斜角為30°的直線的方程為y＝(x－3)． 聯(lián)立得5x2＋6x－27＝0． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝－． 所以|AB|＝× ＝． 16．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右

12、焦點(diǎn)為(2,0)，實(shí)軸長(zhǎng)為2． (1)求雙曲線C的方程； (2)若直線l：y＝kx＋與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，求k的取值范圍； (3)在(2)的條件下，線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M(0，m)，求m的取值范圍． 【答案】解　(1)設(shè)雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)． 由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1， 所以雙曲線C的方程為－y2＝1． (2)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，將y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0． 由題意知解得