2、依題意，圓O的半徑r等于原點O到直線x－y－4＝0的距離，即r＝＝2，得圓O的方程為x2＋y2＝4.]
3．(2019·福建福州模擬)過點P(1，－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則AB所在直線的方程為( )
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝－ D．y＝－
【答案】B [圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，半徑為1，以|PC|＝＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1，將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0，即y＝－.]
4．(2019· 遼寧葫蘆島月考)過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所截得的弦長
3、為( )
A． B．2
C． D．2
【答案】D [過原點且傾斜角為60°的直線方程為x－y＝0，圓x2＋(y－2)2＝4的圓心(0,2)到直線x－y＝0的距離為d＝＝1，因此弦長為2＝2＝2.]
5．(2019· 河北邯鄲模擬)由直線y＝x＋1上的一點向圓x2－6x＋y2＋8＝0引切線，則切線長的最小值為( )
A．1 B．2
C． D．3
【答案】C [切線長的最小值在直線y＝x＋1上的點與圓心距離最小時取得，圓心(3,0)到直線的距離為d＝＝2，圓的半徑為1，故切線長的最小值為＝＝.]
6．(2019·山東泰安模擬)已知圓C：(x－)2＋(y－1)2＝1和兩點A(－t
4、,0)，B(t,0)(t>0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則實數(shù)t的最小值為____________．
【答案】1 [由∠APB＝90°得，點P在圓x2＋y2＝t2上，因此由兩圓有交點得|t－1|≤|OC|≤t＋1?|t－1|≤2≤t＋1?1≤t≤3，即t的最小值為1.]
7．圓x2＋y2＝50與圓x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦的長度為____________．
【答案】2 [兩圓的公共弦長即兩圓交點間的距離，將兩圓方程聯(lián)立，可求得弦所在直線為2x＋y－15＝0，原點到該直線的距離為d＝＝3，則公共弦的長度為2＝2＝2.]
8．點P在圓C1：x2＋y2－8x－
5、4y＋11＝0上，點Q在圓C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，則|PQ|的最小值是____________．
【答案】3－5 [把圓C1、圓C2的方程都化成標準形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圓C1的圓心坐標是(4,2)，半徑是3；圓C2的圓心坐標是(－2，－1)，半徑是2.圓心距d＝＝3. 所以|PQ|的最小值是3－5.]
9．已知圓C的圓心與點P(－2,1)關(guān)于直線y＝x＋1對稱，直線3x＋4y－11＝0與圓C相交于A，B兩點，且|AB|＝6，求圓C的方程．
【答案】解 設(shè)點P關(guān)于直線y＝x＋1的對稱點為C(m，n)，
則由?
故圓心C
6、到直線3x＋4y－11＝0的距離
d＝＝3，
所以圓C的半徑的平方r2＝d2＋＝18．
故圓C的方程為x2＋(y＋1)2＝18．
10．已知圓C經(jīng)過點A(2，－1)，和直線x＋y＝1相切，且圓心在直線y＝－2x上．
(1)求圓C的方程；
(2)已知直線l經(jīng)過原點，并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程．
【答案】解 (1)設(shè)圓心的坐標為C(a，－2a)，
則＝．
化簡，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．
∴C(1，－2)，半徑r＝|AC|＝
＝．
∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2．
(2)①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，此時直線l被圓C截
7、得的弦長為2，滿足條件．
②當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝kx，由題意得＝1，解得k＝－，
∴直線l的方程為y＝－x，即3x＋4y＝0．
綜上所述，直線l的方程為x＝0或3x＋4y＝0．
[B級 能力提升訓練]
11．(2019·河南信陽模擬)以(a,1)為圓心，且與兩條直線2x－y＋4＝0,2x－y－6＝0同時相切的圓的標準方程為( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
C．(x－1)2＋y2＝5 D．x2＋(y－1)2＝5
【答案】A [由題意得，點(a,1)到兩條直線的距離相等，且為圓的半徑．
∴＝，解得a＝1．
∴
8、r＝＝，
∴所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝5.]
12．已知點P(a，b)(ab≠0)是圓x2＋y2＝r2內(nèi)的一點，直線m是以P為中點的弦所在的直線，直線l的方程為ax＋by＝r2，那么( )
A．m∥l，且l與圓相交 B．m⊥l，且l與圓相切
C．m∥l，且l與圓相離 D．m⊥l，且l與圓相離
【答案】C [∵點P(a，b)(ab≠0)在圓內(nèi)，∴a2＋b2＝r，∴m∥l，l與圓相離. ]
13．(2018·山
9、東臨沂模擬)已知直線x＋y－k＝0(k＞0)與x2＋y2＝4交于不同的兩點A、B，O為坐標原點，且|＋|≥||，則k的取值范圍是______________．
【答案】[，2) [由已知得圓心到直線的距離小于半徑，即＜2，又k＞0，故0＜k＜2. ①
如圖，作平行四邊形OACB，連接OC交AB于M，
由|＋|≥||得||≥||，即
∠MBO≥，因為|OB|＝2，所以|OM|≥1，故≥1，
k≥ .?、?
綜合①②得，≤k＜2.]
14．(2016·全國卷Ⅲ)已知直線l：x－y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，則|CD|＝__
10、__________．
【答案】4 [如圖所示，∵直線AB的方程為x－y＋6＝0，
∴kAB＝，∴∠BPD＝30°，
從而∠BDP＝60°．
在Rt△BOD中，
∵|OB|＝2，∴|OD|＝2．
取AB的中點H，連接OH，則OH⊥AB，
∴OH為直角梯形ABDC的中位線，
∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.]
15．(2019·山西大同月考)已知圓C經(jīng)過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點，且圓心C在直線x＋y－1＝0上．
(1)求圓C的方程；
(2)若直線l∥PQ，且l與圓C交于點A，B且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求直線l的方程．
【
11、答案】解 (1)∵P(4，－2)，Q(－1,3)，
∴線段PQ的中點M，斜率kPQ＝－1，
則PQ的垂直平分線方程為y－＝1×(x－)，
即x－y－1＝0．
解方程組得
∴圓心C(1,0)，半徑r＝＝．
故圓C的方程為(x－1)2＋y2＝13．
(2)由l∥PQ，設(shè)l的方程為y＝－x＋m．
代入圓C的方程，得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－6．
故y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2＋x1x2－m(x1＋x2)，
依題意知OA⊥OB，則·＝0．
∴(x1，y1)·(x2，y2)＝x
12、1x2＋y1y2＝0，
于是m2＋2x1x2－m(x1＋x2)＝0，即m2－m－12＝0．
∴m＝4或m＝－3，經(jīng)檢驗，滿足Δ>0．
故直線l的方程為y＝－x＋4或y＝－x－3．
16．(2019·湖南東部六校聯(lián)考)已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．
(1)求圓C的方程；
(2)過點M(1,0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】解 (1)設(shè)圓心C(a,0)，則＝2
?a＝0或a＝－5(舍)．
所以圓C：x2＋y2＝4．
(2)當直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB．
當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝．
若x軸平分∠ANB，則kAN＝－kBN?＋＝0?＋＝0?2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0?－＋2t＝0?t＝4，
所以當點N為(4,0)時，能使得∠ANM＝∠BNM總成立．
6
2020年高考數(shù)學一輪復習 考點題型 課下層級訓練45 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（含解析）
