2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 課時跟蹤練（五十五）直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 理（含解析）新人教A版

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1、課時跟蹤練(五十五) A組　基礎(chǔ)鞏固 1．已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定 解析：由題意知點M在圓外，則a2＋b2>1，圓心到直線的距離d＝<1，故直線與圓相交． 答案：B 2．已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是(　　) A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 解析：由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0， 得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a， 所以圓心坐標(biāo)為(－1，1)，半徑r＝， 圓心到直線x＋y

2、＋2＝0的距離為＝， 所以22＋()2＝2－a，解得a＝－4. 答案：B 3．(2019·深圳調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x與圓O：x2＋y2＝1交于A，B兩點，α，β的始邊是x軸的非負(fù)半軸，終邊分別在射線OA和OB上，則tan(α＋β)的值為(　　) A．－2 B．－ C．0 D．2 解析：由題可知tan α＝tan β＝，那么tan(α＋β)＝＝－2，故選A. 答案：A 4．(2019·湖北四地七校聯(lián)考)若圓O1：x2＋y2＝5與圓O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是(　　) A．3 B．4

3、 C．2 D．8 解析：連接O1A，O2A，由于⊙O1與⊙O2在點A處的切線互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，設(shè)AB交x軸于點C. 在Rt△O1AO2中，sin ∠AO2O1＝，所以在Rt△ACO2中， AC＝AO2·sin ∠AO2O1＝2×＝2， 所以AB＝2AC＝4.故選B. 答案：B 5．(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3

4、] 解析：設(shè)圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為C，半徑為r，點P到直線x＋y＋2＝0的距離為d，則圓心C(2，0)，r＝，所以圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離為2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知條件可得AB＝2，所以△ABP面積的最大值為AB·dmax＝6，△ABP面積的最小值為AB·dmin＝2. 綜上，△ABP面積的取值范圍是[2，6]． 故選A. 答案：A 6．已知圓C1：x2＋y2－6x－7＝0與圓C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B兩點，則線段AB的中垂線方程為____________________ ____________． 解析：因為圓

5、C1的圓心C1(3，0)，圓C2的圓心C2(0，3)， 所以直線C1C2的方程為x＋y－3＝0， AB的中垂線即直線C1C2，故其方程為x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 7．從圓x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一點P(3，2)向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為________． 解析：由x2－2x＋y2－2y＋1＝0，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，則圓心為C(1，1)，|PC|＝＝. 設(shè)兩切點分別為B，D，則|CD|＝1，所以sin ∠CPD＝， 則cos ∠DPB＝1－2 sin2∠CPD＝1－＝，即兩條切線夾角的余弦值為. 答案： 8．[一題多解](20

6、16·全國卷Ⅲ)已知直線l：x－y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點．則|CD|＝________． 解析：法一　由圓x2＋y2＝12知圓心O(0，0)，半徑r＝2.所以圓心(0，0)到直線x－y＋6＝0的距離d＝＝3，|AB|＝2 ＝2.過C作CE⊥BD于E. 如圖所示，則|CE|＝|AB|＝2. 因為直線l的方程為x－y＋6＝0， 所以kAB＝，則∠BPD＝30°，從而∠BDP＝60°. 所以|CD|＝＝＝＝4. 法二　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得y2－3y＋6＝0，解得y1＝，y2＝2， 所以A(－3

7、，)，B(0，2)． 過A，B作l的垂線方程分別為 y－＝－(x＋3)，y－2＝－x， 令y＝0，得xC＝－2，xD＝2， 所以|CD|＝2－(－2)＝4. 答案：4 9．已知兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0. (1)求證：圓C1和圓C2相交； (2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長． (1)證明：圓C1的圓心為C1(1，3)，半徑r1＝，圓C2的圓心為C2(5，6)，半徑r2＝4，兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，所以|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所以圓C1和圓C2相

8、交． (2)解：圓C1和圓C2的方程左、右兩邊分別相減，得4x＋3y－23＝0， 所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0. 圓心C2(5，6)到直線4x＋3y－23＝0的距離為＝3，故公共弦長為2＝2. 10．已知點P(＋1，2－)，M(3，1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求過點P的圓C的切線方程； (2)求過點M的圓C的切線方程，并求出切線長． 解：由題意得圓心為C(1，2)，半徑r＝2. (1)因為(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4， 所以點P在圓C上． 又kPC＝＝－1， 所以切線的斜率k＝－＝1. 所以過點P的圓C的切線方程是y

9、－(2－)＝x－(＋1)， 即x－y＋1－2＝0. (2)因為(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4， 所以點M在圓C外部． 當(dāng)過點M的直線的斜率不存在時，直線方程為x＝3， 即x－3＝0. 又點C(1，2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r， 所以直線x－3＝0是圓的切線． 當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0， 則圓心C到切線的距離d＝＝r＝2， 解得k＝. 所以切線方程為y－1＝(x－3)， 即3x－4y－5＝0. 綜上可得，過點M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0. 因為|MC|＝＝， 所以過點

10、M的圓C的切線長為＝＝1. B組　素養(yǎng)提升 11．(2019·廣州綜合測試〈二〉)已知k∈R，點P(a，b)是直線x＋y＝2k與圓x2＋y2＝k2－2k＋3的公共點，則ab的最大值為(　　) A．15 B．9 C．1 D．－ 解析：由題意得解得－3≤k≤1. 因為點P是直線與圓的公共點， 所以 即ab＝k2＋k－＝－， 所以當(dāng)k＝－3時，ab取得最大值9，故選B. 答案：B 12．(2019·茂名模擬)若圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三個不同點到直線l：ax＋by＝0的距離為2，則直線l的斜率的取值范圍是(　　) A．[2－，1] B．[2－，2

11、＋] C. D．[0，＋∞) 解析：圓x2＋y2－4x－4y－10＝0可化為 (x－2)2＋(y－2)2＝18， 則圓心坐標(biāo)為(2，2)，半徑為3. 由圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三個不同點的直線l：ax＋by＝0的距離為2可得，圓心到直線l：ax＋by＝0的距離d≤3－2＝， 即≤， 則a2＋b2＋4ab≤0.① 若a＝0，則b＝0，不符合題意， 故a≠0且b≠0，則①可化為 1＋＋≤0， 由于直線l的斜率k＝－， 所以1＋＋≤0可化為1＋－≤0， 解得k∈[2－，2＋]，故選B. 答案：B 13．[一題多解](2018·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)

12、系xOy中，A為直線l：y＝2x上在第一象限內(nèi)的點，B(5，0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若·＝0，則點A的橫坐標(biāo)為________． 解析：法一　設(shè)A(a，2a)，a>0，則C， 所以圓C的方程為＋(y－a)2＝＋a2， 由得 所以·＝(5－a，－2a)·＝＋2a2－4a＝0，所以a＝3或a＝－1， 又a>0，所以a＝3，所以點A的橫坐標(biāo)為3. 法二　由題意易得∠BAD＝45°. 設(shè)直線DB的傾斜角為θ， 則tan θ＝－， 所以tan ∠ABO＝－tan(θ－45°)＝3， 所以kAB＝tan ∠ABO＝－3. 所以AB的方程為y＝－3(x－5)，

13、 由得xA＝3. 答案：3 14．已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方． (1)求圓C的方程； (2)過點M(1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：(1)設(shè)圓心C(a，0)， 則＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)． 所以圓C的方程為x2＋y2＝4. (2)當(dāng)直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB. 當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 消去y得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 若x軸平分∠ANB， 則kAN＝－kBN，即＋＝0， 則＋＝0， 即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0， 即－＋2t＝0，解得t＝4， 所以當(dāng)點N坐標(biāo)為(4，0)時，能使得x軸平分∠ANB. 7