《2020年高考數學一輪復習 考點題型 課下層級訓練49 拋物線（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020年高考數學一輪復習 考點題型 課下層級訓練49 拋物線（含解析）（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、課下層級訓練(四十九) 拋物線
[A級 基礎強化訓練]
1．點M(5,3)到拋物線y＝ax2(a≠0)的準線的距離為6，那么拋物線的方程是( )
A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2
【答案】D [分兩類a>0，a<0，可得y＝x2或y＝－x2.]
2．已知AB是拋物線y2＝8x的一條焦點弦，|AB|＝16，則AB中點C的橫坐標是( )
A．3 B．4
C．6 D．8
【答案】C [設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p＝16，又p＝4，所以x1＋x2＝12，所以點C的橫
2、坐標是＝6.]
3．(2019·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)，若直線y＝2x被拋物線所截弦長為4，則拋物線C的方程為( )
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．x2＝2y D．x2＝y(tǒng)
【答案】C [由得或
即兩交點坐標為(0,0)和(4p,8p)，則＝4，得p＝1(舍去負值)，故拋物線C的方程為x2＝2y.]
4．(2019·山東聊城模擬)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l交該拋物線于A，B兩點，點A在第一象限，若|AF|＝3，則直線l的斜率為( )
A．1 B．
C． D．2
【答案】D [根據|AF|＝3可知A點到準線的距離為3，故A點的橫坐
3、標為2，故縱坐標為2，由AF的坐標解出直線l的斜率k＝2.]
5．直線l過拋物線x2＝2py(p>0)的焦點，且與拋物線交于A，B兩點，若線段AB的長是6，AB的中點到x軸的距離是1，則此拋物線方程是____________．
【答案】x2＝8y [設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝2＋p＝6，∴p＝4.即拋物線方程為x2＝8y.]
6．(2019·山東威海模擬)設O為坐標原點，拋物線C：y2＝4x的準線為l，焦點為F，過F且斜率為的直線與拋物線C交于A，B兩點，且|AF|>|BF|，若直線AO與l相交于D，則＝____________．
【答案】 [過
4、F且斜率為的直線方程為y＝(x－1)，與拋物線C：y2＝4x聯(lián)立解得A(3,2)，B，則直線AO方程為y＝x與準線l：x＝－1的交點D，因此＝＝.]
7．(2018·全國卷Ⅲ)已知點M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB＝90°，則k＝____________．
【答案】2 [方法一 設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
∴y－y＝4(x1－x2)，∴k＝＝
設AB中點M′(x0，y0)，拋物線的焦點為F，分別過點A，B作準線x＝－1的垂線，垂足為A′，B′，
則|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)
＝(|AA′
5、|＋|BB′|)．
∵M′(x0，y0)為AB中點，
∴M為A′B′的中點，∴MM′平行于x軸，
∴y1＋y2＝2，∴k＝2．
方法二 由題意知，拋物線的焦點坐標為F(1,0)，設直線方程為y＝k(x－1)，直線方程與y2＝4x聯(lián)立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝1，x1＋x2＝．
由M(－1,1)，得＝(－1－x1,1－y1)，＝(－1－x2,1－y2)．
由∠AMB＝90°，得·＝0，
∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋
6、1＝0．
又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，
y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，
∴1＋＋1＋k2－k＋1＝0，
整理得－＋1＝0，解得k＝2.]
8．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4，且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M．
(1)求拋物線的方程；
(2)若過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標．
【答案】解 (1)拋物線y2＝2px的準線為x＝－，
于是4＋＝5，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x．
(2)由(1)知點A的坐標是(4
7、,4)，由題意得B(0,4)，M(0,2)．
又∵F(1,0)，∴kFA＝．
∵MN⊥FA，∴kMN＝－．
∴FA的方程為y＝(x－1)，MN的方程為y＝－x＋2，
聯(lián)立解方程組得x＝，y＝，
∴點N的坐標為．
9．(2019·河南鄭州月考)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1
8、必有兩個不等實根．
所以x1＋x2＝，由拋物線定義得
|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，從而拋物線方程為y2＝8x．
(2)由于p＝4，則4x2－5px＋p2＝0，
即x2－5x＋4＝0，從而x1＝1，x2＝4，
于是y1＝－2，y2＝4，
從而A(1，－2)，B(4,4)．設C(x3，y3)，
則＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)
＝(4λ＋1,4λ－2)．
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2．
[B級 能力提升訓練]
10．若動圓的圓心在拋物線y＝x2上，且與直線y＋
9、3＝0相切，則此圓恒過定點( )
A．(0,2) B．(0，－3)
C．(0,3) D．(0,6)
【答案】C [直線y＋3＝0是拋物線x2＝12y的準線，由拋物線的定義知拋物線上的點到直線y＝－3的距離與到焦點(0,3)的距離相等，所以此圓恒過定點(0,3)．]
11．(2019·山東濱州模擬)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線依次交拋物線及其準線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為( )
A．y2＝x B．y2＝3x
C．y2＝x D．y2＝9x
【答案】B [如圖，分別過點A，B作準線的垂線，交準線于點E，D，
10、
設|BF|＝a，則|BC|＝2a，由拋物線的定義得，|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因為|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a,2|AE|＝|AC|，所以6＝3＋3a，從而得a＝1，因為BD∥FG，所以＝.即＝，解得p＝，因此拋物線方程為y2＝3x.]
12．已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點．若該拋物線上存在點C，使得∠ACB為直角，則實數a的取值范圍為____________．
【答案】[1，＋∞) [如圖，設C(x0，x)(x≠a)，A(－，a)，B(，a)，
則＝(－－x0，a－x)，＝(－x0，a－x)．
∵CA⊥CB，∴·＝0，即
11、－(a－x)＋(a－x)2＝0，(a－x)(－1＋a－x)＝0.∴x＝a－1≥0，∴a≥1.]
13．(2017·全國卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝____________．
【答案】6 [如圖，不妨設點M位于第一象限內，拋物線C的準線交x軸于點A，過點M作準線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，∴PM∥OF．
由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|＝|AO|＝2．
∵點M為FN的中點，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1．
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3．
由拋物線
12、的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.]
14．如圖，已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)，焦點為F，過點G(p,0)作直線l交拋物線C于A，M兩點，設A(x1，y1)，M(x2，y2)．
(1)若y1y2＝－8，求拋物線C的方程；
(2)若直線AF與x軸不垂直，直線AF交拋物線C于另一點B，直線BG交拋物線C于另一點N.求證：直線AB與直線MN斜率之比為定值．
【答案】(1)解 設直線AM的方程為x＝my＋p，
代入y2＝2px得y2－2mpy－2p2＝0，
則y1y2＝－2p2＝－8，得p＝2．
∴拋物線C的方程為y2＝4x．
(2)證明 設B(x
13、3，y3)，N(x4，y4)．
由(1)可知y3y4＝－2p2，y1y3＝－p2．
又直線AB的斜率kAB＝＝，
直線MN的斜率kMN＝＝，
∴＝＝＝＝2．
故直線AB與直線MN斜率之比為定值．
15．(2018·浙江卷)如圖，已知點P是y軸左側(不含y軸)一點，拋物線C：y2＝4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上．
(1)設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；
(2)若P是半橢圓x2＋＝1(x<0)上的動點，求△PAB面積的取值范圍.
【答案】(1)證明 設P(x0，y0)，A，B．
因為PA，PB的中點在拋物線上，
所以y1，y2為方程2＝4·
即y2－2y0y＋8x0－y＝0的兩個不同的實根．
所以y1＋y2＝2y0，
因此，PM垂直于y軸．
(2)解 由(1)可知，，
所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y(tǒng)－3x0，
|y1－y2|＝2．
因此，△PAB的面積
S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0)．
因為x＋＝1(x0<0)，
所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]，
因此，△PAB面積的取值范圍是．
7
2020年高考數學一輪復習 考點題型 課下層級訓練49 拋物線（含解析）
